精品解析：天津市第二中学2026届高三上学期12月月考数学试题

2025-2026（一）天津二中高三年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“成等比数列”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若曲线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 有一散点图如图所示，在六组数据中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的两变量x，y正相关 B. 相关系数r的绝对值更接近于0 C. 残差平方和变大 D. 变量x与变量y相关性变强 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（ ） A. 39700 B. 39800 C. 39900 D. 40000 8. 已知函数，则下列结论 ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数的最小值为 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.则为奇函数 其中判断正确的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 为虚数单位，若复数满足，则的虚部为__________． 11. 的展开式中含项的系数为______. 12. 已知圆心在轴上的圆与倾斜角为的直线相切于点则圆的方程为______. 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5，0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被至少一人击中的概率为_____.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为_____. 14. 如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为________，点P为线段上的动点则的取值范围为_______． 15. 设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是_________． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 16. 在中，角所对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若. （i）求的值; （ii）求的值. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于D，E两点，的周长为8，当直线垂直于轴时， （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上不同于顶点的一点，椭圆右顶点为，若直线，与轴相交，交点分别为M，N，且，求点的横坐标. 19. 已知数列的前项和为，，数列满足：， 且分别为数列第二项和第三项. （1）求数列与数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和； （3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（一）天津二中高三年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：A. 2. 若，则“成等比数列”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论． 详解：由题意得，例如，此时构成等比数列，而不成立， 反之当时，若，则，所以构成等比数列， 所以当时，构成等比数列是构成的等比数列的必要不充分条件， 故选B． 点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力． 3. 若曲线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数值的符号以及函数单调性分析判断. 【详解】由图象可知， 对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 由图象可知：存在，使得在内单调递减， 对于选项C：因为在内单调递增，且在内单调递增， 可知在内单调递增，故C错误； 故选：D. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：在内任取一点，设点与直线确定一个平面，且， 由，由线面平行的性质定理，可得， 因为，所以，因为，所以，故B正确； 对于C：若且，则或在内，故C错误； 对于D：若，，则或，故D错误. 故选：B. 5. 有一散点图如图所示，在六组数据中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的两变量x，y正相关 B. 相关系数r的绝对值更接近于0 C. 残差平方和变大 D. 变量x与变量y相关性变强 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，两变量负相关，去掉B点后，回归直线效果更好，据此判断，即可求解． 【详解】由图可知，样本数据的两变量负相关，故A错误； 由图可知，点B相对其它点，偏离直线远， 故去掉B点后，回归直线效果更好，故BC错误，D正确． 故选：D. 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 7. 若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（ ） A. 39700 B. 39800 C. 39900 D. 40000 【答案】A 【解析】 【分析】设，由已知可得，可求. 【详解】设，由，得，则， 故 ． 故选：A 8. 已知函数，则下列结论 ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数的最小值为 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.则为奇函数 其中判断正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数图象的单调性判断①,对称性判断②,由图像变换的性质判断③. 【详解】①当时，， 当时，，且，， 所以函数在上单调递增，正确； ②若，则函数关于直线对称， 即，，解得，， 又，所以，即，所以正整数的最小值为，正确； ③由，得，则函数的图象向右平移个单位长度得到 ，则，不满足奇函数性质，错误； 综上所述，正确结论的个数为， 故选：C. 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 为虚数单位，若复数满足，则的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算出后，结合虚部定义即可得. 【详解】由，则， 故的虚部为. 故答案为：. 11. 的展开式中含项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中含项的系数． 【详解】的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得展开式中含项的系数. 故答案为：． 12. 已知圆心在轴上的圆与倾斜角为的直线相切于点则圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，半径为，根据两点间距离公式，可的半径，根据点斜式方程，可得直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，代入公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设圆心为，半径为， 依题意可得， 直线的方程为：，整理得， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5，0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被至少一人击中的概率为_____.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为_____. 【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式和全概率公式求解即可. 【详解】根据题意，设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 的对立事件为无人机没有被击中，即事件，其概率， 则无人机被击中的概率. 若无人机恰好被一人击中，记为事件，其概率. 若无人机恰好被两人击中，记为事件，该概率. 则. 故答案为：0.7；0.22 14. 如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为________，点P为线段上的动点则的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为基底化简，结合向量数量积的运算求得的值.设，以为基底化简，结合向量模的运算以及二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】 . 设， ， 所以 . 的开口向上，对称轴为， 所以在上递减. 当，当，所以. 故答案为：； 15. 设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】因为 即：，即 的图像只有两个整数点位于 的下方，画图分析即可求出参数的取值范围. 【详解】因为 即： ， 即 的图像只有两个整数点位于 的下方， 只有两个整数x，使得，当 时： ， 此时，令，解得， 此时有两个整数满足 即或， 结合图像可得的取值范围是， 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 16. 在中，角所对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若. （i）求的值; （ii）求的值. 【答案】（1） （2）(i) ，(ii) 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角边化及余弦定理即可求解； （2）(i)利用（1）的结论及正弦定理的边角化即可求解； (ii)利用二倍角公式，求出，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得， ， 由余弦定理可得， ， . 【小问2详解】 （i）及正弦定理，可得， ，即， 因为，且 可得为锐角， 所以. （ii）， ， 由（1），知， 所以 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量来求解即可； （3）在（2）建立的坐标系下利用向量法求解即可. 【小问1详解】 由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； 【小问3详解】 由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于D，E两点，的周长为8，当直线垂直于轴时， （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上不同于顶点的一点，椭圆右顶点为，若直线，与轴相交，交点分别为M，N，且，求点的横坐标. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求出，由求出，进而求得椭圆的标准方程. （2）方法一：设，求出直线，的方程，然后根据已知条件化简等式求出结果即可；方法二：设直线的方程为，与椭圆联立方程，用将点的横坐标表示出来，然后结合已知条件求出结果即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义知的周长为，， 将代入椭圆方程有，，， 所以通径，， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 法一：设，其中且， 因为直线，与轴相交，所以直线AP，斜率都存在， 则直线方程为，令，得， 直线方程为，令，得， 所以， 又因为，所以，代入上式，可得， 整理得，解得或，又因为，， 所以，所以点的横坐标为； 法二：由题意直线斜率存在，且不为0， 设其方程为，令，得， 由，得，易知， 设，其中，由韦达定理，，即， 直线的方程为， 令，得， 所以，所以（舍）或， 代入中，得，而，所以点的横坐标为. 19. 已知数列的前项和为，，数列满足：， 且分别为数列第二项和第三项. （1）求数列与数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和； （3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式. 【答案】（1），； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求出，再由，知数列为等比数列，即可求解； （2）数列分组求和即可求解 （3）用反证法即可求解. 【小问1详解】 （1）， 当时，， 当时，，满足上式， 所以，所以，，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 令①， 所以②， ①-②可得， ， 所以， 令， 令，则 则 【小问3详解】 集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、2、3、…、n，共个解，故. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $