7.1.1一元线性回归 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦一元线性回归，涵盖散点图、直线拟合、最小二乘法及线性回归方程等核心知识点。课堂导入从必修一函数关系与依赖关系切入，通过“体重与身高是否为函数关系”实例辨析，结合9名15岁男生身高体重数据绘制散点图，自然衔接旧知，搭建学习支架。 亮点在于融入数学文化，以高斯、康托等数学家引入各环节激发兴趣，用向量方法推导最小二乘法培养逻辑推理（数学思维），结合热茶销量与气温等生活实例强化模型意识（数学语言）。助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学脉络与丰富案例，便于高效教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第七章 统计案例 第1节 一元线性回归 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解曲线拟合与直线拟合的概念 2、能用最小二乘法求出线性回归方程 1、线性回归的基本 思想，一元线性 回归方程的求法 1、用向量的方法求 一元线性回归方 程的系数 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x、y之间具有函数关系，并且y是x的函数． 2、什么是依赖关系？ 一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 1、什么是函数关系？ 在必修一中，我们学习过了两个变量之间存在着函数关系或者是依赖关系。 3 新 知 引 入 韦 达 下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是(　　) A.多边形的边数和它的内角和 B.正方形的边长和面积 C.圆的面积和半径 D.人的体重和身高 D 一般来讲,人的身高越高，体重就越重，二者确实有关系.但是身高相同的人，体重却不一定相同，也就是说，给定身高h没有唯一的体重m与之对应. 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 为了了解人的身高与体重的关系,我们随机抽取9名15岁的男生，测得他们的身高（单 位:cm）、体重（单位:kg）如下表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53 从表中不难看出，同一身高157 cm对应着不同的体重44 kg和47 kg,即体重不是身高的函数. 现在，把身高看作横坐标、体重看作纵坐标,在平面直角坐标系中画出对应的点。 每个点对应的一对数据(xi,yi),称为___________ 这些点构成的图称为___________ 成对数据 散点图 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 观察散点图，不难发现：随着身高的增长,体重基本上呈现_______增加的趋势. 直线 如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为曲线拟合. 曲线拟合 若在两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合. 直线拟合 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53 那么,应当如何求出这条直线呢？ 选取散点图中的两个点，使得其余的点在这两个点所连直线两侧分布得尽可能一样多。 方法1 如有人选取了（165,52）和（168,54）这两个成对数据，得到直线方程为2x-3y-174 = 0. 7 学 习 新 知 拉格朗日 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53 那么,应当如何求出这条直线呢？ 方法2 最后将这两点连接成一条直线，得到直线方程为4x-7y-296 = 0, 将所有的点分成两部分，一部分是身高在 165cm以下的，一部分是身高在165cm以 上（含165cm）的; 然后每部分的点求一个平均点： 165cm以下的身高、体重的平均数（取整 近似）作为一个平均点，即（158,48）, 165cm以上（含165 cm）的身高、体重的平均数（取整近似）作为另一个平均点，即（172,56）； 8 学 习 新 知 布 丰 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53 方法1：2x-3y-174 = 0 当x=175时，y=58.6. 方法2: 4x-7y-296 = 0 当x=175时，y=57.71 上面两种方法都有一定的道理，每一种方法均与实际观测值有偏差. 下面我们来介绍第3种方法————最小二乘法 9 学 习 新 知 伯努利 对于给定的两个变量x和y（如身高和体重），可以把其成对的观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）表示为平面直角坐标系中的n个点.现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个xi(i=1,2, …,n），由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望 ［y1-（a+bx1）]2+［y2-（a+bx2）]2+…+［yn-（a+bxn）]2达到最小. 换句话说，我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法. 先考虑3对数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）， 即:求a,b的值,使得偏差yi-（a+bxi）（i= 1,2,3）的平方和最小， 即［y1-（a+bx1）]2+［y2-（a+bx2）]2+［y3-（a+bx3）]2达到最小. 下面我们用向量的方法解决这个问题. 首先，用向量的语言描述问题.容易想到将偏差作为向量的分量, 即向量的坐标(y1-（a+bx1）,y2-（a+bx2）,y3-（a+bx3）).这样，问题就等价于:求的a,b值，使得向量(y1-（a+bx1）,y2-（a+bx2）,y3-（a+bx3）)的长度最小. 10 学 习 新 知 集合论之父——康托 下面我们分析这个向量： (y1-（a+bx1）,y2-（a+bx2）,y3-（a+bx3）) =（y1,y2,y3）-（a+bx1,a+bx2, a+bx3） =（y1,y2,y3）-[(a,a,a)+(bx1,bx2,bx3)］ =（y1,y2,y3）-[a(1,1,1)+b(x1,x2,x3)］=-(a+b). 其中，有=（y1,y2,y3），=（1,1,1）,=(x1,x2,x3),均为已知向量. 至此，问题就转化为:求a,b的值,使-(a+b)的长度最小. 如图,和确定一个平面，记作α.由平 面向量基本定理可知，对任意的a,b, a+b都在平面a内;反之，平面α内的 任意向量都可以用a+b来表示. 也就是说，当a,b变化时,a+b= 的端点M是平面a内的一个动点. 如图,-(a+b)=,其中，点Y是 平面α外的一个定点，点M是平面α内的 一个动点.问题就转化为:即||最小 11 学 习 新 知 无冕的数学之王——希尔伯特 即 用向量的坐标表示，即 化简，得 若记 则 如果把它的解记作,,得到=———————— = ① -. ② 由点到平面距离的定义，当⊥α时，MY的长度最短, 由线面垂直的判断定理知，需其与平面α内的两个不共线的向量和均垂直. 求||最小时的a,b的值,就是求与和的数量积分别为0时的a,b的值， 12 学 习 新 知 柯 西 将①②推广到n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)仍然成立， 即[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2达到最小的a,b的值为 = = - 其中 =(x1+x2+…+xn),=(y1+y2+…+yn) 这时直线方程Y=+X称作Y关于X的____________________. 相应的直线称作Y关于X的______________. ,是这个线性回归方程的__________. 线性回归方程 回归直线 系数 注意：1、 2、 3、 线性回归方程中的计算，有时利用公式= 线性回归方程Y=+X必经过样本点的中心（，） 的实际意义：表示X每增加1个单位时，Y的变化量， 即X每增加1个单位时，Y相应地平均变化个单位. 13 学 习 新 知 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53 方法1：2x-3y-174 = 0 x=175时，y=58.6. 方法2: 4x-7y-296 = 0 x=175时，y=57.71 方法3: 由最小二乘法可得 线性回归方程为 Y=0.648X-55.139 x=175时，y=58.261 牛 顿 身高和体重之间并没有函数关系，我们得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述. 14 学 习 新 知 解析几何之父——笛卡尔 求线性回归方程的一般步骤 ① ② ③ ⑥ ④ ⑤ 收集成对数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出)； 作出散点图，确定x，y具有线性关系； i xi yi xi2 xiyi 1 … 合计 计算 ，， ， 代入公式计算 ， 写出线性回归方程Y=X+ 把数据制成表格 15 典 例 引 路 狄利克雷 例1、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数Y（单位：杯）与当天气温X（单位：°C）的对比表。 （1）根据上表中的数据画出散点图。 （2）你能从散点图中发现气温与卖 出热茶的杯数近似呈现什么关系吗？ 解：两个变量有近似的线性关系. 16 典 例 引 路 皮 亚 诺 （3）如果近似呈线性关系，试用最小二乘法求岀Y关于X的线性回归方程； 解：列表如下： 则 = ， = ， = 1286， =1910 = ≈-1.648, =57.557 所以Y对X的线性回归方程为Y = 57.557 —1.648X. （4）当某天的气温是-3℃时,卖出热茶的杯 数估计为多少？ 解：57. 557- 1. 648×( -3) = 62. 501≈63. 17 同 步 练 习 黎 曼 练1、某种产品的广告费支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据： X 2 4 5 6 8 Y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求Y关于X的线性回归方程. 解：（1）散点图如图所示. 18 同 步 练 习 庞加莱 （2）样本点分布在一条直线附近，Y与X具有线性相关关系. 列出下表 i xi yi xi2 xiyi 1 2 30 4 60 2 4 40 16 160 3 5 60 25 300 4 6 50 36 300 5 8 70 64 560 合计 25 250 145 1380 则=5，=50, =145, =1380 于是可得==6.5 =-=50-6.5×5=17.5 所以所求的线性回归方程是Y＝6.5X＋17.5. 19 典 例 引 路 华罗庚 例2、用下列表格中的五对数据求得的线性回归方程为=0.8x-155，则实数m的值为( ) A.8 B.8.2 C.8.4 D.8.5 x 196 197 200 203 204 y 1 3 6 7 m 解：依题意得= ×(196+197+200+203+204)=200 = (1+2+6+7+m)= 回归直线必经过点（，）， 所以=0.8×200-155，解得m=8 A 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练2、某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为=9.5x+a,则a=_________ 解:由已知 = = 4, = = 40 代入线性回归直线方程得40=9.5×4+a 解得 a=2 21 典 例 引 路 傅里叶 例3、调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.254+3,由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加___________万元. 解：∵对x的回归直线方=0.254+3, ∴当家庭年收入增加1万元时，=0.254（+1）+3 ∴[0.254（+1)+3]-(0.254+3)=0.254 故年饮食支出平均增加0.254万元 22 同 步 练 习 洛必达 练3、已知下列命题： ①=8x+56意味着每增加一个单位,y平均增加8个单位 ②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件 ③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件 ④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型 其中正确的命题有____________. 解：①③正确 23 典 例 引 路 贝叶斯 例4、下图是根据的观x,y测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)得到的散点图，则变量x,y能用一元线性回归模型y=bx+a+e来刻画，且b＜0的是（     ） A B C D 解：根据变量x,y具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，又b＜0，所以散点从左上至右下． A 24 同 步 练 习 陈景润 练4、如图所示，有5组(x，y)数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系（     ） A．E B．D C．B D．A 解：观察给定的散点图知，A，B，C，E 四点分布在一条直线附近，且贴近这条 直线，而点D偏离这条直线较远， 所以去掉D这一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系. B 25 全 课 总 结 一、散点图 二、直线拟合的概念 三、最小二乘法 四、线性回归方程 26 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 27 $