7.1.1 直线拟合&7.1.2 一元线性回归方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归，涵盖直线拟合、最小二乘法及回归方程应用。以恩格尔系数情境导入，通过问题引导学生从实际现象出发，建立变量间线性关系模型，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化教学与分层训练结合，通过典例研析呈现“散点图→参数计算→方程建立→预测应用”步骤，培养数学建模与数据分析素养。通性通法总结助力学生掌握方法，提升解决实际问题能力，为教师提供系统教学资源。

§1　一元线性回归 1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程 第七章　统计案例 1 课标 要求 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件（数学抽象、数学建模、数据分析）. 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测（数学建模、数学运算、数据分析）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数， 指居民家庭中食品支出占消费总支出的比重， 是表示生活水平高低的一个指标.其计算公式： 恩格尔系数＝食品支出金额÷总支出金额.一个 家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食品的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食品的支出所占比例将会下降. 【问题】　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量 线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点一　直线拟合 1. 散点图：在平面直角坐标系中，每个点对应的一对数据（xi，yi）称 为 ，这些点构成的图称为散点图. 成对数据　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （1）曲线拟合：从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系， 这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的 ⁠来近 似地描述.这样近似描述的过程称为曲线拟合； （2）直线拟合：若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在 ⁠ 附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的 关系，称之为直线拟合. 曲线　 一 条直线　 2. 曲线拟合与直线拟合 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 　若两个变量X与Y的关系能用直线来拟合，则X与Y是函数关系吗？ 提示：不一定是. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点二　一元线性回归方程 1. 最小二乘法：对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值（x1， y1），（x2，y2），…，（xn，yn）表示为平面直角坐标系中的n个点，现在 希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi（i＝1，2，…，n），由这 个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能 .为 此，希望[y1－（a＋bx1）]2＋[y2－（a＋bx2）]2＋…＋[yn－（a＋bxn）]2 达到 .换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小，这个 方法称为最小二乘法. 小　 最小　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 若变量X和Y的n对观测值为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使 [y1－（a＋bx1）]2＋[y2－（a＋bx2）]2＋…＋[yn－（a＋bxn）]2达到最小 的a，b取值为＝ ，＝ ⁠. 其中，＝（x1＋x2＋…＋xn），＝（y1＋y2＋…＋yn）.这时直线方程Y ＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的 称作Y关于X的回归 直线， 是这个线性回归方程的系数. 　 －　 直线　 ，　 2. 线性回归方程、回归直线、线性回归方程的系数 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 回归直线与样本点的中心（，）之间有什么关系？（其中，，分别是 变量x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数） 提示：由＝－可知，回归直线一定经过样本点的中心（，）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性. （　√　） （2）选取一组数据的部分点得到的线性回归方程与由整组数据得到的线 性回归方程一定相同. （　×　） （3）根据线性回归方程得到的结论一定是可靠的. （　×　） √ × × 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知X，Y之间的一组数据： X 0 1 2 3 Y 1 2 4 5 Y关于X的线性回归方程Y＝X＋必过点（　　） A. （2，2） B. （1.5，0） C. （1，2） D. （1.5，3） √ 解析： 　回归直线必过样本点的中心（，），由表中数据可知＝ 1.5，＝3. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 对具有线性相关关系的变量X，Y，测得一组数据如下表，根据表中数 据，利用最小二乘法得到线性回归方程为Y＝10.5X＋，据此模型预测当X ＝20时，Y的估计值为（　　） X 2 4 5 6 8 Y 20 40 60 70 80 A. 210 B. 210.5 C. 211.5 D. 212.5 √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由题意可知，＝＝5，＝＝ 54.∵线性回归直线经过样本中心点，∴54＝10.5×5＋，＝1.5， 线性回归方程为Y＝10.5X＋1.5，当X＝20时，Y的估计值为10.5×20 ＋1.5＝211.5.故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 16 题型一　求线性回归方程 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额与利润额的有关数据如 下表： 商店名称 A B C D E 销售额X/千万元 3 5 6 7 9 利润额Y/百万元 2 3 3 4 5 （1）画出销售额和利润额的散点图； 解： 散点图如下： 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程. 解： 数据如下表： i xi yi ​ xiyi 1 3 2 9 6 2 5 3 25 15 3 6 3 36 18 4 7 4 49 28 5 9 5 81 45 合计 30 17 200 112 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 可以求得＝6，＝，＝＝0.5， ＝－＝0.4. 线性回归方程为Y＝0.5X＋0.4. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求线性回归方程的步骤 （1）画出成对样本数据对应点的散点图，确定两变量之间的关系.若 （xi，yi）对应的点都在某一条直线附近，则两变量具有线性关系； （2）当两变量线性相关已确定，在此统计意义下，利用最小二乘法公式 ＝，求；用＝－，求；得到线性回归方程Y＝＋X. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩X/分 88 76 73 66 63 物理成绩Y/分 78 65 71 64 61 （1）画出散点图； 解： 散点图如图所示. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求物理成绩Y关于数学成绩X的线性回归方程（结果保留三位小数）. 参考公式：＝＝，＝－. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： 因为＝×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2，＝×（78＋65 ＋71＋64＋61）＝67.8， xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054， ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174， 所以＝≈0.625， ＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 因此Y关于X的线性回归方程为Y＝0.625X＋22.05. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　一元线性回归方程的应用 为研究某城镇居民家庭月人均生活费支出和月人均收入的关系，随机 抽取10户进行调查，其结果如下： 月人均收入X/元 300 390 420 520 570 月人均生活费 支出Y/元 255 324 335 360 450 月人均收入X/元 700 760 800 850 1 080 月人均生活费 支出Y/元 520 580 600 630 750 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 试预测月人均收入为1 100元和月人均收入为1 200元的两个家庭的月人均 生活费支出. 解：作出散点图（如图所示），由 图可知，月人均生活费支出与人均 收入之间能用直线拟合. 通过计算可得＝639，＝480.4， ＝4 610 300， ＝2 540 526，xiyi＝3 417 560， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 ∴＝≈0.659 9，＝－ ≈58.723 9. ∴线性回归方程为Y＝0.659 9X＋ 58.723 9. 将x1＝1 100代入得y1≈784.61（元）；将x2＝1 200代入得y2≈850.60（元）. 故预测月人均收入分别为1 100元和1 200元的两家庭的月人均生活费支出 分别为784.61元和850.60元. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 一元线性回归方程的应用 （1）可以利用一元线性回归方程Y＝＋X预测在x0取某一个值时，y0的估 计值； （2）线性关系确立之后，Y＝＋X具有了统计意义，可用线性回归方程 进行预测和控制. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 　某种产品的广告费用支出X（单位：百万元）与销售额Y（单位：百万 元）之间有如下的对应数据： 广告费用支出 X/百万元 2 4 5 6 8 销售额Y/百万元 30 40 60 50 70 （1）画出散点图； 解： 散点图如图所示. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； 解： 列出下表， i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 ​ 4 16 25 36 64 145 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以＝＝5，＝＝50，＝145，xiyi＝1 380.于是可得＝ ＝＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （3）试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？ 解： 根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元 时，销售额估计为6.5×10＋17.5＝82.5（百万元）. 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是 （　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ √ 解析： ①③中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 由变量x与y相对应的一组数据（1，y1），（5，y2），（7，y3）， （13，y4），（19，y5）得到的线性回归方程为Y＝2X＋45，则＝ （　　） A. 135 B. 90 C. 67 D. 63 √ 解析： 　∵＝（1＋5＋7＋13＋19）＝9，＝2＋45，∴＝2×9＋45 ＝63，故选D. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 若根据变量X与Y的对应关系（如表），求得Y关于X的线性回归方程为Y ＝6.5X＋17.5，则表中m的值为（　　） X 2 4 5 6 8 Y 30 40 m 50 70 A. 60 B. 55 C. 50 D. 45 √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由表中数据，得＝×（2＋4＋5＋6＋8）＝5，＝×（30＋ 40＋m＋50＋70）＝38＋，因为线性回归直线Y＝6.5X＋17.5过点（5， 38＋），所以38＋＝6.5×5＋17.5，解得m＝60. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知x，y之间的一组数据如下表： x 2 3 4 5 6 y 3 4 6 8 9 对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x －；④y＝x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是 ⁠ （填序号）. ③　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：由题意，知＝＝4，＝＝6，∴＝ ＝＝， ∴＝－＝6－×4＝－，∴y＝x－，故③的拟合程度最好. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 若根据5名儿童的年龄X（岁）和体重Y（kg）的数据用最小二乘法得到 用年龄预报体重的线性回归方程是Y＝2X＋18，已知这5名儿童的年龄分别 是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是 kg. 解析：由题意：＝＝4，由于回归直线过样本的中心点（， ），所以＝2＋18＝2×4＋18＝26，则这5名儿童的平均体重是26 kg. 26　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 拓视野　非线性回归模型 1. 非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本 点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关 系，此时不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 2. 非线性回归方程 当回归方程不是形如Y＝X＋（，∈R）时，称之为非线性回归方程. 当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程 来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线 性回归方程. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 非线性回归问题的处理方法 （1）指数函数型y＝ebx＋a ①函数y＝ebx＋a的图象，如图（ⅰ）； ②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原 始数据（x，y）转化为（x，z），再根据求一元线性回归模型的方法求出 a，b. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）对数函数型y＝bln x＋a ①函数y＝bln x＋a的图象，如图（ⅱ）； ②处理方法：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据求一元线性回归 模型的方法求出a，b. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （3）二次函数型y＝bx2＋a 处理方法：设x'＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据求一元线性回归模 型的方法求出a，b. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 下表为收集到的一组数据： X 21 23 25 27 29 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 （1）作出X与Y的散点图，并猜测X与Y之间的关系； 解： 作出散点图如图， 从散点图可以看出X与Y不具有线性相关关 系，数形结合可猜测样本点分布在某一指 数型函数Y＝c1的周围，其中c1，c2为 待定的参数，即X与Y之间的关系为Y＝c1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）通过X与Y的关系，建立回归模型； 解： 对（1）中猜测结果两边取对数把指数关系变为线性关系，令Z ＝ln Y，则变换后的样本点应分布在直线Z＝bX＋a（a＝ln c1，b＝c2）的周 围，这样就可以利用线性回归模型来建立Y与X之间的非线性回归方程了， 数据可以转化为 X 21 23 25 27 29 32 35 Z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得线性回归方程为Z＝0.272X－3.849， ∴Y＝e0.272x－3.849. （3）利用所得模型，预测X＝40时Y的值. 解： 当X＝40时，Y＝e0.272×40－3.849≈1 131. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 解非线性回归分析问题的一般步骤 　　有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据 画出散点图，与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图 象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行 变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 一般步骤为： 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【迁移应用】 　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已 知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗 线宫（3×3）内的数字均含1～9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加 “丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP上进行一 段时间的训练，每天的解题平均速度Y（秒）与训练天数X（天）有关，经 统计得到如表的数据： X（天） 1 2 3 4 5 6 7 Y（秒） 990 990 450 320 300 240 210 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （1）现用Y＝a＋作为回归模型，请利用表中数据，求出该回归方程； 解：由题意得＝×（990＋990＋450＋320＋300＋240＋210）＝500， 令t＝，设Y关于t的线性回归方程为Y＝t＋， 则有＝＝＝1 000， ＝500－1 000×0.37＝130， 所以Y＝1 000t＋130， 又t＝， 所以Y关于X的回归方程为＝＋130. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题的平 均速度Y约为多少秒？ 参考数据：tiyi＝1 845，＝0.37，－7＝0.55. 参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回 归直线＝＋u的斜率和截距分别为：＝，＝－·. 解： 当X＝100时，Y＝140， 所以经过100天训练后，小明每天解题的平均速度约为140秒. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 50 1. 对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（　　） A. 都可以分析出两个变量的关系 B. 都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C. 都可以画出散点图 D. 都可以用确定的表达式表示两者的关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 解析： 　给出两个变量的统计数据，总可以画出相应的散点图，但不一 定能分析出两个变量的关系，更不一定能得出两个变量有线性相关关系或 函数关系.故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 最小二乘法的原理是（　　） A. 使得[yi－（a＋bxi）]最小 B. 使得[yi－（a＋bxi）2]最小 C. 使得[－（a＋bxi）2]最小 D. 使得[yi－（a＋bxi）]2最小 √ 解析： 　原理为“使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小”，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表： 广告费用X/万元 4 2 3 5 销售额Y/万元 49 26 39 54 根据上表可得线性回归方程Y＝X＋中的为9.4，则Y关于X的线性回归方 程为（　　） A. Y＝9.4X＋9.1 B. Y＝9.4X－9.1 C. Y＝－9.4X＋9.1 D. Y＝－9.4X－9.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由表可计算＝＝，＝＝42，因为点 在回归直线Y＝X＋上，且为9.4，所以42＝9.4×＋，解得 ＝9.1，故线性回归方程为Y＝9.4X＋9.1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 某校一个课外学习小组为研究 某作物种子的发芽率Y和温度X （单位：℃）的关系，在20个不 同的温度条件下进行种子发芽实 验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为 发芽率Y和X温度的回归方程类型的是（　　） A. Y＝a＋bX B. Y＝a＋bX2 C. Y＝a＋beX D. Y＝a＋bln X √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来（图略）， 由图并结合选项可排除A、B、C，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 经过对中学生记忆能力X和识图能力Y进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力X 4 6 8 10 识图能力Y 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为Y＝X＋，若小明同学的记忆能力为 15，则可预测其识图能力为（　　） A. 8 B. 9.6 C. 11.2 D. 11.9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由表中数据可得，＝×（4＋6＋8＋10）＝7，＝×（3＋5 ＋6＋8）＝5.5，又线性回归方程为Y＝X＋，则5.5＝×7＋，解得＝ －0.1，故Y＝X－0.1，当X＝15时，Y＝×15－0.1＝11.9.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕数据（X，Y）的5组测量值（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）， 已知＝90，xiyi＝112，xi＝20，yi＝25.若Y对X的线性回归方 程记作Y＝X＋，则（　　） A. 回归直线经过点（4，5） B. ＝1.2 C. ＝0.5 D. X＝8时，Y的估计值为9.8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由已知的数据可得＝xi＝4，＝yi＝5，＝ ＝＝1.2，＝－＝5－1.2×4＝0.2，所以线性回归 方程为Y＝1.2X＋0.2.当X＝8时，Y＝1.2×8＋0.2＝9.8.故A、B、D选项 正确，C选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 对具有线性相关关系的变量X，Y，测得相关数据如下表： X 2 4 5 6 8 Y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法求得它们的线性回归方程为Y＝10.5X＋，据 此模型来预测当X＝20时，Y的估计值为 ⁠. 解析：由已知得＝5，＝54，则（5，54）满足线性回归方程Y＝10.5X＋ ，解得＝1.5，因此Y＝10.5X＋1.5.当X＝20时，Y＝10.5×20＋1.5＝ 211.5. 211.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 如图是一组数据（x，y）的散点图，用最小二乘法计算，变量Y与X之间 的线性回归方程为Y＝X＋1，则＝ ⁠. 解析：由题图知＝＝2，＝＝2.6，将（2，2.6）代 入Y＝X＋1中，解得＝0.8. 0.8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 为了研究某班学生的脚长X（单位：cm）和身高Y（单位：cm）的关 系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出Y与X之间 有线性相关关系，设其线性回归方程为Y＝X＋，已知xi＝225，yi＝ 1 600，＝4.该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高为 cm. 解析：由题意可知Y＝4X＋，又＝22.5，＝160，∴160＝22.5×4＋， 得＝70，因此Y＝4X＋70.当X＝24时，Y＝4×24＋70＝96＋70＝166. 166　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根 据长时间的观测，统计了月亮出来的时间Y（简称“月出时间”，单位： 时）与天数X（X为阴历日数，X∈N＋，且0≤X≤30）的有关数据如表，并 且根据表中数据，求得Y关于X的线性回归方程为Y＝0.8X＋. X 2 4 7 10 15 22 Y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日 0：00）才升起.则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 A. 线性回归直线过点（10，15.4） B. ＝6.8 C. 预测月出时间为16时的那天是阴历13日 D. 预测阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00 √ 解析： 　＝＝10，＝＝14.4，故 线性回归直线过点（10，14.4），选项A错误；将点（10，14.4）代入Y＝ 0.8X＋，得＝6.4，B错误；∵Y＝0.8X＋6.4，当Y＝16时，X＝12， ∴月出时间为16时的那天是阴历12日，选项C错误；∵阴历27日时，即X＝ 27，代入得Y＝0.8×27＋6.4＝28，∴月出时间应该为28日早上4：00，选 项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 〔多选〕某公司过去五个月的广告费支出X（单位：万元）与销售额Y （单位：万元）之间有下列对应数据： X 2 4 5 6 8 Y ▲ 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中Y的第一个数据丢失.已知Y关于X的线性回归方程为 Y＝6.5X＋17.5，则下列说法正确的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 A. 丢失的数据（表中▲处）为30 B. 该公司广告费支出每增加1万元，销售额约增加6.5万元 C. 该公司广告费支出每增加1万元，销售额增加17.5万元 D. 若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元 √ √ 解析： 　设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点 代入线性回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30， 所以A正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额约增加6.5万元，所 以B正确，C不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为Y＝ 6.5×8＋17.5＝69.5（万元），所以D不正确.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表 记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间X（单位：h）与当天投篮命中率 Y之间的关系： 时间X 1 2 3 4 5 命中率Y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小 李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ⁠. 0.5　 0.53　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：小李这5天的平均投篮命中率＝×（0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4） ＝0.5，＝3，＝＝0.01，＝－＝0.5－0.03＝0.47.∴线性回归方 程为Y＝0.01X＋0.47，则当x0＝6时，y0＝0.53.∴预测小李该月6号打6小 时篮球的投篮命中率为0.53. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 已知两个变量Y与X线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进 行了10次试验，得到10个样本点.研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本 点，剩余的8个样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8）满足xi＝32， yi＝132，根据这8个样本点求得的线性回归方程为Y＝3X＋（其中 ∈R）.后为稳妥起见，研究小组又增加了2次试验，得到2个偏差较小的 样本点（2，11），（6，22），根据这10个样本点重新求得线性回归方程 为Y＝X＋（其中，∈R）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： 这8个样本点横坐标的平均数为＝xi＝×32＝4， 纵坐标的平均数为＝yi＝×132＝16.5， 线性回归方程为Y＝3X＋经过样本中心点（，）， 则＝－3＝16.5－3×4＝4.5. （1）求的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）证明回归直线Y＝X＋经过点（4，16.5），并指出与3的大 小关系. 参考公式：线性回归方程Y＝X＋，其中＝，＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： 证明：样本点（2，11），（6，22）分别记为（x9，y9）， （x10，y10）， 则这10个样本点横坐标的平均数为'＝xi＝（x9＋x10＋xi）＝ （2＋6＋32）＝4， 纵坐标的平均数为'＝yi＝（y9＋y10＋yi）＝（11＋22＋132） ＝16.5. 根据线性回归方程系数公式得，＝'－'＝16.5－4，故Y＝X＋过 点（4，16.5）. 且＜3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $