6.4 平行线--辅助线 巩固练习 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

6.4平行线--辅助线巩固练习2025-2026学年苏科版数学七年级上册 一．铅笔头模型 1．如图，AB∥EF，CD平分∠ACE，若∠A＝155°，∠E＝105°，则∠ACD＝　 　 °． 第1题 第2题 第3题 第4题 2．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　 　 度． 二．猪蹄模型 3．如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为　 　 ． 4．如图，AB∥CD，若∠B+∠D+∠BED＝180°，则∠BED＝　 　 ． 5．先阅读再解答： （1）如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D＝∠BED； （2）已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠BED＝360°； （3）已知：如图3，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE．求证：∠BFE＝∠FEC． 三．鸟头模型 6．如图，AB∥CD∥EF，x，y，z表示图中三个角的角度． （Ⅰ）x，y与z三者之间的数量关系为 　 　 ； （Ⅱ）若y﹣x＝50°，x与z两者之间的数量关系为 　 　 ． 7．【猜想】如图1，AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连BE，ED，若∠B＝25°，∠D＝40°，则△BED的大小为 　 　 度．（直接写出结果） 【探究】如图2，AB∥CD，BE，CE交于点E，探究∠ABE，∠BEC，∠ECD（均为小于180°的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】如图3，AB∥CD，∠ABE的平分线BF与∠ECD的角平分线CG的反向延长线交于点F，且∠BFG﹣2∠BEC＝57°，直接写出∠BEC的大小为 　 　 ． 四．M型及其变式 8．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（　　） A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ 9．如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为 　 　 ． 10．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． （1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由． 五.能力提升 11．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板（∠F＝90°）． （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠2＝110°，求∠1的度数； （2）如图2，过点E作CD∥AB，若∠AGF＝75°，求∠CEF的度数； （3）探究：将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方，在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系，并说明理由． 12．已知，直线PQ∥m∥n，A，B，C分别是直线PQ，m，n上的点，连结AB，AC，若∠QAC为锐角，点B在∠CAQ的内部． （1）如图1，若∠1＝40°，∠2＝35°，求∠3的度数； （2）如图2，以AB为边向左侧作∠BAD＝60°，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作∠ADC的平分线DE，交AC于点E，连结EB并延长，交直线PQ于点F，记EF与直线m的夹角为β，∠EDC＝α．若∠ABF＝β． ①求α与β的数量关系； ②求∠FEC﹣∠AED的值． 参考答案 1．如图，AB∥EF，CD平分∠ACE，若∠A＝155°，∠E＝105°，则∠ACD＝　50　 °． 【解答】解：过点C作CG∥AB，如图， ∵AB∥EF， ∴AB∥CG∥EF， ∴∠A+∠ACG＝180°，∠E+∠ECG＝180°， ∵∠A＝155°，∠E＝105°， ∴∠ACG＝180°﹣∠A＝25°，∠ECG＝180°﹣∠E＝75°， ∴∠ACE＝∠AEG+∠ECG＝100°， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD∠ACE＝50°． 故答案为：50． 2．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　65　 度． 【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图： ∵AB∥DE， ∴AB∥CF∥ED． AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°， CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°， ∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°． 故填65°． 3．如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为　70°　 ． 【解答】解：由题意，如图，过A作n∥p， ∴∠1＝∠3＝40°． ∵m∥n，n∥p， ∴m∥p． ∴∠2＝∠BAC＝30°+∠3＝30°+40°＝70°． 故选：70°． 4．如图，AB∥CD，若∠B+∠D+∠BED＝180°，则∠BED＝　90°　 ． 【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∴∠B+∠D＝∠BED， 又∵∠B+∠D+∠BED＝180°， ∴∠BED＝90°， 故答案为：90°． 5．先阅读再解答： （1）如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D＝∠BED； （2）已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠BED＝360°； （3）已知：如图3，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE．求证：∠BFE＝∠FEC． 【解答】（1）解：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B＝∠BEF，∠FED＝∠D， ∵∠BED＝∠BEF+∠FED， ∴∠BED＝∠B+∠D； （2）证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B+∠BEF＝180°，∠FED+∠D＝180°， ∵∠BED＝∠BEF+∠FED，∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°， ∴∠B+∠D+∠BED＝360°； （3）证明：延长BF和反向延长CD相交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠G， ∵∠ABF＝∠DCE， ∴∠G＝∠DCE， ∴BG∥CE， ∴∠BFE＝∠FEC． 6．如图，AB∥CD∥EF，x，y，z表示图中三个角的角度． （Ⅰ）x，y与z三者之间的数量关系为 y+x﹣z＝180°　 ； （Ⅱ）若y﹣x＝50°，x与z两者之间的数量关系为 　2x﹣z＝130°　 ． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB∥CD∥EF， ∴∠AEF＝∠EAM＝x，∠DCE+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝x﹣z， ∴y+x﹣z＝180°， 故答案为：y+x﹣z＝180°； （Ⅱ）∵y﹣x＝50°， ∴y＝x+50°， ∵y+x﹣z＝180°； ∴x+50°+x﹣z＝180°， ∴2x﹣z＝130°， 故答案为：2x﹣z＝130°． 7．【猜想】如图1，AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连BE，ED，若∠B＝25°，∠D＝40°，则△BED的大小为 　65　 度．（直接写出结果） 【探究】如图2，AB∥CD，BE，CE交于点E，探究∠ABE，∠BEC，∠ECD（均为小于180°的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】如图3，AB∥CD，∠ABE的平分线BF与∠ECD的角平分线CG的反向延长线交于点F，且∠BFG﹣2∠BEC＝57°，直接写出∠BEC的大小为 　22°　 ． 【解答】解：【猜想】过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥AB， ∴∠BEM＝∠B，∠DEM＝∠D， ∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝∠B+∠D＝65°． 故答案为：65； 【探究】∠BEC+∠B﹣∠C＝180°，理由如下： 过点E作EN∥AB，如图2所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EN∥CD， ∴∠B+∠BEN＝180°，∠CEN＝∠C， ∴∠B+∠BEN+∠CEN＝180°+∠C， ∵∠BEC＝∠BEN+∠CEN， ∴∠B+∠BEC＝180°+∠C， 即∠B+∠BEC﹣∠C＝180°． 【拓展】过点F作FH∥AB，过点E作EK∥CD，则：AB∥FH∥CD∥EK， 同（2）可得：∠BFC+∠FCD﹣∠ABF＝180°， ∵AB∥FH∥CD∥EK， ∴∠ABE＝∠BEK＝∠BEC+∠KEC，∠KEC+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠KEC， ∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD， ∴∠ABF∠ABE（∠BEC+∠CEK），∠DCG∠ECD， ∴∠FCD＝180°﹣∠DCG＝180°∠ECD＝180°（180°﹣∠KEC）＝180°﹣90°∠KEC＝90°∠KEC， ∴∠BFC+∠FCD﹣∠ABF＝∠BFC+90°∠KEC（∠BEC+∠CEK）＝180°， 即：∠BFC∠BEC＝90°， 又∵∠BFC﹣2∠BEC＝57°， ∴∠BFC＝2∠BEC+57°， ∴2∠BEC+57°∠BEC＝90°， ∴∠BEC＝22°． 故答案为：22°． 8．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（　　） A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ 【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH， ∵AB∥EF， ∴AB∥CG∥DH∥EF， ∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ， ∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α， ∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ， ∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ， ∴α+β﹣γ＝90°． 故选：C． 9．如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为 　360°　 ． 【解答】解：如图所示，延长AE，DG交于点Q， 由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°， 又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F， ∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F， 即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）， 又∵∠AEF+∠DGF＝∠H， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D） ＝∠B+∠C+∠H ＝360°， 故答案为：360°． 10．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． （1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°； （2）∠AKC∠APC， 理由：如图2，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK+∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP）∠APC， ∴∠AKC∠APC； （3）∠AKC∠APC， 理由：如图3，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK﹣∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP﹣∠DCP）∠APC， ∴∠AKC∠APC． 11．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板（∠F＝90°）． （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠2＝110°，求∠1的度数； （2）如图2，过点E作CD∥AB，若∠AGF＝75°，求∠CEF的度数； （3）探究：将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方，在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGB， ∵∠2＝110°， ∴∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°， ∴110°+45°+∠EGB＝180°， ∴∠EGB＝25°， 即∠1＝25°； （2）如图，过点F作FP∥AB， ∵CD∥AB， ∴FP∥AB∥CD， ∴∠AGF＝∠PFG，∠CEF＝∠PFE， ∴∠PFG+∠PFE＝∠ACF＝∠CDF＝∠EFG， ∵∠EFG＝90°， ∴∠AGF+∠CEF＝90°， ∵∠AGF＝75°， ∴∠CEF＝90°﹣75°＝15°； （3）①如图，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE， ∵∠NFG＝∠NFE＝∠GFE＝90°， ∴∠AGF＝∠CEF＝90°； ②当点F在直线AB与直线CD之间时，过点F作MN∥AB，如图， 由（2）可知：∠AGF+∠CEF＝90°； ③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE， ∵∠NFE﹣GFN＝∠GFE＝90°， ∴∠CEF﹣∠AGF＝90°； 综上，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF﹣∠CEF＝90°；②当点F在点线AB与点线CD之间时，∠AGF+∠CEF＝90°；③当点F在直线AB的下方时，∠CEF﹣∠AGF＝90°． 12．已知，直线PQ∥m∥n，A，B，C分别是直线PQ，m，n上的点，连结AB，AC，若∠QAC为锐角，点B在∠CAQ的内部． （1）如图1，若∠1＝40°，∠2＝35°，求∠3的度数； （2）如图2，以AB为边向左侧作∠BAD＝60°，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作∠ADC的平分线DE，交AC于点E，连结EB并延长，交直线PQ于点F，记EF与直线m的夹角为β，∠EDC＝α．若∠ABF＝β． ①求α与β的数量关系； ②求∠FEC﹣∠AED的值． 【解答】解：（1）∵∠1＝40°，∠2＝35°，PQ∥m∥n， ∴∠QAB＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠QAC＝∠1+∠2＝75°； （2）①∵PQ∥m， ∴∠FAB+2β＝180°， ∵PQ∥n， ∴∠FAB+60°+2α＝180°， 即60°+2α﹣2β＝0， ∴β﹣α＝30°； ②如图，过E作n的平行线MN， 则∠AEN＝∠CEM， ∵∠FEM＝β，∠DEN＝α， ∴∠FEC﹣∠AED＝（β+∠CEM）﹣（α+∠AEN）＝β﹣α＝30°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/25 16:33:32；用户：名思；邮箱：cskw06@xyh.com；学号：32366772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $