专题29.3 投影与视图（章节复习）（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

本初中数学讲义聚焦投影与视图章节复习，系统梳理平行投影、中心投影、正投影的概念及规律，构建三视图的画法、判断与几何体还原的知识支架，形成从基础概念到实际应用的完整脉络。 该资料以19个考点分层讲练为核心，典例结合变式训练，融入中考真题与难度分层练习。通过“立竿见影”测量旗杆高度等生活实例培养数学眼光，借助三视图还原与计算发展空间观念和推理能力，助力教师高效授课与学生课后查漏补缺。

专题29.3 投影与视图（章节复习） （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：平行投影 2 知识点梳理02：中心投影 3 知识点梳理03：正投影 3 知识点梳理04：三视图 4 知识点梳理05：画几何体的三视图 5 知识点梳理06：由三视图想象几何体的形状 6 优选题型 考点讲练 6 考点1：平行投影 6 考点2：中心投影 7 考点3：正投影 7 考点4：视点、视角和盲区 8 考点5：判断简单几何体的三视图 8 考点6：判断简单组合体的三视图 9 考点7：判断非实心几何体的三视图 9 考点8：已知一种或两种视图，判断其他视图 10 考点9：画简单几何体的三视图 11 考点10：画简单组合体的三视图 11 考点11：画小立方块堆砌图形的三视图 12 考点12：由三视图还原几何体 12 考点13：已知三视图求边长 13 考点14：已知三视图求侧面积或表面积 14 考点15：求小立方块堆砌图形的表面积 14 考点16：已知三视图求体积 15 考点17：求几何体视图的面积 16 考点18：由三视图，判断小立方体的个数 16 考点19：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 17 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 20 知识点梳理01：平行投影 1.定义理解：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： 　(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　 　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 　2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. 　　（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【易错点拨】 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 知识点梳理02：中心投影 　　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　 　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点梳理03：正投影 　 正投影的定义： 　　　　　 　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. 　　(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　 　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； 　　 ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. 　　 ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. 　　(3)立体图形的正投影. 　　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【易错点拨】 　　(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. 　　(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. 　　(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的. 知识点梳理04：三视图 1.三视图的概念 　　（1）视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. 　　（2）正面、水平面和侧面 　　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. 　　（3）三视图 　　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 　　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示. 　　　　　　　 　　（2）大小关系 　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 【易错点拨】 　　物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 知识点梳理05：画几何体的三视图 画图方法： 　　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 【易错点拨】 　　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 知识点梳理06：由三视图想象几何体的形状 　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【易错点拨】 　　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 考点1：平行投影 【典例精讲】（24-25九年级下·山西晋中·期末）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆的影长，小明的影长，已知小明的身高，则旗杆的高为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 考点2：中心投影 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【变式训练】（23-24九年级下·贵州毕节·期末）两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． 考点3：正投影 【典例精讲】（2024·湖北恩施·模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【变式训练】（2023九年级下·全国·专题练习）把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A． B． C． D． 考点4：视点、视角和盲区 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图表示一个正五棱柱形状的建筑物，如图是它的俯视图，小明站在地面上观察该建筑物，当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有 个． 【变式训练】（24-25九年级下·山东青岛·单元测试）图表示正六棱柱形状的高大建筑物，图中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，、、、表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在 区域（填写区域代号）． 考点5：判断简单几何体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，下列立体图形中，主视图与左视图不相同的是（   ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球 【变式训练】（2024·江西·模拟预测）如图，几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 考点6：判断简单组合体的三视图 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示的几何体是由7个完全相同的小正方体构成的，若现要移走序号为①~④中的1个小正方体，则只会使其左视图或俯视图中的1种视图的形状改变的方法是（    ） A．移走① B．移走② C．移走③ D．移走④ 【变式训练】（2025·辽宁沈阳·二模）下列四个几何体是由5个相同的小立方块搭成的，其中俯视图既是轴对称图形又是中心对称图形的几何体是(    ) A． B． C． D． 考点7：判断非实心几何体的三视图 【典例精讲】（2024·山东威海·一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·山东菏泽·期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ． 考点8：已知一种或两种视图，判断其他视图 【典例精讲】（2024·内蒙古·中考真题）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（    ）    A．    B．   C．   D．   【变式训练】（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图是由个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 考点9：画简单几何体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·课后作业）画出图中基本几何体的三视图． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图是正方体截取一个角后的几何体，画出这个几何体的三视图． 考点10：画简单组合体的三视图 【典例精讲】（23-24九年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图所示，画出该几何体的三视图．    【变式训练】（24-25九年级下·陕西榆林·期中）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，请在下面的方格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图．    考点11：画小立方块堆砌图形的三视图 【典例精讲】（2025·湖北随州·模拟预测）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·辽宁大连·二模）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 考点12：由三视图还原几何体 【典例精讲】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某校图书阅览室的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（    ） A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱柱 【变式训练】（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 考点13：已知三视图求边长 【典例精讲】（2024·安徽安庆·模拟预测）如图是三棱柱的三视图，其中，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为12，则a的值 ． 考点14：已知三视图求侧面积或表面积 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州毕节·期末）如图是一个几何体的三种视图． (1)这个几何体的名称是________； (2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留） 【变式训练】（2025·湖南·模拟预测）如图是某种工件的三视图，其俯视图为正六边形，它的表面积是 ． 考点15：求小立方块堆砌图形的表面积 【典例精讲】（2024·山东日照·二模）如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式训练】（2024·内蒙古赤峰·二模）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 考点16：已知三视图求体积 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西西安·期中）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积． 【变式训练】（24-25九年级下·山东德州·月考）如图是一几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积．    考点17：求几何体视图的面积 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】（2024·四川·二模）如图，该几何体是由六个棱长为1的小正方体组合而成，则该几何体主视图的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 考点18：由三视图，判断小立方体的个数 【典例精讲】（23-24九年级下·浙江绍兴·开学考试）如图，每一个小立方体体积为2，那么，这个图形的总体积是（　　）． A．15 B．30 C．20 D．45 【变式训练】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）图是由若干个小正方体组成的，数一数，一共有（　　）个这样的小正方体． A．10 B．9 C．8 D．7 考点19：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【典例精讲】（24-25九年级下·河南开封·期末）由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体个数最少为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式训练】（24-25九年级下·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 1．（2024·山西运城·中考真题）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体需用小正方体的个数最多是 ． 2．（2024·全国·中考真题）在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有 ．（直接填序号） 3．（2024·辽宁铁岭·中考真题）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（   ） A．图①和图②主视图相同 B．图①和图③主视图相同 C．图①和图③左视图相同 D．图①和图④俯视图不相同 4．（2024·山东烟台·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2024·湖南长沙·中考真题）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 基础夯实 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示的是由7个完全相同的正方体组合而成的几何体，它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图所示的几何体的俯视图是图中的 （   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·三模）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为 ． 4．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）李华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树高为 米． 5．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，这是由6个大小相同的小立方体块搭建而成的几何体，请画出该几何体的三视图． 培优拔高 6．（2025·安徽·模拟预测）如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽淮北·三模）某几何体如图所示，下列各图不是该几何体的三视图的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·广东潮州·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ． 9．（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ． 10．（24-25九年级下·江西赣州·月考）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.3 投影与视图（章节复习） （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：平行投影 2 知识点梳理02：中心投影 3 知识点梳理03：正投影 3 知识点梳理04：三视图 4 知识点梳理05：画几何体的三视图 5 知识点梳理06：由三视图想象几何体的形状 6 优选题型 考点讲练 6 考点1：平行投影 6 考点2：中心投影 7 考点3：正投影 9 考点4：视点、视角和盲区 10 考点5：判断简单几何体的三视图 11 考点6：判断简单组合体的三视图 12 考点7：判断非实心几何体的三视图 14 考点8：已知一种或两种视图，判断其他视图 15 考点9：画简单几何体的三视图 16 考点10：画简单组合体的三视图 17 考点11：画小立方块堆砌图形的三视图 19 考点12：由三视图还原几何体 20 考点13：已知三视图求边长 21 考点14：已知三视图求侧面积或表面积 22 考点15：求小立方块堆砌图形的表面积 24 考点16：已知三视图求体积 26 考点17：求几何体视图的面积 27 考点18：由三视图，判断小立方体的个数 28 考点19：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 29 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 34 基础夯实 34 培优拔高 36 知识点梳理01：平行投影 1.定义理解：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： 　(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　 　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 　2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. 　　（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【易错点拨】 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 知识点梳理02：中心投影 　　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　 　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点梳理03：正投影 　 正投影的定义： 　　　　　 　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. 　　(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　 　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； 　　 ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. 　　 ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. 　　(3)立体图形的正投影. 　　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【易错点拨】 　　(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. 　　(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. 　　(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的. 知识点梳理04：三视图 1.三视图的概念 　　（1）视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. 　　（2）正面、水平面和侧面 　　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. 　　（3）三视图 　　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 　　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示. 　　　　　　　 　　（2）大小关系 　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 【易错点拨】 　　物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 知识点梳理05：画几何体的三视图 画图方法： 　　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 【易错点拨】 　　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 知识点梳理06：由三视图想象几何体的形状 　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【易错点拨】 　　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 考点1：平行投影 【典例精讲】（24-25九年级下·山西晋中·期末）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆的影长，小明的影长，已知小明的身高，则旗杆的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题的关键是根据相似三角形的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等． 设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可． 【规范解答】解：设该旗杆的高度为， 根据题意，得， 解得：． 即该旗杆的高度是 ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【规范解答】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故选：D． 考点2：中心投影 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交延长线于，如图，证明，然后利用相似比等于高之比可求出的长． 【规范解答】解：延长 分别交x轴于 ，作轴于，交延长线于，如图 ∵， ∴，，，， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，即 ∴， 故选：B． 【变式训练】（23-24九年级下·贵州毕节·期末）两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影，解题的关键是理解题意，掌握中心投影的性质． （1）分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求； （2）连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 【规范解答】（1）解：（1）如图，分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求． （2）解：如图，连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 考点3：正投影 【典例精讲】（2024·湖北恩施·模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【答案】D 【思路点拨】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案． 【规范解答】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意； 故选D 【变式训练】（2023九年级下·全国·专题练习）把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案． 【规范解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形． 故选：B． 考点4：视点、视角和盲区 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图表示一个正五棱柱形状的建筑物，如图是它的俯视图，小明站在地面上观察该建筑物，当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有 个． 【答案】 【思路点拨】根据正五棱柱形状的建筑物，它的俯视图，可知当只能看到建筑物的一个侧面时，正好是以正五边形其中一条边的正三角形，即可得出符合要求的活动区域． 【规范解答】根据正五棱柱形状的建筑物，它的俯视图，可知， 当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域是以每一条正五边形的边长为以其中一条边的正三角形， ∴当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有 5个，是以每一条边构成的等边三角形． 故答案为5． 【变式训练】（24-25九年级下·山东青岛·单元测试）图表示正六棱柱形状的高大建筑物，图中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，、、、表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在 区域（填写区域代号）． 【答案】 【思路点拨】若要同时看到建筑物的三个侧面，那么小明所处的位置在三个侧面所在平面的公共区域，由此进行判断． 【规范解答】当小明在P、N区域时，只能看到建筑物的一个侧面， 当小明在M区域时，只能看到建筑物的两个侧面， 由于Q区域时建筑物三个侧面的公共区域，因此小明在Q区域时，可看到建筑物的三个侧面； 故答案是：Q． 考点5：判断简单几何体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，下列立体图形中，主视图与左视图不相同的是（   ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球 【答案】A 【思路点拨】本题考查三视图，根据几何体的三视图逐项判断解答． 【规范解答】解：∵长方体的主视图和左视图都是长方形，但形状不同，∴A符合题意； ∵正方体的左视图与主视图均为以正方体棱长为边长的正方形，∴B不符合题意； ∵圆柱体左视图和主视图为相同的矩形，∴C不符合题意； ∵球的左视图与主视图均为以球半径为半径的圆，∴D不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（2024·江西·模拟预测）如图，几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了几何体的左视图，熟练掌握“左视图的高、宽要对齐，看得见的轮廓线用实线，看不见但实际存在的用虚线表示”是解题的关键． 【规范解答】解：从左面看，是一个正方形被剪掉了右上角部分． 故选：D． 考点6：判断简单组合体的三视图 【典例精讲】（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示的几何体是由7个完全相同的小正方体构成的，若现要移走序号为①~④中的1个小正方体，则只会使其左视图或俯视图中的1种视图的形状改变的方法是（    ） A．移走① B．移走② C．移走③ D．移走④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．根据左视图，俯视图的画图要求，分别画图解答即可． 【规范解答】 解：由图可知原几何体的左视图为：，俯视图为：； 移走①的左视图为：，俯视图为：，只有左视图的形状变化； 移走②的左视图为：，俯视图为：，左视图和俯视图都没变化； 移走③的左视图为：，俯视图为：，左视图和俯视图都没变化； 移走④的左视图为：，俯视图为：，左视图和俯视图都变化； 综上，只会使其左视图或俯视图中的1种视图的形状改变的方法是移走①， 故选：A． 【变式训练】（2025·辽宁沈阳·二模）下列四个几何体是由5个相同的小立方块搭成的，其中俯视图既是轴对称图形又是中心对称图形的几何体是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法及形状是正确判断的前提，理解轴对称图形、中心对称图形的定义是正确解答的关键．根据从上边看得到的图形是俯视图，再根据轴对称图形的定义可得答案． 【规范解答】解：选项A的几何体的俯视图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； 选项B的几何体的俯视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意； 选项C的几何体的俯视图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 选项D的几何体的俯视图不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 考点7：判断非实心几何体的三视图 【典例精讲】（2024·山东威海·一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【规范解答】该几何体的左视图如图所示： 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·山东菏泽·期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ． 【答案】俯视图 【思路点拨】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可． 【规范解答】解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故答案为：俯视图． 考点8：已知一种或两种视图，判断其他视图 【典例精讲】（2024·内蒙古·中考真题）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】D 【思路点拨】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案． 【规范解答】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个， 所以该几何体的主视图是       故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图是由个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据左看行，找最大，即可得出答案． 【规范解答】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有两列，左边一列有个正方形，右边一列有个正方形， 故选：A． 考点9：画简单几何体的三视图 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·课后作业）画出图中基本几何体的三视图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了几何体的三视图，几何体的三视图就是从几何体的正面、左面、上面看到的平面图形． 圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆； 正三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正三角形； 球的主视图、左视图、俯视图都是圆． 【规范解答】如下图所示， 如下图所示， 如下图所示， 【变式训练】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图是正方体截取一个角后的几何体，画出这个几何体的三视图． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了三视图的画法，正确掌握三视图之间的数量关系是解决问题的关键．主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等，即长对正，高平齐，宽相等，结合俯视图与左视图的定义画出即可． 【规范解答】解：如图， 考点10：画简单组合体的三视图 【典例精讲】（23-24九年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图所示，画出该几何体的三视图．    【答案】作图见解析． 【思路点拨】本题考查了画几何体的三视图，根据三视图的画法即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【规范解答】解：该几何体的三视图如图所示：    【变式训练】（24-25九年级下·陕西榆林·期中）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，请在下面的方格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图．    【答案】见解析 【思路点拨】根据三视图的画法画出相应的图形即可． 【规范解答】解：根据几何体的从正面看、从左面看、从上面看的画法画出图形如下：    考点11：画小立方块堆砌图形的三视图 【典例精讲】（2025·湖北随州·模拟预测）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三视图的概念，根据左视图：由左向右观察物体得到的视图，即可求解．根据从左侧看有两列，第1列为1个小正方形，第2列为2个小正方形，即可求解． 【规范解答】解：对于该几何体，左视图从左到右有两列，第1列为1个小正方形，第2列为2个小正方形，B选项符合． 故选：B． 【变式训练】（2025·辽宁大连·二模）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三视图的知识．俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【规范解答】解：从上面看到的图形是： 故选：D． 考点12：由三视图还原几何体 【典例精讲】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某校图书阅览室的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（    ） A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱柱 【答案】B 【思路点拨】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据三棱柱的三视图的特点确定结果即可． 【规范解答】解：根据三视图的特点可知，该几何体为三棱柱． 故选：B． 【变式训练】（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查利用三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【规范解答】解：A．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； B．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； C．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； D．该几何体的三视图符合题意． 故选：D． 考点13：已知三视图求边长 【典例精讲】（2024·安徽安庆·模拟预测）如图是三棱柱的三视图，其中，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据左视图中EH等于俯视图中的PM，利用三角函数先求出MN，再利用勾股定理求出PM即可． 【规范解答】解：∵∠MPN=90°， ∴△PMN为直角三角形， ∴， 即，解得：， ∴， ∴EH=PM=3，故C正确． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为12，则a的值 ． 【答案】 【思路点拨】观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2，正三棱柱的底面正三角形的高是a，根据勾股定理可得底面边长为a，根据长方形的面积公式和这个正三棱柱的侧面积为12，可得关于a的方程，解方程即可求得a的值． 【规范解答】解：观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2，正三棱柱的底面正三角形的高是a，则底面边长为a， 依题意有a×2×3=12， 解得a=． 故答案为：． 考点14：已知三视图求侧面积或表面积 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州毕节·期末）如图是一个几何体的三种视图． (1)这个几何体的名称是________； (2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆柱的侧面积公式． （1）根据俯视图和左视图可以判断出该几何体是柱体，根据主视图判断为圆柱； （2）根据圆柱的底面直径和高，再利用圆柱的侧面积公式计算即可； 【规范解答】（1）解：根据三视图即可得出该几何体是圆柱， 故答案为：圆柱． （2）解：由图可知，圆柱的底面圆的直径是4，高为6， 则圆柱的侧面积为：． ∴这个几何体的侧面积为． 【变式训练】（2025·湖南·模拟预测）如图是某种工件的三视图，其俯视图为正六边形，它的表面积是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查的知识点是几何体的表面积及由三视图判断几何体，解题的关键是先判断几何体，再求其表面积． 由三视图可知，它的表面积为侧面积加上2个正六边形的面积． 【规范解答】解：由已知三视图得出，某种工件为六棱柱，如图，作于， 则， 工件为六棱柱， 为三角形． ． ． 工件为六棱柱， ． ， 六棱柱的侧面积为：， 所以它的表面积为：． 故答案为：． 考点15：求小立方块堆砌图形的表面积 【典例精讲】（2024·山东日照·二模）如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【思路点拨】本题考查了组合几何体的表面积，分别求出每一次的表面，相加求出总的表面积，再乘以单价即可求解，正确求出几何体的表面积是解题的关键． 【规范解答】解：由图可得，最上层侧面积为平方米，上表面面积为平方米，总面积为平方米； 中间一层侧面积为平方米，上表面面积为平方米，总面积为； 最下层侧面积为平方米，上表面面积为平方米，总面积为平方米； ∴需要涂上颜色部分的面积为平方米 ， ∴油漆完工后，应付给漆匠师傅元， 故选：． 【变式训练】（2024·内蒙古赤峰·二模）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)10，见解析 (2)64 (3)4 【思路点拨】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量； （3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量． 【规范解答】（1）由图可知小正方形的个数为：， 这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下： 故答案为：10； （2）解：（克）， 故答案为：64； （3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 因此最多可添加4块． 故答案为：4． 考点16：已知三视图求体积 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西西安·期中）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积． 【答案】见解析，＝ 【思路点拨】本题考查三视图，根据三视图还原几何体为长方体中间扣掉半个圆柱体，补全左视图和俯视图，再利用长方体的体积减去半个圆柱体的体积，求出几何体的体积即可． 【规范解答】解：补全三视图如图： 由图可知： 【变式训练】（24-25九年级下·山东德州·月考）如图是一几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了根据三视图计算几何体的体积，由主视图和俯视图可知，该几何体的下部分是一个长方体，上部分是一个圆柱，据此根据长方体和圆柱的体积计算公式求解即可． 【规范解答】解：由主视图和俯视图可知，该几何体的下部分是一个长方体，上部分是一个圆柱， ， ∴这个几何体的体积为． 考点17：求几何体视图的面积 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查了俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握俯视图的定义是解题关键．先画出这个立体图形的俯视图，再计算面积即可得． 【规范解答】解：这个立体图形的俯视图如下： 则该立体图形俯视图的面积为（平方厘米）， 故选：C． 【变式训练】（2024·四川·二模）如图，该几何体是由六个棱长为1的小正方体组合而成，则该几何体主视图的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查了立体几何中三视图求面积，掌握三视图的特点，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，确定主视图，再根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【规范解答】解：根据题意，该几何体的主视图如下所示， ∵小正方形的边长为1， ∴俯视图的面积为：， 故选：B ． 考点18：由三视图，判断小立方体的个数 【典例精讲】（23-24九年级下·浙江绍兴·开学考试）如图，每一个小立方体体积为2，那么，这个图形的总体积是（　　）． A．15 B．30 C．20 D．45 【答案】B 【思路点拨】题目主要考查立方体的体积，结合图形求解即可． 【规范解答】解：由图得共有小立方体个， ∴这个图形的总体积是， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）图是由若干个小正方体组成的，数一数，一共有（　　）个这样的小正方体． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【思路点拨】本题考查立体图形中小正方体个数的计数，解题关键是分层计数，注意被遮挡的小正方体． 分层数小正方体的个数，再求和． 【规范解答】解：上层有4个小正方体，下层有个， 则小正方体的总数为个． 故选：A． 考点19：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【典例精讲】（24-25九年级下·河南开封·期末）由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体个数最少为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体，仔细观察该几何体的主视图和俯视图，发挥空间想象能力，便可得出几何体的形状．解答本题的关键是熟练掌握：主视图是从物体的前面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【规范解答】解：仔细观察物体的主视图和俯视图可知：该几何体的下面最少要有四个小正方体，上面最少要有一个小正方体， 故该几何体最少有5个小正方体组成， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 【答案】7 【思路点拨】本题考查根据三视图确定小正方体的个数，根据俯视图定位置，主视图确定个数，进行判断即可． 【规范解答】解：由题意，当小立方块最少时，如图： （画法不唯一，第一列其中一个位置有2个，第二列其中一个位置有2个，剩余位置为1个即可）； （个）； 故答案为：7． 1．（2024·山西运城·中考真题）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体需用小正方体的个数最多是 ． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了由三视图判断几何体，解答本题的关键是熟练掌握三视图的定义；首先由俯视图可知最底层小正方体的个数，由左视图可知，第二层小正方体的最多个数；然后将第一层、第二层的小正方形的个数相加即可得到答案． 【规范解答】解：由俯视图易得最底层有5个小正方体，由左视图可知第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体最多可用的正方体为个． 故答案为∶7． 2．（2024·全国·中考真题）在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有 ．（直接填序号） 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是解题的关键． 根据主视图与俯视图分别是从物体正面、上面看得到的图形来解答． 【规范解答】解：正方体，主视图、俯视图都为正方形，即主视图和俯视图相同； 球，主视图、俯视图都为圆，即主视图和俯视图相同； 圆柱，主视图是长方形，俯视图是圆，即主视图和俯视图不相同； 圆锥，主视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，即主视图和俯视图不相同； 故答案为：． 3．（2024·辽宁铁岭·中考真题）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（   ） A．图①和图②主视图相同 B．图①和图③主视图相同 C．图①和图③左视图相同 D．图①和图④俯视图不相同 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三视图，根据三视图的相关概念解答即可，解题的关键是正确理解几何体三种视图． 【规范解答】 解：图①的主视图、左视图、俯视图为：； 图②的主视图为：， 故错，不符合题意； 图③的主视图和左视图为：， 故B正确，符合题意；C错误，不符合题意； 图④：俯视图为：， 故错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2024·山东烟台·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体． 【规范解答】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 故选：C． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【思路点拨】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 基础夯实 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示的是由7个完全相同的正方体组合而成的几何体，它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，且看得见的轮廓线是实线，看不见的轮廓线是虚线，即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示几何体的俯视图是： 故选：D ． 2．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图所示的几何体的俯视图是图中的 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【规范解答】解：几何体的俯视图是： ， 故选：C． 3．（2025·云南·三模）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】/288度 【思路点拨】本题考查了几何体的三视图，圆锥的侧面展开图的圆心角等知识；由三视图确定出几何体的形状是圆锥，由三视图确定圆锥的底面直径及圆锥母线长，由扇形弧长公式即可求解． 【规范解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥，且底面圆的直径是16，母线长为10； 设圆锥侧面展开图的圆心角为，则有， 解得：； 即该几何体侧面展开图的圆心角的度数为； 故答案为：． 4．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）李华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树高为 米． 【答案】4.8 【思路点拨】本题考查平行投影及相似三角形的性质．关键是理解平行投影的特点：两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似的性质求解. 利用平行投影的特征以及相似三角形的性质可求出答案． 【规范解答】解：假设树高为， 由题意可知：， 解得：，即树高． 故答案为：4.8． 5．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，这是由6个大小相同的小立方体块搭建而成的几何体，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据简单组合体的三视图的画法画出它的三视图即可． 【规范解答】解：这个组合体的三视图如下： 培优拔高 6．（2025·安徽·模拟预测）如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查简单几何体的三视图，找到从左面看所得到的图形与题干图形对应即可，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别． 【规范解答】 解：的左视图为， 故选：B． 7．（2025·安徽淮北·三模）某几何体如图所示，下列各图不是该几何体的三视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【规范解答】解：A、是主视图，故不符合题意； B、是俯视图，故不符合题意； C、是左视图，故不符合题意； D、不是该几何体的三视图，故符合题意， 故选：D． 8．（24-25九年级下·广东潮州·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是圆锥的侧面展开图，三视图的含义，理解题意，掌握由三视图还原几何体是解本题的关键．先由三视图还原几何体为圆锥，再利用勾股定理求解母线长，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为6，高为4，如图， ∴，，而， ∴，， ∴该几何体的侧面积是． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5， ∴这个几何体的表面积是， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·江西赣州·月考）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2)路灯的高度为米 【思路点拨】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【规范解答】（1）解：此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影； （2）解：，， ， ， ， ∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为， ∴， 解得：， 路灯的高度为米． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $