圆锥曲线60条核心二级结论及证明讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学圆锥曲线单元复习讲义通过分类梳理椭圆21条、双曲线19条、抛物线20条核心二级结论及证明，构建完整知识体系，清晰呈现定义、焦点、切线等重难点的内在联系与逻辑脉络。 讲义亮点在于结论与证明结合，如椭圆焦点三角形面积公式推导培养数学思维，抛物线焦点弦性质应用强化数学语言表达，分层适配不同学生，助力教师精准教学与学生自主高效复习。

03 圆锥曲线 60 条核心二级结论及证明 ▍椭圆21条核心二级结论及证明 ( 【结论 1】 如图,过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径, MN 其长为 ) 【证明】将x = c 带入椭圆方程,解得 y ,从而得到MN = ( 【结论 2】 椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的 最大值为 a + c ,距离的最小值为 a - c . ) 【证明】设P(x0, y0 ) ,因为 P(x0, y0 ) 在椭圆上,所以满足 + = 1 ,以椭圆的左焦点为例,该点到左焦点的距离d y02 因为 y02 = b2(1 - ) ,代入原式化简得 d = = ((|x0 + ), ,又 -a ≤ x0 ≤ a ,所以当 x0 = -a 时,距离最小d = a - c ,当 x0 = a 时,距离最大 d = a + c . ( 【结论 3】 P 是椭圆异于长轴端点一点,已知 上 F 1 PF 2 = θ , 上 PF 1 F 2 = α , 上 PF 2 F 1 = β ,则离心率 e = ) ( 1 2 2 1 )【证明】对于PF1F2 ,由正弦定理得 = = = , c 2c F1F2 2R sin θ sin θ 所以 e = a = 2a = PF1 + PF2 = 2R(sin β + sin α) = sin β + sin α ( 【结论 4】 如图, F 1 , F 2 为椭圆的两个焦点, P ( x 0 , y 0 ) 为椭圆上任意一点,则 PF 1 = a + ex 0 , PF 2 = a - ex 0 , (椭圆焦 点在 x 轴)； PF 1 = a + ey 0 , PF 2 = a - ey 0 , (椭圆焦点在 y 轴) ) 【证明】设P(x0, y0 ) ，所以PF1 2 = (x0 + c)2 + y0 (2) = (x0 + c )2 + b2 - x0 (2) = x0 (2) + 2cx0 + c2 + b2 ,整理得 ( PF ) ( 1 )2 = x0 (2) + 2cx0 + a2 = e2 x0 (2) + 2eax0 + a2 = (a + ex0 )2 因为 -a ≤ x0 ≤ a ,所以 a + ex0 ≥ a - ea = a - c > 0 ,所以 PF1 = a + ex0 ,因为PF2 + PF1 = 2a ,所以PF2 = a - ex0 ( 【结论 5】 如图, F 1 , F 2 为椭圆 + = 1 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,则当点 P 为椭圆短轴的 端时, 上 F 1 PF 2 最大. ) ( ( PF + PF ) 2 )【证明】因为PF1 + PF2 = 2a , F1F2 = 2c ,所以PF1 . PF2 ≤ , = a2 (当PF1 = PF2 时取等),由余弦定 ( 2 ) ( ( ) ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 4 b 2 )2 ( 1 2 ) ( - 2 ) ( 4 a 2 - 4 c 2 ) ( - FF ) ( PF PF - FF ) ( PF ) ( PF ) ( + ) ( 1 ) ( 1 2 1 2 ) ( 2 ) ( 1 = ) ( 1 ) ( = ) ( = ) ( 2 PF ) ( 2 PF ) ( 2 PF ) ( PF ) ( PF ) ( PF ) ( PF ) ( 1 ) ( 2 )理知cos 上F1PF2 = ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )2 e2 (当PF1 = PF2 时取等),所以当PF1 = PF2 时,点 P 为椭圆短轴的端点时上F1PF2 最大. ( 【结论 6】 P 为椭圆 + = 1 上异于长轴端点的点, F 1 , F 2 为两个焦点, 则 F 1 PF 2 称作焦点三角形.若 上 F 1 PF 2 = α ,则 S F 1 PF 2 = b 2 tan .通过余弦定理得: PF 1 . PF 2 = ) 【证明】如图,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限,为P(x, y) .由余弦定理知F1F2 2 = PF1 2 + PF2 2 - 2PF1 . PF2 cos α = 4c2 ①. ( 1 + cos α )由椭圆定义知PF1 + PF2 = 2a ②.则② 2 - ①得PF1 . PF2 = 2b2 . 故 S PF2 sin sin α = b 2 tan ( 【结论 7】 P 是椭圆 + = 1 上的任意一点, F 1 和 F 2 是椭圆的两个焦点,则 PF 1 . PF 2 的取值范围是 b 2 , a 2 ) ( 1 + cos α )【证明】根据结论 6 可知PF1 . PF2 = 2b2 ,当P 在左右顶点时, cos α = 1 ,故 PF1 . PF2 = b2 ,当P 在上下顶点 ( a 2 - 2 c 2 2 )时,夹角最大,故cosα 取得最小值,由几何关系和余弦定理可得 cos α = a2 ,可得到PF1 . PF2 = a ,则 PF1 . PF2 的取值范围是b2 , a2 ( 【结论 8】 P 是椭圆 1 上的任意一点, F 1 , F 2 是椭圆的两个焦点,则 . 2 取值范围是 b 2 - c 2 , a 2 - c 2 ) 【证明】设 P(x0, y0 ) .,F1 (-c, 0) ,F2 (c, 0) ， = (-c - x0, -y0 ) , = (c - x0, -y0 ) , . 2 = -c2 + x02 + y02 ,又 + = 1 得 y0 (2) = b2 - x0 (2) ,所以 . 2 = -c2 + x02 + b2 - x0 (2) = x0 (2) + b2 - c2 , x0 (2) ∈ 0, a2 ,故 . 2 的 取值范围是b2 - c2 , a2 - c2 ( 【结论 9】椭圆的第二定义: 平面上到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离之比是常数 e ∈ ( 0, 1) 的点的轨迹叫做椭圆 (如下图),即 PF = e 定点 F 叫焦点 定直线叫准线 焦点分为左焦点和右焦点 准线分为左准线 x = - a 2 和右准 d . , . , c 线 x . 注意:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线. ) ( 【结论 10】 如图, F 是椭圆 + = 1 的左焦点, AB 是过焦点的弦且倾斜角为 θ ,点 A 在 x 轴上方,则 | AF | = , | BF | = .当 F 是椭圆 + = 1 的右焦点时, | A F | = , | BF | = . 注意： 正负也可通过弦的长短决定, | AF | = , | BF | = 无需分左右焦点. ) ( 【结论 11】 若 AB 是经过椭圆 + = 1 焦点的一条弦,其中 A , B 分别是直线与椭圆的两个交点,则 ) 【证明】根据结论 10 焦点弦公式 | AF |= , | BF |= .所以 = , = ,即 ( 【结论 12】 若 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 是椭圆 上两个不重合的点 ,线段 AB 的中点为 P ( x 0 , y 0 ) , 则 k AB = - , k AB . k OP = - (点差法)；椭圆方程为 时, k AB k AB . k OP ) 【证明】设 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 且x1 ≠ x2 ,则 + = 1 ② ;①-②得 = - ,所以 所以kAB 又kOP 所以kAB 所以 ( 【结论 13】 椭圆 + = 1 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率 之积为 ) 【证明】 A(a, 0), B(a, 0) ,设 P(x0, y0 ) ,则 kPA = , kPB = kPA . kPB = 又因为 y0 (2) = b2 x0 (2) = 2 x0 (2) ) ,所以 kPA . kPB = ( 【结论 15】 若 l 是椭圆 + = 1 不垂直于对称轴的切线, M 为切点,则 k l . k OM = ) 【证明】设M(x0, y0 ) ,根据下一条结论,过点M(x0, y0 ) 的切线l方程为 + = 1 ,所以 kl = ,又因为 kOM = ，故 kl . kOM = ( 【结论 16】 在椭圆 + = 1 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程为 + = 1 . ) 【证明】设所求的切线方程为 y y0 = k (x x0 ) ,代人椭圆方程得b2 x2 + a2 (kx kx0 + y0 )2 = a2b2 ,即 (k2 a2 + b2 )x2 2ka2 (kx0 y0 )x + a2 (kx0 y0 )2 b2 = 0 ①,因为直线与椭圆相切,所以方程①有相等的两个实数 根,因此 Δ = 4k2 a4 (kx0 - y0 )2 - 4a2 (k2 a2 + b2 ) |(kx0 - y0 )2 - b2 | = 0 .化简得k2 (a2 - x0 (2) ) + 2kx0 y0 + b2 - y0 (2) = 0 ②, 因为点P(x0, y0 ) 在椭圆上,故b2x0 (2) + a2y0 (2) = a2b2 ,方程②的判别式Δ1 = 4x0 (2)y0 (2) - 4(a2 - x0 (2))(b2 - y0 (2)) = 4x0 (2)y0 (2) - 4(a2b2 - b2 x0 (2) - a2 y0 (2) + x0 (2)y0 (2)) = 0 .故方程②有相等的两个实数根,且其根 为 :k 则切线方程为 y - y0 = - (x - x0 ) ,即 + = 1 . ( 【结论 17】 椭圆 + = 1 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 + = 1 . ) 【证明】设P(x0, y0 ), A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) ,根据上一条结论,过椭圆上一点 A 的切线方程为同时直线 〔 x1x0 y1y0 ( a b a 2 b 2 x 2 x 0 y 2 y 0 1 )过点 P(x0, y0 ) ,所以 x12 (x)0 + y12 (y)0 = 1 ,同理可得 x2x0 + y2y0 = 1 ,可以得到{ a2 + b2 = 1 ,直线 AB 分别过点 ( l a 2 + b 2 = ) A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) ,满足上述方程组,所以直线 AB 的方程为 + = 1 . 【结论 18】在椭圆 + = 1 内一点P(x0, y0 ) ,过点 P 作椭圆的弦 AB ,过 A , B 作椭圆的切线,则两条切线的交点M 的轨迹方程为直线 + = 1 . 【证明】设P(x0, y0 ), M (x,, y,) 根据上一条结论,过椭圆外一点M(x,, y,) 的切线方程 AB 为 + = 1 ,同时直线 ( 过点 P ( x 0 , y 0 ) ,所以 + = 1 , M 的轨迹方程为直线 + = 1 )因为 P(x0, y0 ) 为定点,点M(x’, y’) 为动点,且满足 + = 1 ,所以交点 . ( 【结论 19】 以椭圆 + = 1 内一点 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在的直线方程为 + = + . ) 【证明】设过点P(x0, y0 )(y0 ≠ 0) 根据点差法结论kAB 所以以P 为中点的弦的直线方程为 y - y ,整理得 + = + (y ≠ 0) .当y0 = 0 时,以 P(x0, y0 ) 为中点的弦 所在的直线方程为 x = x0 也适合上式.故以 P(x0, y0 ) 为中点的弦所在的直线方程为 + = + . ( 【结论 20】 直线 l 过焦点 F 2 ( c , 0) 与椭圆相交于 A , B 两点, 点 P | ( c , 0 , (准线与 x 轴的交点) , 则 上 APF 2 = 上 BPF 2 ,即 k PA + k PB = 0 ( a 2 ) ) 【证明】当 AB 与x 轴重合时,kPA = kPB = 0 ；当 AB 不与x 轴重合时,设直线 AB 为x = my + c, A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) 联立 得到即 y2 + 2mcb2 y + b2 c2 - a2b2 = 0 则 y1 + yy1y 2c2 my1y2 - cb2 (y1 + y2 ) = + = 0 ，所以kPA + kPB = 0, 上APF = 上BPF ( 【结论21】 过椭圆 + = 1( a > b > 0) 上任意不同两点 A , B 作椭圆的切线,如果切线垂直且相交 于 P ,则动点 P 的轨迹为圆 x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . (蒙日圆) ) 【证明】若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时,可得点P 的坐标是(±a, b) ,或(±a, 一b) 满足要求.当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0 时,设点 P 的坐标为(x0, y0 )(x0 ≠ ±a ,且y0 ≠ ±b) ,因此设过 点P 的切线方程为 y 一 y0 = k (x 一 x0 )(k ≠ 0) .由 可得 (a2 k2 + b2 )x2 一 2ka2 (kx0 一 y0 )x + a2 (kx0 一 y0 )2 一 a2b2 = 0 .因为直线与椭圆相切,所以其判别式的值为 0,得 (x0 (2) 一 a2 )k2 一 2x0 y0 k + y0 (2) 一 b2 = 0 ( x 2 0 一 a 2 ≠ 0 . 因为 k PA , k PB 是这个关于 k 的一元二次方程的两个根, 所以 k PA . k PB = y 一 b 2 2 .由此得 ) ( 0 )( ) x 一 a kPA . kPB = 一1 x0 (2) + y0 (2) = a2 + b2 ,进而可得 x2 + y2 = a2 + b2 . ▍双曲线 19 条核心二级结论及证明 ( 【结论 1】 如图,过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的 通径,长为 ) 【证明】将x = c 带入双曲线方程,解得 y = ± ,从而得到MN = ( 【结论 2】 P 为双曲线 左上一点,若 F 是左焦点,则 PF 的取值范围是 [ c 一 a , +∞ ) ,若 F 是右焦点,则 PF 的取值范围是 [ c + a , +∞ ) . (在左 右顶点处取得最值) ) ( 【结论 3】 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长,即 b . ) 【证明】双曲线的渐近线方程 y = ± x ,焦点坐标 F2 (c, 0) ,点与直线距离公式得 d b 【结论 4】如图,F1, F2 为双曲线的两个焦点,P(x0, y0 ) 为双曲线上任意一点,则 PF1 = ex0 + a ， PF2 = ex0 - a . (焦点在x 轴) PF1 = ey0 + a ， PF2 = ey0 - a . (焦点在y 轴) 【证明】设P(x0, y0 ) , PF1 2 = (x0 + c )2 + y0 (2) = (x0 + c )2 + x0 (2) -b2 = x0 (2) + 2cx0 + c2 - b2 ( 2 )PF1 2 = x0 (2) + 2cx0 + a2 = e2 x0 (2) + 2eax0 + a2 = (a + ex0 )2 ,因为 x0 ≤ -a 或 a ≥ x0 ,所以无法判断正负，所以 a PF1 = a + ex0 ,因为PF2 - PF1 = 2a ,所以PF2 = ex0 - a ( 【结论 5】 F 1 , F 2 为双曲线 - = 1 的两个焦点, M 是双曲线上的动点, 若 上 F 1 MF 2 = θ ,则 S M b 2 cot .通过余弦定理可得 MF ) 【证明】由余弦定理可知F1F2 2 = MF1 2 + MF2 2 - 2MF1 . MF2 cosθ.由双曲线定义 ||MF2 | - |MF1 ||= 2a ,可得 ( 2 2 2 )MF1 + MF2 - 2MF2 . MF1 = 4a . 所以 4c2 = 2 a2 - 2cosθ → MF则 ( 【结论 6】 P 是双曲线 - = 1 上的任意一点, F 1 , F 2 是双曲线的焦点,则 PF 1 . PF 2 的取值范围是 b 2 , +∞ ) . ) 【证明】由结论 5 可知, PF1 . PF2 = ,在双曲线中上F1PF2 = θ 的范围为(0, π ] ,故cosθ ∈ [-1, 1) ,则 PF1 . PF2 的取值范围是b2 , +∞) ( 【结论 7】 P 是双曲线 - = 1 上的任意一点, F 1 , F 2 是双曲线的左右焦点,则 . 2 的取值 范围是 - b 2 , +∞ ) ) 【证明】 P (x0, y0 ) ,F1 (-c, 0) ,F2 (c, 0) , = (-c - x0, -y0 ) , = (c - x0, -y0 ) , . 2 = -c2 + x02 + y02 又 - = 1 得y0 (2) = x0 (2) -b2 ,所以 . 2 = -c2 + x02 + x0 (2) -b2 = x0 (2) - b2 - c2 , x0 (2) ∈ a2 , +∞) ,故 . 2 的取值范围是-b2 , +∞) . ( 【结论 8】 双曲线的第二定义:平面内到定点 F 的距离与到定直线 l (定点 F 在定直线 l 外)的距离之 比为常数 e (其中 e > 1 )的点的轨迹是双曲线.常数 e 是双曲线的离心率.定点 F 是双曲线的焦点,定直线 l 是双曲线相应于定点 F 的准线. (1) 对于双曲线 - = 1( a > 0, b > 0) ,左焦点 F 1 ( - c , 0) 对应的准线方程为 x 右焦点 F 2 ( c , 0) 对应的准线方程为 x . (2) 对于双曲线 - = 1( a > 0, b > 0) ,下焦点 F 1 (0 , - c ) 对应的准线方程为 y 上焦点 F 2 (0, c ) 对应的准线方程为 y ) ( 【结论 9】 如图, F 是双曲线 - = 1 的右焦点,过焦点的弦倾斜角为 θ ,交双曲线 同一支于 A , B 两点,点 A 在 x 轴上方, 则 | AF BF 当 F 是双曲线的左焦点,则 | AF | = , | BF | = 注意：正负也可由弦的长短决定 | AF | = , | BF | = ,不必区分左右焦点. ) 【证明】以右焦点为例,设右准线l 交x 轴于点 P ,过点 A 作 AM 丄 x 轴于M ,作 AN 丄 l 于 N ,设d 为点 A 到准线l 的距离,其中 | PF |= c - , | MF |=| AF | . | cos θ | ,则 d =| AN |=| PF | + | FM |= c - + | AF | .cos θ . 由双曲线第二定义 e = 得| AF |= ((|c - + | AF | cosθ), . e = + e | AF | cosθ ,因此 AF = = .同理 | BF ( 【结论 10】 若 AB 是经过双曲线 - = 1 焦点的一条弦,其中 A , B 分 别是直线与双曲线的两个交点,则 ) 【证明】根据结论 9 知 AF BF 的定值为 【结论 11】 若 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 是双曲线的方程为 - = 1 上两个不重合的点,线段 AB 的中点为 P(x0, y0 ) ,则 kAB kAB . kOP 当双曲线的方程为 - = 1(a > b > 0) 时,kAB = , kAB . kOP = . 【证明】设 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 且x1 ≠ x2 ,则 - = 1 ① - = 1 ② ; ①-②得所以 (定值). ( 【结论 12】 双曲线 - = 1 长轴的两个端 点与除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为 . ) 【证明】两顶点 A(a, 0), B(a, 0) ,设P(x0, y0 ) , 则kPA = ,kPB = ,kPA . kPB = 又因为y0 (2) = x0 (2) b2 = 0 (2) a2 ) ,所以 kPA . kPB = ( 【结论 13】 设 A , B 是双曲线 上关于原点对称的两点,点 P 为 该双曲线上不同于 A , B 的任一点,若直 线 PA , PB 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 k 1 k 2 = . ) 【证明】设 A(x1, y1 ), P (x0, y0 ) ,则B(x1, y1 ) . 所以kAP . kBP . ( 〔 x 2 y 2 ) ( x 0 y 0 x 2 0 x 2 1 a 2 a 2 )由 { a b = 1 得 y0 (2) y1 (2) = b2 .故 kAP . kBP = b2 为定值. ( l a 2 b 2 = 1 ) ( 【结论 14】 若 l 是双曲线 = 1 不垂直于对称轴的切线, M 为切点,则 k l . k OM = ) 【证明】设M(x0, y0 ) ,根据下一条结论,过点M(x0, y0 ) 的切线l 方程为 = 1 ,所以kl = ,又因为 kOM = ，故 kl . kOM ( 【结论 15】 双曲线 = 1 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 = 1. ) 【证明】设所求的切线方程为 y y0 = k (x x0 ) ,代人双曲线方程得b2 x2 a2 (kx kx0 + y0 )2 = a2b2 ,即 (b2 k2 a2 )x2 + 2ka2 (kx0 y0 )x a2 |(kx0 y0 )2 + b2 | = 0 ①,因为直线与椭圆相切,所以方程①有相等的两个实数 根,因此 Δ = 4k2 a4 (kx0 - y0 )2 + 4a2 (b2 - k2 a2 )|L「(kx0 - y0 )2 + b2 | = 0 .化简得k2 (x0 (2) - a2 )- 2kx0 y0 + b2 + y0 (2) = 0 ②, 因为点M (x0, y0 ) 在椭圆上,所以b2x0 (2) - a2y0 (2) = a2b2 ,方程②的判别式Δ1 = 4x0 (2)y0 (2) - 4(x0 (2) - a2 )(b2 + y0 (2)) = 4x0 (2)y0 (2) - 4 (-a2b2 + b2 x0 (2) - a2 y0 (2) + x0 (2)y0 (2) ) = 0 .故方程②有相等的两个实数根为 : k = - = = = .则 切线方程为y - y0 = (x - x0 ) ,即 - = 1 . ( 【结论 16】 双曲线 - = 1 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 - = 1. ) 【证明】设P(x0, y0 ), A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) ,根据上一条结论,过双曲线上一点 A 的切线方程为同时直线过点P(x0, y0 ) ,所以 - = 1 ,同理可得 - = 1 ,可以得到 ,直线 AB 分别过点 A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) ,满足上述方程组,所以直线 AB 的方程为 - = 1 . ( 【结论 17】 在双曲线 内一点 P ( x 0 , y 0 ) ,过 点 P 作双曲线的弦 AB ,过 A , B 作双曲线的切线,则两条切 线的交点 M 的轨迹方程为直线 - = 1 . ) 【证明】设P(x0, y0 ), M (x,, y,) 根据上一条结论,过双曲线外一点M(x,, y,) 的切点弦方程 AB 为 - = 1 ,同时直线过点 P(x0, y0 ) ,所以 - = 1 ,因为 P(x0, y0 ) 为定点,点M (x,, y,) 为动点,且满足 - = 1 ,所以交点M 的轨迹方程为直线 - = 1 . ( 【结论 18】 以双曲线 - = 1 内一点 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在的直线方程为 - = - . ) 【 证 明 】 设 过 点 P(x0, y0 )(y0 ≠ 0) 根 据 点 差 法 结 论 kAB = 所 以 以 P 为 中 点 的 弦 的 直 线 方 程 为y - y整理得 - = - (y ≠ 0) .当 y0 = 0 时,以 P(x0, y0 ) 为中点的弦所在的直线方程为x = x0 也适合上式.故以 P(x0, y0 ) 为中点的弦所在的直线方程为 - = - . ( 【结论 19】 过双曲线 - = 1( a > b > 0) 上任意不同两点 A , B 作双曲线的切线,如果切线垂直且相交于 P ,则动 点 P 的轨迹为圆 x 2 + y 2 = a 2 - b 2 . (蒙日圆)(双曲线 a < b 时,轨迹不存在) ) 【证明】证明过程可参照椭圆 ▍抛物线 20 条核心二级结论及证明 ( 【结论 1】 过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两交点的线段称为抛物线的通径，它的长为 2 p ) ( 2 )【证明】将x = p 带入抛物线方程y2 = 2px(p > 0),解得 y = ±p ,从而得到通径长为 2p ( 【结论 2】 抛物线方程为 y 2 = 2 px ( p > 0) , 过 (2 p , 0) 的直线与之交于 A , B 两点,则 OA 丄 OB .反之也成立. ) 【证明】设 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) ,直线 AB的方程为 x = ky + m ,联立方程得 ,整理得 y2 - 2pky - 2pm = 0,所以 y1 + y2 = 2pk, y1y2 = -2pm .又以 AB为直径的圆过原点, 则 . = x1x2 + y1y2 = m 2 - 2pm = 0 ,解得m = 2p.所以 x = ky + 2p .故直线 AB过定点 (2p,0) . ▍抛物线焦点弦性质 如图, AB 为抛物线 y2 = 2px(p > 0) 的焦点弦, A (x1, y1 ), B (x2, y2 ) ,焦点F 准线l : x 准线与x 轴交点为P ，作 AC 丄l, BD 丄 l 且M , N 分别为线段 AB , CD 的中点, R 为MN 与抛物线的交点,则有以下性质（性质 3-13） ( 【结论 3】 | AB | = x 1 + x 2 + p ) 【证明】根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,可得 | AF |= x1 + ,| BF |= x2 + ,故| AB |=| AF | + | BF |= x1 + x2 + p ( 【结论 4】 AB 为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点弦,设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 y 2 = - p 2 , x 1 x 2 = ) 【证明】如图,当 AB 的斜率不存在时,依题意 x1 = x2 = ,所以 x1x2 = .当 AB 的斜率存在时,设为k ,则 AB : y = k x - ), ,与y2 = 2px 联立得 k2 (|(x - ), 2 = 2px → k2 x2 - (k2 + 2)px + = 0 .所以 x1x2 = . 因为 x ,所以 y1 (2)y2 (2) = p4 → y1y2 = ± p2 ,但 y1y2 < 0 ,所以 y1y2 = -p 2 . 另证:设直线 AB 的方程为: x = my + ,与 y2 = 2px 联立,得y2 - 2pmy - p2 = 0 ,故y1 + y2 = 2pm ,y1y2 = -p2 .综 上可知:x1x2 = p2 , y1y2 = -p 2 . 4 【证明】设准线l 交x 轴于 P 点,过点 A 作 AM 丄 x 轴于M ,作 AC 丄l 于 C .设 d 为点 A 到准线l 的距离,于是 | AF |=| AC | .其中| PF |= p,| MF |=| AF | . | cos θ | ,故| AC |=| PF | + | FM |= p+ | AF | cos θ, | AF |= p+ | AF | cosθ ,故| AF |= . ( p 2 p 2 p )同理| BF |= 1 + cosθ ,所以| AB |=| AF | + | BF |= 1 — cos2 θ = sin2 θ . ( 定值) ) 【证明】根据结论 5 得| AF BF 可得 【证明】根据结论 4 可得, y1 + y2 = 2pm , y1y2 = —p2 ,所以 y1 — y2 = ·(y1 + y2 )2 — 4y1y2 ( = 4 p 2 m 2 + 4 p 2 ) 故 S AOB = SCOD y1 — y ( 【结论 8】 三个垂直 CF 丄 FD ， NF 丄 AB , AN 丄 BN ) 【证明】 C 得 = (—p, y1 ) , = (—p, y2 ) , . = p 2 + y1y2 ,根据上条结论 y1y2 = —p 2 ,得 . = 0 ,故 CF 丄 FD 设N得 , = (x1 — x2, y1 — y2 ) , 因为 y1 (2) = 2px1 , y2 (2) = 2px2 代入 . = —p (x ,故 NF 丄 AB N (|( — , ), , = (|(x1 + , ), , = (|(x2 + , ), , . = x1 . x2 + 1 + x2 )+ + ,因为 y1 (2) = 2px1 , y2 (2) = 2px2 ,x1x2 = , y1y2 = —p 2 代入原式化 简得 . = 0 ,故 AN 丄 BN ( 【结论 9】 线段 MN 被抛物线平分,即 R 为线段 MN 的中点 ) 【证明】 R 点的纵坐标为 ,将纵坐标代入抛物线方程得到px ，因为y1 (2) = 2px1 , y2 (2) = 2px2 ,化 ( 4 4 2 4 2 2 )简得 x = x1 + x2 — p ,故 NR = x1 + x2 — p + p = x1 + x2 + p , MN = CA + BD = x1 + x2 + p ,故R 为线段MN 的中点 ( 【结论 10】 | RF | = | MN | = | AB | ) 【证明】结合结论 8 和结论 9 NF 丄 AB 可知△ MNF 为直角三角形, R 为线段MN 的中点即为斜边中点,故| RF |= | MN | ,又因为 | MN |= CA + BD) = AB ,故| RF |= | MN |= | AB | ( 【结论 11】 A , D , O 三点共线； B , C , O 三点共线 ) 【证明】 kOA = ,因为 y1 (2) = 2px1 ,则kOA = = ,因为D (|(- , y2 ), ,所 以kOD = - 因为 y1y2 = -p2 ,化简得kOA = kOD , A ,D , O 三点共线. ( 【结论 12】角平分线结论 ① 上 APF = 上 BPF . ② CF 平分 上 AFP , DF 平分 上 BFP ) 【证明】过点 A , B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C, D .因为 AC / /PF / /BD ,故 = ,而 AF = CA, BF = DB ,故 = ,即 而 上ACP = 上BDP = 90。,则有 ACP∽BDP ,所以 上CPA = 上DPB ,即 上APF = 上BPF . 证明②：因为 AC = AF ,所以 上ACF = 上AFC ,因为 AC / /PF ,所以 上ACF = 上CFP ,所以 上AFC = 上CFP ,故 CF 平分 上AFP .同理可得DF 平分 上BPF ( 【结论 13】 四个相切圆(均可通过上述结论证明) ) ①以 AB 为直径的圆必与准线相切 ②以CD 为直径的圆与 AB 相切于 ③以 BF 为直径的圆与y 轴相切 ④以 AF 为直径的圆与y 轴相切 ( 【结论 14】 过直线 y = m ( m ≠ 0) 上但在抛物线 x 2 = 2 py 外(即抛物线准线所在区 域)一点 M ( x 0 , m ) 向抛物线引两 条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过定点 N (0 , — m ) , x 且有 k AB k MN 延伸： 过直线 x = m ( m ≠ 0) 上但在抛物线 y 2 = 2 px 外(即抛物线准线所在区域)一点 M ( x 0 , y 0 ) 向抛物线引两 条切 线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过定点 N ( — m , 0) , y 且有 k AB k MN ) ( 【结论 15】 抛物线的弦中点问题 (1)设抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的弦为 AB ,弦 AB 的中点为 C ( x 0 , y 0 ) ,则 k AB (2)设抛物线 y 2 = — 2 px ( p > 0) 的弦为 AB ,弦 AB 的中点为 C ( x 0 , y 0 ) ,则 k AB . (3)设抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的弦为 AB ,弦 AB 的中点为 C ( x 0 , y 0 ) ,则 k AB = . (4)设抛物线 x 2 = — 2 py ( p > 0) 的弦为 AB ,弦 AB 的中点为 C ( x 0 , y 0 ) ,则 k AB . ) 【证明】以 y2 = 2px(p > 0) 为例,设 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 且 x1 ≠ x2 ,则 y12 = 2px1 (p > 0) ① y22 = 2px2 (p > 0) ② ①-②得 y1 (2) — y2 (2) = 2p(x1 — x2 ) ,所以所以kAB 同理点差法可证. ( 【结论 16】 切线斜率结论 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上 一点 A ( x 0 , y 0 ) 处切线的斜率若存在即为 k = . 抛物线 y 2 = — 2 px ( p > 0) 上一点 A ( x 0 , y 0 ) 处切线的斜率若存在即为 k = — . 抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 上一点 A ( x 0 , y 0 ) 处切线的斜率若存在即为 k = . 抛物线 x 2 = — 2 py ( p > 0) 上一点 A ( x 0 , y 0 ) 处切线的斜率若存在即为 k = — . ) 【证明】以y2 = 2px(p > 0)为例，联立抛物线与直线方程 得 k2 x2 + (2ky0 — 2k2 x0 — 2p)x + k2 x02 — 2kx0 y0 + y02 = 0 ,直线与抛物线相切,故令 Δ = 0 ，化简得 2x0k2 — 2y0k + p = 0 ,解k ,同理可证,求导可证明 ( 【结论 17】 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上的点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程是 y 0 y = p ( x + x 0 ) . ) 【证明】通过结论 17 可知斜率,进而带入直线方程化简可得到结论 ( 【结论 18】 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y 0 y = p ( x + x 0 ) . ) 【证明】设P(x0, y0 ) ,两切点 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 根据上一条结论,过抛物线线上一点 A 的切线方程为 y1y = p (x + x1 ) ,同时直线过点 P(x0, y0 ) ,所以 y1y0 = p (x0 + x1 ) ,同理可得 y2y0 = p (x0 + x2 ) ,可以得到 ,直线 AB 分别过点 A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) ,满足上述方程组,所以直线 AB 的方程为 y0y = p (x + x0 ) . ( 【结论 19】 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 内一点 P ( x 0 , y 0 ) ,过 点 P 作抛物线弦 AB ,过 A , B 作抛物线的切线,则两条切线的交点 M 的轨迹方程为直线 y 0 y = p ( x + x 0 ) . ) 【证明】设P(x0, y0 ), M (x,, y,) 根据上一条结论,过双曲线外一点M(x,, y,) 的切点弦方程 AB 为 y,y = p (x + x,) ,同时直线过点P(x0, y0 ) ,所以 y,y0 = p (x0 + x,) ,因为 P(x0, y0 ) 为定点,点M (x,, y,) 为动点,且满足y,y0 = p (x0 + x,) ,所以交点M 的轨迹方程为直线 y0y = p (x + x0 ) . ( 【 结 论 20 】 设 圆锥 曲线 C 的焦 点 F 在 x 轴 上 , 过 点 F 且斜 率 为 k 的 直线 l 交 曲线 C 于 A, B 两 点 , 若 = λ ( λ > 0) ,则 e 即 | e cos . (椭圆, 双曲线,抛物线均适用,抛物线 e = 1 ) ) 【证明】如图所示,过 A , B 分别作准线的垂线,垂足为 A1, B1,过 B 作BC 丄 AA1 ,垂足为 C .由圆锥曲线的第二定义 可知 AABB从而得| AC |= AA1 BB又因为| AF AB |, | BF AB | ,所以| AC AB | ,在 Rt ABC 中, | BC | = k | AC | .由勾股定理知 | AB |2 =| AC |2 + | BC |2 ,可得 e .若倾斜角为 则 e tan ,即| ecosθ | = . 学科网（北京）股份有限公司 $