专题08 圆锥曲线离心率专题8大题型（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题08 圆锥曲线的离心率专题 基础·固本强基 题型1 利用a、b、c的齐次式求离心率（重点） 题型2 利用对称性求离心率（重点） 题型3 构造中位线求离心率 提升·进阶突破 题型4 顶角为直角的焦点三角形求离心率（重点） 题型5 利用余弦定理求离心率（难点） 题型6 利用正弦定理求离心率 题型7 由双曲线的渐近线性质求离心率（重点） 拔高·压轴破难 题型8 求离心率的取值范围（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用a、b、c的齐次式求离心率 【方法总结】 1、先把题中条件（长度、角度、垂直、比例关系）全部翻译成关于的关系式。 2、再用（椭圆）或（双曲线）消去，化为关于的齐次式。 3、两边同除以的最高次幂，得关于 的方程；解出后按椭圆、双曲线取舍。 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州毕节·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线在第一象限内交于点P，若，则C的离心率为______. 3．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点.若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为______. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型2 利用对称性求离心率 【方法总结】 对称性：充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于  的方程。 1．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知，是双曲线：上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，，四边形的面积为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过点交于 ，两点，点在上，，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型3 构造中位线求离心率 【方法总结】 1、当题目条件中出现 “中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于 a, c 的等量关系。 2、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线 与圆相切，切点为，延长交的右支于点，且，则的离心率为_________． 2．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 3．（2026高三·天津·专题练习）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 提升·进阶突破 题型4 顶角为直角的焦点三角形求离心率 【方法总结】 1、焦点三角形自带边长：（椭圆）或（双曲线），。 2、出现直角时用勾股定理列式，把三边统一成的关系。 1．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 2．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型5 利用余弦定理求离心率 【方法总结】 1、定出焦点三角形的两边（由定义得到）与夹角，直接套用余弦定理。 2、，代入后整体消元。 3、题中给出面积时，配合 与共用。 1．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型6 利用正弦定理求离心率 【方法总结】 1、先分清焦点三角形中的边角对应：、、所对的角分别是、、。 2、用正弦定理，实现边比与角比互换。 3、再结合圆锥曲线定义（和或差为）与内角和消元，求出。 1．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则______；椭圆的离心率______. 4．（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____． 题型7 由双曲线的渐近线性质求离心率 【方法总结】 双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质 1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为 2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为,通常以“渐近线上一点P，有”形式出现。 1．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 2．（2026·四川自贡·三模）已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 3．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 4．（2026·山西太原·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，点是其左､右顶点，点是双曲线的一条渐近线与圆的一个交点，若，则双曲线的离心率为__________. 5．（2026·福建厦门·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点位于双曲线的渐近线上，且．若，且，则C的离心率为_________． 拔高·压轴破难 题型8 求离心率的取值范围 【方法总结】 要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有： 1、焦半径的取值范围 2、圆锥曲线上的坐标的取值范围 3、焦点三角形的顶角的取值范围 4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围 根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 5．（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. $专题08 圆锥曲线的离心率专题 基础·固本强基 题型1 利用a、b、c的齐次式求离心率（重点） 题型2 利用对称性求离心率（重点） 题型3 构造中位线求离心率 提升·进阶突破 题型4 顶角为直角的焦点三角形求离心率（重点） 题型5 利用余弦定理求离心率（难点） 题型6 利用正弦定理求离心率 题型7 由双曲线的渐近线性质求离心率（重点） 拔高·压轴破难 题型8 求离心率的取值范围（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用a、b、c的齐次式求离心率 【方法总结】 1、先把题中条件（长度、角度、垂直、比例关系）全部翻译成关于的关系式。 2、再用（椭圆）或（双曲线）消去，化为关于的齐次式。 3、两边同除以的最高次幂，得关于 的方程；解出后按椭圆、双曲线取舍。 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可, 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 2．（2026·贵州毕节·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线在第一象限内交于点P，若，则C的离心率为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，利用两点间距离公式、数量积的定义及坐标表示列出方程化简求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，则，渐近线方程为， 依题意，点是圆与直线在第一象限内的交点，则点， ，， 而，由，得， 解得，因此，整理得，即， 所以双曲线C的离心率. 3．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点.若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设，直线，根据题设可得，再联立直线与椭圆方程，得，再由点在椭圆上，即可求解. 【详解】由题知，设， 易知过，，三点的圆的圆心在直线上， 又过，，三点的圆在点处的切线与轴平行， 所以切线方程为，且圆心在直线上，所以， 又直线，由，得到， 整理得到，又，所以，则点， 所以，整理得到，所以， 解得或， 又，所以. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的数量关系得到平行，结合题意即可得到，设点坐标，由向量的关系得到点坐标，由向量垂直建立等量关系，结合点在双曲线上，整理等式.联立两点在双曲线上的方程，解得点横坐标，然后代入前面等式，通过整理化简即可得到关于离心率的方程，解得离心率. 【详解】因为，所以，又因为， 所以， 设，则， 所以，即， 所以， 所以， 即, 因为在曲线上，所以，即， 所以，又因为， 所以 因为在曲线上，所以， 即，则，所以， 代入上式得， 即， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 因为离心率，所以，所以， 所以. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，， 在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 题型2 利用对称性求离心率 【方法总结】 对称性：充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于  的方程。 1．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    2．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知，是双曲线：上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求得，利用向量数量积求出，再设出点的坐标，利用双曲线方程及给定面积建立方程求出离心率. 【详解】由，得双曲线上的两点关于原点对称， 令该双曲线的右焦点为，则四边形是平行四边形，， 由，，得， 令双曲线半焦距为， 由，，得， 即，解得， 设，则， 消去得，由，得， 因此，整理得，即， 所以双曲线C的离心率. 4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，，四边形的面积为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合余弦定理、向量数量积公式与三角形面积公式计算可得、的关系，再利用椭圆的定义与椭圆离心率定义计算即可得解. 【详解】设，由椭圆对称性，不妨设， 由余弦定理得， 由已知得， 又，又， 则， 整理得，故或（舍去）， 由椭圆的定义可得，则，， 故，故. 故选：B. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过点交于 ，两点，点在上，，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别取，关于轴的对称点，，连接，，，，利用椭圆的对称性，推出四边形是平行四边形，从而求出，，利用余弦定理求得的关系式，可得答案. 【详解】分别取，关于轴的对称点，，连接，，，， 由以及椭圆的对称性及几何知识可得，且关于y轴对称， 则关于原点对称，则四边形是平行四边形， 所以，， 又，所以，所以是等边三角形， 又的周长为， 所以，， 中，由余弦定理， 得，整理得， 所以， 故选：B. 题型3 构造中位线求离心率 【方法总结】 1、当题目条件中出现 “中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于 a, c 的等量关系。 2、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线 与圆相切，切点为，延长交的右支于点，且，则的离心率为_________． 【答案】/ 【分析】取中点为，由题意易得，，，在中由勾股定理列出方程，即可得到，再由解出答案. 【详解】 不妨设点在轴上方，如图所示：取中点为，连接， 因为直线与圆相切，即， 所以在中，， 又 所以，， 由双曲线的定义知： 所以， 在中分别为的中点， 所以为的中位线， 所以，且， 又，所以， 在中，， 所以， 化简得：， 所以双曲线的离心率. 2．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求双曲线的离心率即找三者之间的关系，题干中已知右支上一点，根据双曲线定义可知；且根据双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线，经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线必过另一个焦点；即双曲线上一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角；所以，点处的切线为，是的角平分线；因此想到构造对称点和中位线，结合已知条件求出离心率． 【详解】设，则； 双曲线在点处的切线的方程为， 设切线与轴的交点， 双曲线右焦点，其中：； ； ； ，所以，， 则，故或（舍去）， 所以切线与的平分线重合． 如图，延长交于点， 则，故，且为的中点， 则．在中，中位线．又， 则，所以离心率． 3．（2026高三·天津·专题练习）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用建立与焦距的数量关系，根据“点在以为直径的圆上”得到直角关系，结合角平分线性质构造中位线，关联双曲线定义中的，通过直线​的斜率得到角度的三角函数值，最终建立与的方程求解离心率. 【详解】延长与交于点， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为，所以，且为的中点， 根据双曲线定义，则， 又为的中点，所以，， 由题意知直线斜率为，即， 所以，即， 由题意知， 在中，由余弦定理得， 代入得，即， 解得（另一解舍），所以双曲线的离心率为. 4．（2026·河北·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据已知及中位线定理得到相关线段的长度关系，再利用中点坐标公式，点在双曲线上建立等量关系，化简整理得到关于，的等式，代入求解即可. 【详解】设，，，如图： 因为为线段的中点，为线段的中点，所以. 又，所以，即， 化简得①. 因为，所以为线段的中点，故， 因为在上，所以，化简得，解得②. 将②代入①，得，化简得， 所以，又，所以. 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后利用双曲线的定义得到，利用直角三角形和面积公式列出关于的两个方程，求解出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的左右焦点分别为，， 直线与双曲线的右支交于点且，的中点为，且 ， 的中点记为，的中点记为， 则，， ，则，，即，整理得①. 又，即，整理得②. 联立，解得或（舍）. 则双曲线的离心率为. 提升·进阶突破 题型4 顶角为直角的焦点三角形求离心率 【方法总结】 1、焦点三角形自带边长：（椭圆）或（双曲线），。 2、出现直角时用勾股定理列式，把三边统一成的关系。 1．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由椭圆的定义分别表示出，，，再在和中，由勾股定理得到关系可得. 【详解】    连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率.      故选：D 2．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义，设，结合已知得，再由及向量数量积的定义和运算律、余弦定理得到，最后列方程得，即可得. 【详解】由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即， 由题意知，设，则，， 代入得，所以，，， 由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线， 所以，则， 由且， 所以，则， 综上，即， 所以，则，即， 椭圆的离心率满足，且，解得， 故椭圆的离心率为. 4．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得，进而得，利用椭圆的定义得，又，由，利用二倍角的余弦公式得，最后由离心率的公式即可求解. 【详解】设，由，所以， 所以，， 所以，所以， 又，所以， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 5．（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆定义和切线长定理求各边长，再根据勾股定理求解即可. 【详解】根据椭圆定义得​的周长为. 根据三角形内切圆切线长性质，得， ，（为内切圆与的切点）. 设，由得，周长满足 ， 代入，得. 因此，进一步得各边长， ，，， . 观察三边：， 故​是直角三角形，，即， 对​用勾股定理，代入， 化简得​，故离心率. 题型5 利用余弦定理求离心率 【方法总结】 1、定出焦点三角形的两边（由定义得到）与夹角，直接套用余弦定理。 2、，代入后整体消元。 3、题中给出面积时，配合 与共用。 1．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 2．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用椭圆的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可得出，再利用正弦定理得出，结合可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 3．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 4．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义表示出，结合等腰三角形性质求出，然后利用圆的几何性质及余弦定理建立等式，又利用三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为， 即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内心性质可得，利用椭圆的定义可得，再根据三角形面积及余弦定理得，进而求得，即可求解离心率． 【详解】因为 ，所以． 设，，焦距．的周长为． 由椭圆的定义可知，代入得，所以． 三角形面积，所以． 在中，由余弦定理得，即． 又．代入得． 整理得，即． 由代入得．联立解得．故离心率． 题型6 利用正弦定理求离心率 【方法总结】 1、先分清焦点三角形中的边角对应：、、所对的角分别是、、。 2、用正弦定理，实现边比与角比互换。 3、再结合圆锥曲线定义（和或差为）与内角和消元，求出。 1．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 2．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 3．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则______；椭圆的离心率______. 【答案】 【分析】设，由椭圆定义得，利用余弦定理、勾股定理得；再由角平分线及正弦定理建立与角的关系，通过三角恒等变换求出比值，进而解得. 【详解】设， 则 设平分，记， 又设，因为，所以， 在与中由正弦定理得：①，②， 在中，由余弦定理得：， 在中，由勾股定理得： 两式相等，且，整理得， 由①②相乘：， 又，所以， 于是， 由①②相加： 两边平方： 所以，即 由①②消去，整理得 于是， 代入，， 计算可得， 又由勾股定理：. 所以，故. 4．（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质结合双曲线定义可得，.方法一：设，利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合余弦定理运算求解；方法二：分析可得，作的平分线，交于点，可得，，，进而可得结果. 【详解】因为为的平分线，且，，， 则，即. 由双曲线定义可得，即，解得，. 方法一：设， 由正弦定理得，即， 在中，因为，则， 可得， 把代入得， 且，则，可得，即， 由得，即， 把代入得， 化简得，， 在中，由余弦定理得， 整理可得，解得或（舍去）， 方法二：因为， 则或， 即或， 又因为是的内角，则， 可得，则， 作的平分线，交于点， 则，是等腰三角形， 可得，，， 且，可得， 所以. 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____． 【答案】/ 【详解】由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为， 设，则，所以，， 因为，所以，， 在中利用正弦定理得， 所以， ， 由双曲线定义知，，即，即， 所以的离心率为. 题型7 由双曲线的渐近线性质求离心率 【方法总结】 双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质 1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为 2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为,通常以“渐近线上一点P，有”形式出现。 1．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 2．（2026·四川自贡·三模）已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先写出双曲线的渐近线方程，再求左焦点关于该直线的对称点坐标，最后利用“对称点在圆上”建立方程，求出与的关系，进而得到离心率. 【详解】双曲线的渐近线为且双曲线的焦半径参数满足 不妨取渐近线 左焦点为 设点关于直线的对称点为， 已知点关于直线的对称点坐标公式 把代入，得 再代入可得 所以 因为点在圆上，所以 由，上式化为 即整理得所以 再由得 因为 ，故 于是双曲线的离心率 3．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】点在的渐近线上，且满足， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以，所以离心率. 4．（2026·山西太原·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，点是其左､右顶点，点是双曲线的一条渐近线与圆的一个交点，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】不妨取在渐近线上，且在第一象限，渐近线倾斜角为，求出点的坐标，进而得到，即，再求离心率即可． 【详解】解：不妨取在渐近线上，且在第一象限，渐近线倾斜角为， 则， 又点在圆，即上， 点的横坐标，纵坐标， ，又， ， ， ，即，， 则双曲线的离心率． 5．（2026·福建厦门·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点位于双曲线的渐近线上，且．若，且，则C的离心率为_________． 【答案】4 【分析】证明三角形全等，再由余弦定理求解即可. 【详解】依题意，点在的渐近线上，点在的右支上． 因为，所以． 设为坐标原点，又，分别为，的中点，则， 又，，故， 故，而，则． 在中，由余弦定理，得，解得（负值舍去）． 拔高·压轴破难 题型8 求离心率的取值范围 【方法总结】 要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有： 1、焦半径的取值范围 2、圆锥曲线上的坐标的取值范围 3、焦点三角形的顶角的取值范围 4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围 根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用已知条件求出，再联立椭圆方程结合即可求出. 【详解】，故点位于线段的中点，设，则， ，又，，化简得， 又M为椭圆上一点，，联立得，即， 此方程有解，则，化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 2．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，得，所以点在直线上，所以直线与圆有公共点.由圆心到直线的距离不大于圆的半径，求得的关系，进而求出双曲线的离心率的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线为，即. 设，则. 因为点在双曲线的渐近线上，所以，即. 所以点在直线上. 因为点在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，. 设双曲线的焦距为，则，所以，所以. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 3．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 4．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 5．（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. $