第六单元　圆 2026年江苏中考数学一轮复习练习

第28课时　与圆有关的计算 基础巩固 1. (2025苏州模拟)已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，若∠ACB=40°，OA=2，则阴影部分的面积为(　　) 第2题图 A. B. C. π D. 2π 3. (2025盐城模拟)时钟分针长6 cm，从早上9点到9点40分针尖所走过的路程是(　　) A. 3π cm B. 6π cm C. 8π cm D. 12π cm 4. (2025连云港模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为4，∠D=120°，则的长是(　　) 第4题图 A. π B. π C. π D. 4π 5. (2025南京模拟)如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，AC与的长度一致，AB，BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为(　　) 第5题图 A. ()° B. ()° C. ()° D. ()° 6. (2025宿迁模拟)如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径.下列剪法恰好能配成一个圆锥的是　　(　　) A B C D 7. (2025泰州模拟)如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为8π cm，侧面积为72π cm2，则这个扇形的圆心角的度数是(　　) 第7题图 A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 8. (2025山西) 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为(　　) 第8题图 A. 2π－4 B. 4π－4 C. 8π－8 D. 4π－8 9. (2025浙江)如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB=2，则的长为(　　) 第9题图 A. π B. π C. π D. π 10. (2025扬州模拟)如图，物理实验中利用一个半径为6 cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了　 　cm.(结果保留π) 第10题图 11. (2025连云港模拟)如图，扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=5，C是的中点，D为半径OA上一点，则图中阴影部分的面积为　　. 第11题图 12. (2025河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点 E，连接BE，∠ABE = 15°，连接OE交AB于点 F.若AB= 4，则图中阴影部分的面积为　　. 第12题图 13. (2025淮安模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作EF∥BC交AB的延长线于点F. 第13题图 (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，sin∠AEC=，求阴影部分的面积(结果用含π的式子表示). 能力提升 14. (2025宜宾)如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O，A，B，N，O在同一直线上，直线AP与所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO=45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处.直线BQ与所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO=60°. (参考数据：≈1.41，≈1.73，π≈3.14) 第14题图 (1)求圆心角∠PON的度数； (2)求的弧长(结果精确到0.1米). 参考答案 1. B　【解析】设圆锥底面圆半径为r，∵圆锥侧面展开图是一个半圆，∴2πr=，∴r=2. 2. B　【解析】∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°，∴S阴影==. 3. C　【解析】∵钟表每格对应的圆心角度数为30°，且从早上9点到9点40分分针走过了8格，∴分针转过的圆心角为240°，∴从早上9点到9点40分针尖所走过的路程==8π(cm). 4. C　【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°，∴∠B=60°.∵=，∴∠O=2∠B=120°，∴l==π. 5. D　【解析】设∠ABC的度数大小由60°变为n°，∵AC=AB，AC=，∴n=. 6. D　【解析】设大圆的半径为R，则小圆的半径为R，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体，∴圆锥的底面圆的周长为2π∙R=πR，∴扇形弧长为=πR，∴n=180°，∴扇形圆心角等于180°，∴D选项符合题意. 7. B　【解析】设圆锥的母线长为l cm，扇形的圆心角为n°，∵圆锥的底面圆周长为8π cm，∴圆锥的侧面展开图扇形的半径为l cm，弧长为8π cm，由题意得，，解得，∴扇形的圆心角为80°. 8. D　【解析】如解图，记阴影部分面积分别为S1，S2，根据题意易得S1=S2，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°.∵BC=4，∴AB=AC=2，∴S1=S扇形CBD－S△ABC=－×2×2=2π－4，∴阴影部分的面积为2S1=4π－8. 第8题解图 9. B　【解析】由题可知∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AB，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=35°，∴∠CDE=∠A＋∠ACD=70°.如解图，连接CE，由题意知CD=CE，∴∠CED=∠CDE=70°，∴∠DCE=180°－70°－70°=40°.∵AB=2，∴CD=×2=1，∴的长为=π. 第9题解图 10. 4π　【解析】砝码被提起了=4π(cm). 11. π　【解析】如解图，连接OC，BC，由题意得，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=∠AOC=60°，∴BC∥OA，∴S△BCD=S△BCO，∴S阴影=S扇形BOC==π. 第11题解图 12. π－2　【解析】∵所在圆的圆心为点O，边CD与⊙O相切于点E，∴OA=OB=OE，OE⊥CD.∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴OE⊥AB.∵AB=4，∴AF=BF=AB=2.∵∠ABE=15°，∴∠AOE=2∠ABE=30°，∴OA=2AF=4，OF=AF=2，∴S阴影=S扇形AOE－S△AOF=－×2×2=π－2. 13. (1)证明：如解图，连接OE，BE， ∵EF∥BC， ∴∠CBE=∠BEF. ∵点D是△ABC的内心， ∴∠BAE=∠CAE. ∵∠CBE=∠CAE， ∴∠BEF=∠BAE. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠BAE＋∠ABE=90°. ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠BEF＋∠OEB=90°， 即OE⊥FE. ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； 第13题解图 (2)解：∵sin∠AEC=， ∴∠AEC=30°， ∴∠ABC=∠AEC=30°， ∴∠BOE=60°，∠EFO=30°， ∴EF=OE∙tan 60°=3， ∴S阴影=S△EFO－S扇形BOE 　　=×3×3－ 　　=－. 14. 解：(1)∵直线AP与所在⊙O相切于点P， ∴∠APO=90°. ∵∠PAO=45°， ∴∠PON=90°－∠PAO=45°； (2)∵直线BQ与所在⊙O相切于点Q， ∴∠BQO=90°. ∵∠QBO=60°， ∴cos∠QBO=cos 60°==， 设BQ=x m，则BO=2x m， ∴OQ=OP==x(m). ∵AB=8 m， ∴AO=AB＋BO=(8＋2x) m. ∵在Rt△APO中，∠A=45°， ∴sin A=sin 45°==， ∴=， 解得x=4＋8， ∴OP=×(4＋8)=(12＋8)m， ∴l=≈24.1(m)， 即的长度约为24.1米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元　圆 第26课时　圆的基本性质 基础巩固 1. (2025镇江模拟)如图，△ABC顶点A，B，C均在⊙O上，∠BAC＋∠BOC=84°，则∠BOC=(　　) 第1题图 A. 56° B. 60° C. 62° D. 28° 2. (2025扬州模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD=32°，则∠BAD的度数是(　　) 第2题图 A. 48° B. 58° C. 60° D. 64° 3. (2025徐州模拟)如图，点A，B，C在⊙O上，C是的中点，若∠AOB=160°，则∠OAC的度数是(　　) 第3题图 A. 10° B. 40° C. 50° D. 60° 4. (2025苏州模拟)如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E.若∠DBA=40°，则∠BAC的度数是　(　　) 第4题图 A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 5. (2025甘肃省卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O，=，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为(　　) 第5题图 A. 20° B. 35° C. 55° D. 70° 6. (2025新疆)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC=(　　) 第6题图 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 7. (2025淮安模拟)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠CAD=∠B，AD=8，则AC的长为(　　) 第7题图 A. 4 B. 4 C. 4 D. 6 8. (2025泸州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径.若AB=AC，∠ACB=70°，则∠CBD=(　　) 第8题图 A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 9. (2025盐城模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方.若水面被圆截得的弦AB的长为8 m，圆心O到AB的距离为3 m，则sin∠OAB的值是(　　) 第9题图 A. B. C. D. 10. (2025湖北省卷)如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是(　　) 第10题图 A. 30° B. 50° C. 60° D. 75° 11. (2025无锡模拟)如图，AB是⊙O的直径，D，E是⊙O上的点，∠E=35°，则∠BOD=　　. 第11题图 12. (2025泰州模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CD⊥AB，垂足为E.若AE=3OE，CD=2，则AB=　　. 第12题图 13. (2025宿迁模拟)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B=135°，则弦AC的长为　　. 第13题图 能力提升 14. (2025上海)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是　　°. 15. (2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC=180°. 第15题图 (1)求证：OC∥AD； (2)若AD=2，BC=2，求AB的长. 参考答案 1. A　【解析】由圆周角定理得，∠BAC=∠BOC，∵∠BAC＋∠BOC=84°，∴∠BOC＋∠BOC=∠BOC=84°，解得∠BOC=56°. 2. B　【解析】如解图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∵∠B=∠ACD=32°，∴∠DAB=90°－∠B=58°. 第2题解图 3. C　【解析】如解图，连接OC，∵C是的中点，∴=，∴∠AOC=∠BOC.∵∠AOB=160°，∴∠AOC=∠BOC=80°.∵AO=OC，∴∠OAC==50°. 第3题解图 4. D　【解析】如图，连接AD，∵D是的中点，∴=，∴∠DBA=∠DAC.∵∠DBA=40°，∴∠DAC=40°.∵AB是⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠DAB＋∠DBA=90°，∴∠DAB=50°，∴∠BAC=∠DAB－∠DAC=10°. 第4题解图 5. C　【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，=，∠ABC=70°，∴∠ABC＋∠ADC=180°，∠ADB=∠BDC，∴∠ADC=180°－70°=110°，∴∠BDC=∠ADC=55°. 6. C　【解析】如解图，连接BD，∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，∴∠BDC=∠ADC=30°，∴∠BOC=2∠BDC=60°. 第6题解图 7. A　【解析】∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°.∵∠CAD=∠B，=，∴∠D=∠B，∴∠CAD=∠D，∴DC=AC.∵AD==AC=8，∴AC=4. 8. B　【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=40°.∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，即∠BAC＋∠CAD=90°，∴∠CAD=50°，∴∠CBD=∠CAD=50°. 9. B　【解析】如解图，过点O作OC⊥AB于点C，∴AC=BC=AB=4 m.在Rt△ACO中，OC=3 m，∴AO===5(m)，∴sin∠OAB==. 第9题解图 10. C　【解析】由作图可得，MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，∴DA=DB.∵∠BAC=30°，∴∠BAD=∠ABD=30°，∴∠AOE=2∠ABD=60°. 11. 110°　【解析】∵∠E=35°，∴∠AOD=2∠E=70°，∴∠BOD=180°－70°=110°. 12. 4　【解析】如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AE=3OE，∴OA=OC=2OE.∵CD⊥AB，∴∠OEC=90°.∵CD=2，∴CE=CD=.∵OE2＋CE2=OC2，∴(OC)2＋()2=OC2，解得OC=2，∴AB=2OC=4. 第12题解图 13. 5　【解析】如解图，连接OA，OC，AC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠D=180°.∵∠B=135°，∴∠D=45°，∴∠AOC=2∠D=90°.∵⊙O的半径为5，∴AC=OA=5. 第13题解图 14. 36或108　【解析】如解图①，当取正五边形两邻边所在射线为角的两边时，角度为108°；如解图②，当取正五边形两边(中间夹一边)所在射线为角的两边时，角度为36°.综上所述，这个角的大小是36°或108°. 图① 图② 第14题解图 15. (1)证明：∵∠DAB＋2∠ABC=180°，∠AOC=2∠ABC， ∴∠DAB＋∠AOC=180°， ∴AD∥OC； (2)解：如解图①，连接BD，交OC于点E. 由题意知，∠ADB=90°，O是AB的中点. 又∵OC∥AD， ∴OC⊥BD，OE是△ABD的中位线， ∴OE=AD=1. 设半圆O的半径为r，则CE=r－1. 由勾股定理知，OB2－OE2=BE2=BC2－CE2， 即r2－12=(2)2－(r－1)2，解得r1=3，r2=－2(舍去)， ∴AB=2r=6. 第15题解图① 一题多解法 如解图②，延长BC，AD交于点E， ∵AD∥OC，O为AB的中点， ∴OC为△ABE的中位线. 设半圆O的半径为R，则AE=2R， ∴DE=2R－2. ∵BC=2， ∴BE=4，CE=2， ∵∠B＋∠ADC=180°，∠ADC＋∠EDC=180°， ∴∠EDC=∠B. ∵∠E=∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴=， 即=， 解得R1=3，R2=－2(舍去)， ∴AB=2R=6. 第15题解图② 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题　构造辅助圆 1. 如图，已知四边形ABCD是矩形，BC=4，AB＞2，若CE=2，且点E在矩形ABCD的内部，则∠ABE的度数可能是(　　) 第1题图 A. 30° B. 40° C. 60° D. 90° 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C′，在点D从点C运动到点A的过程中，点C′运动的路径长为(　　) 第2题图 A. 3 B. 2π C. 3π－1 D. 3π 3. (2025常州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=，D为平面内一点，且∠BDA=∠C，过点B作BE⊥BD，与DA的延长线相交于点E，则△BDE面积的最大值为(　　) 第3题图 A. B. C. 2 D. 4. 如图，在Rt△ABC中，AB=30，AC=40，∠BAC=90°，点M，N是边BC上的点(不与点B，C重合)，且∠MAN=60°，则线段MN长度的最小值为　　. 第4题图 5. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为CD边上的一个动点(点E不与点C，D重合)，过点C作射线AE的垂线，垂足为F，求的最小值. 第5题图 参考答案 1. C　【解析】∵点C为定点，CE=2为定长，∴点E在以点C为圆心，CE长为半径的圆弧上运动.如解图，当BE与⊙C相切时，∠CBE最大，即∠ABE最小，此时sin∠CBE===，∴∠CBE=30°.又∵∠ABE＋∠CBE=90°，∴∠ABE=60°.又∵点E在矩形ABCD内，∴∠ABE＜90°，∴60°≤∠ABE＜90°. 第1题解图 2. D　【解析】如解图，点C′的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的半圆，点C′运动的路径长==3π. 第2题解图 3. B　【解析】如解图，点D的运动轨迹在以AC中点O为圆心，AC为直径的⊙O的上.∵∠BDA=∠C，∠EBD=∠ABC=90°，∴△EBD∽△ABC，∴=()2.∵S△ABC=AB∙BC=，BD的最大值为⊙O的直径AC的长度，AC==3，∴S△EBD的最大值为()2×=. 第3题解图 4. 16　【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABC中，BC==50，∵S△ABC=AB∙AC=BC∙AD，∴AD=24，作锐角△AMN的外接圆⊙O(构造辅助圆)，过点O作OE⊥MN于点E，连接OA，ON，则MN=2EN，∠EON=∠MAN=60°，在Rt△OEN中，ON=2OE，EN=OE，∴MN=2OE.∵OA＋OE≥AD，OA=ON=2OE，∴2OE＋OE≥24，∴OE≥8，∴MN=2OE≥16，∴当圆心O在线段AD上，即AM=AN时，MN=16，∴MN长度的最小值为16. 第4题解图 5. 解：如解图，连接AC，BD交于点O， ∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4， ∴∠ADC=∠AFC=90°，BD=AC==5， ∴A，C，F，D四点共线，以点O为圆心，OC为半径作圆，过点F作FN⊥CD于点N， ∴∠ADE=∠ENF=90°，∠AEF=∠NEF， ∴△ADE∽△FNE， ∴=. ∵AD=BC=4， 当NF最大时最小， ∴连接OF，当F为中点时NF最大， 则OF⊥CD， ∵ON⊥CD，且O为BD的中点， ∴ON=AD=2， 则OF=OA=BD=， ∴NF=OF－ON=， ∴===8， ∴的最小值为8. 第5题解图 学科网（北京）股份有限公司 $ 　 第27课时　与圆有关的位置关系 基础巩固 1. (苏科九上操作与思考改编)若⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则体现直线l与圆的位置关系正确的是(　　) A B C D 2. (2025淮安模拟)已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=5时，点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 3. (2025徐州模拟)以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P对应的刻度为37°，则∠CBD的度数是(　　) 第3题图 A. 53° B. 43° C. 37° D. 27° 4. (2025连云港模拟)如图，直线AB与⊙O的相切于点C，AO交⊙O于点D，连接CD，OC.若∠ACD=20°，则∠COD=(　　) 第4题图 A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. (2025南京模拟)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=62°，则∠BAC的度数为(　　) 第5题图 A. 28° B. 30° C. 31° D. 32° 6. (2025自贡)PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合.若∠P=80°，则∠ACB的度数为(　　) A. 50° B. 100° C. 130° D. 50°或130° 7. (2025福建)如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为(　　) 第7题图 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. (2025宿迁模拟)如图，⊙O为△ABC的内切圆，AB=7，BC=12，AC=10，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为　　. 第8题图 9. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线. 第9题图 10. (2025盐城模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE=BC. 第10题图 (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若CD=1，BC=3，求点D到AB的距离. 11. (2025扬州模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AO平分∠BAC，交BC于点O.以点O为圆心，OC为半径作⊙O，分别交AO，BC于点E，F. 第11题图 (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)延长AO交⊙O于点D，连接CD，CE，若AD=6，AC=4，求tan D的值. 能力提升 12. (2025贵州)如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E.连接CD，BD. 第12题图 (1)点O与AB的位置关系是　　，线段CD与线段BD的数量关系是　　； (2)过点E作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F.根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为3，DE=4，求CD的长. 参考答案 1. A　【解析】∵圆的半径为5＞3，∴直线与圆相交. 2. A　【解析】∵OA=OP=2.5，⊙O的半径为3，∴OA＜⊙O半径，∴点A与⊙O的位置关系为点在圆内. 3. C　【解析】由题意得，AB与量角器所在的圆相切，∠POB=37°，∴OP⊥AB，∴∠PBO=90°－∠POB=53°.∵∠ABC=90°，∴∠CBD=180°－∠PBO－∠ABC=37°. 4. B　【解析】∵直线AB与⊙O的相切于点C，∴OC⊥AC.∵∠ACD=20°，∴∠OCD=90°－20°=70°.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=180°－70°×2=40°. 5. A　【解析】连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°.∵∠ACD=62°，∴∠OCA=90°－62°=28°.∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA=28°. 6. D　【解析】如解图，连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠P=80°，∴∠AOB=360°－2×90°－80°=100°，∴∠C=∠AOB=50°或∠C′=180°－50°=130°. 第6题解图 7. C　【解析】如解图，连接OA，OB，∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠AOP=90°－∠P=90°－30°=60°.∵AB∥PC，∴∠OAB=∠AOP=60°.∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BOC=180°－∠AOP－∠AOB=60°.∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP=60°. 第7题解图 8. 15　【解析】如解图，设⊙O与AB，BC，AC分别相切于点M，F，N，DE与⊙O相切于点Q，∵AM=AN，BM=BF，CN=CF，AB=7，BC=12，AC=10，∴CN＋CF=AC＋BC－AN－BF=AC＋BC－AM－BM=AC＋BC－AB=10＋12－7=15.∵EQ=EN，DQ=DF，∴CE＋ED＋CD=CE＋EQ＋DQ＋CD=CE＋EN＋DF＋CD=CN＋CF=15，∴△CDE的周长为15. 第8题解图 9. 证明：如解图，连接OD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°. ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠B=60°. ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°， ∴∠EDC=30°， ∴∠ODE=90°， ∴DE⊥OD于点D. ∵点D在⊙O上，OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线. 第9题解图 10. (1)证明：如解图①，连接OE， 第10题解图① ∵OD=OE， ∴∠OED=∠ODE. ∵∠BDC=∠ODE， ∴∠BDC=∠OED. ∵∠ACB=90°， ∴∠CBE＋∠BDC=90°. ∵CE=BC， ∴∠CBE=∠CEB， ∴∠CBE＋∠BDC=∠CEB＋∠OED=90， ∴∠OEC=90°， 即OE⊥CE. ∵OE是半径. ∴CE是⊙O的切线； (2)解：如解图②，连接DF， 第10题解图② 设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=OD＋CD=r＋1， 在Rt△OCE中，OE2＋CE2=OC2， ∵BC=CE=3， ∴r2＋32=(r＋1)2， 解得r=4， ∴AD=8，AC=9， 在Rt△ACB中，AB==3. ∵AD为⊙O的直径， ∴DF⊥AB， ∴S△ABC=S△ABD＋S△BDC， ∴AC×BC=AB×DF＋CD×BC， 即×9×3=×3×DF＋×1×3， 解得DF=， 即点D到AB的距离为. 11. (1)证明：如解图，过点O作OH⊥AB于点H， ∵∠ACB=90°， ∴OC⊥AC于点C. ∵AO平分∠BAC，OH⊥AB于点H，OC⊥AC于点C， ∴OH=OC. ∵OC是⊙O的半径， ∴点H在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线. (2)解：∵DE是⊙O的直径， ∴∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠OCD=90°－∠OCE. ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠D， ∴∠ACE=∠D. ∵∠EAC=∠CAD， ∴△EAC∽△CAD. ∵AD=6，AC=4， ∴===， ∴tan D==. 第11题解图 12. 解：(1)O在AB上，CD=BD； 【解法提示】∵∠ACB是直角，∴AB是⊙O的直径，∴点O是AB的中点.∵点D是的中点，∴CD=BD. (2)补全图形如解图①，△DEF是等腰三角形，理由如下： 如解图①，连接OD， ∵点D是的中点，OD是⊙O的半径， ∴∠CAD=∠OAD，OD⊥BC. ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠OAD=∠CBD. ∵AE⊥EF， ∴∠OAD＋∠F=90°， ∴∠CBD＋∠F=90°. ∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径， ∴OD⊥DE， ∴BC∥DE， ∴∠CBD=∠BDE， ∴∠BDE＋∠F=90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BDE＋∠EDF=90°， ∴∠F=∠EDF， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形； 第12题解图① (3)如解图①，∵⊙O的半径为3， ∴OA=OB=OD=3， ∴AB=6. ∵DE=4， ∴在Rt△ODE中，由勾股定理，得OE==5， ∴AE=OA＋OE=3＋5=8， 由(2)得EF=DE=4， 在Rt△AEF中，tan∠EAF===， ∴在Rt△ABD中，tan∠BAD==， ∴AD=2BD， 由勾股定理，得AB2=BD2＋AD2， ∴62=BD2＋(2BD)2，解得BD=， ∴CD=BD=. 一题多解法 如解图②，连接OD，BF， ∵⊙O的半径为3， ∴OA=OB=OD=3， ∴在Rt△ODE中，由勾股定理，得OE==5， ∴AE=OA＋OE=3＋5=8，BE=OE－OB=2. 由(2)得，EF=DE=4，EF⊥AE，∠ADB=90°， ∴在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==4. ∵S△AEF=S△ABF＋S△BEF， ∴AE∙EF=AF∙BD＋BE∙EF， ∴BD===， ∴CD=BD=. 第12题解图② 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题　圆中最值问题 1. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为CD边上靠近点C的三等分点，F为BC上一动点，连接EF，将△ECF沿EF折叠，点C的对应点为C′，连接BC′，则BC′的最小值为　　. 第1题图 2. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O内一点，连接AC，BC，AC=BC，D是⊙O上一点，连接CD，若∠ACB=120°，△ABC的面积为4，则线段CD长的最小值为　　，最大值为　　. 第2题图 3. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD边上的动点，以每秒3个单位长度从点A向点D运动，F为CD边上的动点，以每秒4个单位长度从点D向点C运动，点E与点F同时运动，且当点F到达点C时同时停止运动，连接BE，AF交于点N，M为AD边的中点，连接MN，求MN长度的最小值. 第3题图 4. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠B=60°，E为AB的中点，F是BC边上的一动点，将△BEF沿EF折叠得到△GEF，连接DE，DG，求△DEG面积的最大值. 第4题图 参考答案 1. 2－2　【解析】如解图，以点E为圆心，EC长为半径作圆，连接BE交⊙E于点P，则BC′＋EC′≥BP＋EP=BE，当B，C′，E三点共线，即点C′与点P重合时，BC′的值最小.∵正方形ABCD的边长为6，点E为CD边上靠近点C的三等分点，∴BC=6，EC=EP=2，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得BE===2，∴BC′min=BE－EC=2－2. 第1题解图 2. 2－2；2＋2　【解析】如解图，作直线CO分别交⊙O于点D′，D″，∵AC=BC，O是圆心 ，∴D′D″⊥AB，AB=2OB.∵∠ACB=120°，∴∠B=∠A=30°，OB==OC.∵S△ABC=AB∙OC=OC2=4，∴OC=2，OB=2，当点D与点D′重合时，CD长有最小值为2－2；当点D与点D″重合时，CD长有最大值为2＋2. 第2题解图 3. 解：如解图，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=8，∠D=∠BAD=90°， 设运动时间为t s，则AE=3t，DF=4t，==. ∵==， ∴==， ∴△BAE∽△ADF， ∴∠EBA=∠FAD. ∵∠EBA＋∠AEB=90°， ∴∠NAE＋∠AEN=90°， ∴∠ANB=∠ANE=90°， ∴点N在以AB为直径的部分圆弧上运动. 设圆心为O，连接OM，则OA=OB=ON=3. ∵M为AD的中点， ∴AM=MD=4. 在Rt△AOM中，MO===5， 当M，N，O三点共线时，MN长度的值最小， ∴MN=OM－ON=5－3=2， ∴MN长度的最小值为2. 第3题解图 4. 解：由折叠的性质得，EB=EG， 如解图，点G在以点E为圆心，EB长为半径的⊙E上运动， 过点E作EG′⊥ED交⊙E于点G′， ∴当点G运动到点G′的位置时，点G到线段DE的距离最大. ∵DE为定值，∴此时△DEG的面积最大. 过点E作EM⊥AD交DA的延长线于点M， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴∠EAM=60°， ∴∠AEM=90°－60°=30°. ∵菱形边长为4，E为AB的中点， ∴AE=BE=G′E=2， ∴AM=AE=1，ME=， ∴MD=AM＋AD=5. 在Rt△DME中，DE==2， ∴S△DEG=DE∙G′E=×2×2=2， ∴△DEG面积的最大值为2. 第4题解图 学科网（北京）股份有限公司 $