精品解析：四川省达州市高级中学-江湾城校区(初中)2025—2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

四川省达州市高级中学-江湾城校区(初中)2025—2026学年 九年级上学期第三次月考数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等．不同竖格线上的三点A，，在同一直线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：1 D. 1：3 4. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥ B. m＜ C. m＞且m≠1 D. m≥且m≠1 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点F是上一点，连接，然后沿着将矩形对折，使点C恰好落在边上E处．若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 12. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为________． 13. 如图，在中，，棱长为的立方体展开图有两边分别在、上，有两个顶点在斜边上，则的面积为________． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中x是不等式的负整数解． 18. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）将向左平移5个单位长度后得到的，请写出，，的坐标； （2）以原点为位似中心，在第二象限画出，使它与的位似比为； （3）点P是x轴上一点，当的周长最小时，请直接写出P的坐标． 19. 为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个． （1）求该吉祥物两次降价的平均百分率； （2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20个，若每天利润为2730元，则每个降价多少元? 20. 如图，已知，点在的延长线上，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 22. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若该抛物线的顶点为点D，求的面积． （3）在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 24. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点，，且与反比例函数的图象相交于点B，点B的横坐标为1． （1）求直线的解析式和m的值； （2）Q在此反比例函数图象第一象限分支上，且在点B的下方，如果，求点Q的坐标； （3）将点A，C沿着射线的方向分别平移到对应点D、E，点F在此反比例函数图象的另一个分支上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标．（直接写出答案） 25. 已知正方形，E为对角线上一点． 建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G． ①判断的形状并说明理由； ②若G为的中点，且，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，若．求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市高级中学-江湾城校区(初中)2025—2026学年 九年级上学期第三次月考数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从正面得到的视图是主视图，从正面来观察就可以得到正六棱柱的主视图． 【详解】解：从正面来观察，主视图是由三个矩形组成的，即 故选：A． 2. 如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等．不同竖格线上的三点A，，在同一直线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 如图：过点A作于点E，交于点D，根据平行线分线段成比例得出，然后代入数据计算即可． 【详解】解：如图：过点A作于点E，交于点D， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴，即，解得：． 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：1 D. 1：3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3； △OAB 与△OCD的相似比等于； 故选D． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力． 4. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥ B. m＜ C. m＞且m≠1 D. m≥且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方程有实根，△≥0，综合以上两方面进行计算即可． 【详解】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根， ∴ ， 解得：m≥且m≠1． 故选D． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次方程的系数不为0这一条件． 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直接计算各点在反比例函数上的纵坐标值，然后比较大小． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ，，， ∴ ， 故选：B． 6. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 7. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 8. 如图，在矩形中，点F是上一点，连接，然后沿着将矩形对折，使点C恰好落在边上的E处．若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是矩形，可得，，由，可得，设，由沿着将矩形对折，可得，在中，由勾股定理，可得，设，在中，由勾股定理，即，解得，可求． 【详解】解：∵由四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵沿着将矩形对折， ∴， 在中，由勾股定理， ∴， 设， 在中，由勾股定理，即，解得， ∴． 故选择：C． 【点睛】本题考查矩形性质，轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握矩形性质，轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键． 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据条件求出相应点的坐标是解题关键． 先根据条件求出点A，C的坐标，从而求出点B，D，E的坐标，求出坐标后，通过坐标逐一确定选项即可． 【详解】∵点A在反比例函数图象上，且横坐标为1， 又轴， 令，得，， ∴，，， ∴，①错误， 令，解得（负值已舍去）， 令，得， ∴，②正确， 由图象可知，在点C的右侧，一次函数的图象在反比例函数的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，③正确， ∵， ∴轴， ∴， ∴，， ∴，④正确， 故正确的个数为3， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 12. 如图，边长为正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，则的长为，利用长方体盒子的表面积＝正方形纸片的面积等腰直角三角形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 即， 故答案为：． 13. 如图，在中，，棱长为的立方体展开图有两边分别在、上，有两个顶点在斜边上，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据正方形的特点，结合三角函数值，求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：如图， 由题意，得：四边形为矩形，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．根据抛物线的对称性可知，关于1的对称点为3，因此一元二次方程的根为-1与3； 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， 关于的对称点为， 因此一元二次方程的根为与； 故答案为：，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，点不可能在轴上，如图， 所以这种情况不符合， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用勾股定理解三角形，矩形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握上述知识点并能综合运用求解． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先将特殊角的三角函数值代入，再运算即可； （2）先将特殊角的三角函数值代入，再运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 先化简，再求值：，其中x是不等式的负整数解． 【答案】；3 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元一次不等式求出负整数解，代x的值求值． 【详解】解：原式= 解得，负整数解为 将代入原式= 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向左平移5个单位长度后得到的，请写出，，的坐标； （2）以原点为位似中心，在第二象限画出，使它与的位似比为； （3）点P是x轴上一点，当的周长最小时，请直接写出P的坐标． 【答案】（1），，，图象见解析 （2）图象见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标系中图象的平移和位似，最短路径问题，掌握平移和位似的概念以及将军饮马模型是解题关键． （1）根据坐标的平移规律画出图形，并依次确定顶点坐标即可； （2）根据位似图形的画法，和位似比画出图形即可； （3）将军饮马模型，作点A关于x轴的对称点，与点B的连线和x轴的交点即为点P． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，根据坐标系中点的平移规律，，，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接，取x轴一点为P，连接，，， 由轴对称的性质，可知， ∴的周长为， ∵，为定值， 又∵， ∴当点P为与轴的交点时，周长最小， 设直线：， 代入，，得 解得 ∴， 令，得， 解得， ∴的周长最小时，点P的坐标为． 19. 为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个． （1）求该吉祥物两次降价的平均百分率； （2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20个，若每天利润为2730元，则每个降价多少元? 【答案】（1）该吉祥物两次降价平均百分率为 （2）每个降价16元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． （1）设每次降价的百分率为x， 根据“商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个”，列出方程求解即可； （2）设每天要想获得2730元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价百分率为x，由题意得： ， 解得：（不合题意，舍去） 答：该吉祥物两次降价的平均百分率为； 【小问2详解】 解：设每个商品应降价y元，由题意得： ， 解得：， 为了减少库存，应取， 答：每个降价16元． 20. 如图，已知，点在的延长线上，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质、相似三角形的判定与性质，用到的思想是转化思想，方法是相似三角形的判定与性质应用，技巧是准确找到相似三角形的对应角和对应边，解题关键是证明三角形相似，易错点是混淆相似三角形的相似比与面积比的关系； （1）解题思路是利用平行四边形性质得到角的关系，结合公共角证明相似； （2）是利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 22. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若该抛物线的顶点为点D，求的面积． （3）在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 【答案】（1）4 （2）3 （3）存在，的坐标为 【解析】 【分析】（1）在二次函数中，令，得，解出一元二次方程即可得答案； （2）连接，先求出顶点，再根据的面积求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况：若以为对角线，若以为对角线，若以为对角线，分别进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在二次函数中，令，得 解得， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由得顶点． 令，得，即． 的面积 ； 【小问3详解】 解：存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形． 设． 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况： 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质，三角形的面积，平行四边形的性质及应用等知识，运用分类思想是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点，，且与反比例函数的图象相交于点B，点B的横坐标为1． （1）求直线的解析式和m的值； （2）Q在此反比例函数图象第一象限的分支上，且在点B的下方，如果，求点Q的坐标； （3）将点A，C沿着射线的方向分别平移到对应点D、E，点F在此反比例函数图象的另一个分支上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标．（直接写出答案） 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题．坐标与图形的综合问题． （1）利用待定系数法分别求出一次函数解析式以及反比例函数解析即可． （2）先求出，即可求出，设，利用铅垂法求面积即可得出答案． （3）分两种情况，当点F在直线的左侧时和当点F在直线的右侧时，分别画出图形利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：与x轴、y轴分别相交于点，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴， 把代入， 则． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 则， ∵， ∴， 设， 取A，B的水平宽为， 铅垂高为直线上点的纵坐标与点Q的纵坐标之差，即， ∴， 解得，负值舍去， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，当点F在直线的左侧时， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴，， 过点D作轴，过A作于M，过点F作于N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由平移的性质可知， ∴，， 设，则， ∴， ∵F在反比例函数图象上， ∴， 解得，(正数舍去)， ∴； 如图，当点F在直线的右侧时， 过点D作轴，过A作于M，过点F作于N， 同理，， ∴设，则， ∴， ∵F在反比例函数图象上， ∴， 解得，(正数舍去)， ∴； 综上，点F的坐标为或． 25. 已知正方形，E为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G． ①判断形状并说明理由； ②若G为的中点，且，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，若．求的值 【答案】【建立模型】（1）证明见解析； 【模型应用】（2）①是等腰三角形，理由见解析；②； 【模型迁移】（3） 【解析】 【分析】本题考查全等、相似三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质、勾股定理，利用正方形蕴含的条件，找到线段的数量关系，构造出合适的相似三角形是解题关键． 【建立模型】（1）利用正方形的性质，得到，，即可通过证明两三角形全等，得到结论； 【模型应用】（2）①通过对顶角相等和等角的余角相等，得到，即可判断出的形状； ②过点F作的垂线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求出线段长，再利用勾股定理求解即可； 【模型迁移】（3）同（2）中构造，先通过（1）（2）中所得结论得到与的数量关系，再通过相似三角形的性质得到比例关系，从而得到与的数量关系，即可求解． 【详解】【建立模型】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， ∴； 【模型应用】 （2）①解：等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1），得， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形； ②解：∵G为的中点， ∴， 如图，过点F作，垂足为M， 由①，可知， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 【模型迁移】 （3）解：如图，过点F作，垂足为M， 设，， 则，， 由（2）可知，， 由（1）可知，， 又， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴，即， 整理，得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $