精品解析：河南省南阳地区十校2025-2026学年高一上学期12月阶段联考数学试题

南阳地区2025年秋季高一年级12月阶段考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第六章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】对任意的，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的运算结合集合元素的互异性求出的值，可得出集合，再利用并集的定义可得集合. 【详解】因为集合，，，则或， 若，则，集合中的元素不满足互异性，不符合题意， 所以，解得，故，因此. 故选：D. 3. 某年度河南省技术发明奖共个项目获奖，这个项目主要完成人的人数为，则这个项目主要完成人的人数的分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将数据由小到大进行排列，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】将数据由小到大排列为：， 因为，因此，这个项目主要完成人的人数的分位数是. 故选：B. 4. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义得出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数为奇函数，则， 即， 即对任意的恒成立，故， 因为“”“，”，且“”“，”， 即“”“为奇函数”，且“”“为奇函数”， 所以“”是“为奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性及单调性，利用排除法求解. 【详解】因为， 所以函数图象关于直线对称，排除BD； 当时，，令，则为增函数，为减函数， 根据复合函数的单调性可知，当时，单调递减，故排除C. 故选：A 6. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设音速，并整理公式为 ，燃料质量为 a、马赫数为 6，代入公式得到含和 的方程(2);燃料质量为、马赫数为10，再利用对数运算法则拆分 ，得到含和的方程(3)，最后联立方程(2)(3)求解，计算音速. 【详解】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式： ， 化简为， (1) 设环境音速为 c(单位:)， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6， 所以 又因为 ， 所以, 化简得， , (2) 当燃料质量为 时，马赫数为 10， 令并代入(1)式子中， 化简， (3) 将式子(2)代入公式(3)中 故选：A 7. 人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，是关于的一次函数，若满足时恒成立，则有，，进而可求得的取值范围. 【详解】由题意得，是关于的一次函数， 且有时恒成立，则有，解得， 取交集得，因此输入特征值的取值范围是. 故选：B. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用不等式的传递性求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，，， 所以，所以，所以， 综上，. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（ ） A. 11月21日至30日的日最低气温的极差是 B. 11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C. 在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D. 在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据折线图结合极差、中位数的理解逐项分析即可得出. 【详解】由图知11月21日至30日最低气温的最大值均小于，最小值为，则极差小于，故A不正确； 由图可知11月21日至30日的日最高气温共计10天， 从小到大排序的日期为：25日，26日，27日，22日，21日，24日，23日，28日，29日，30日， 所以日最高气温的中位数为21日，24日两天对应气温的平均值，即， 故11月21日至30日的日最高气温的中位数是，故B正确； 由图可知在11月21日至30日中，有24日，25日，26日共3天的日最低气温低于，故C不正确； 由11月21日的日温差为，11月22日的日温差约为， 11月23日的日温差约为，11月24日的日温差为， 11月25日的日温差约为，11月26日的日温差约为， 11月27日的日温差约为，11月28日的日温差约为， 11月29日的日温差约为，11月30日的日温差为， 所以11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则的零点所在区间可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据零点存在定理分别判断各选项. 【详解】由已知， 则， ， 则，即函数在区间内不一定有零点，A选项错误； ， 则，即函数在区间内一定有零点，B选项正确； 又 ， 则，即函数在区间内一定有零点， 即函数在内一定有零点，C选项正确； ， ， 则，即函数在区间内一定有零点，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法判断AB选项，类比推理可得函数，进而可得，结合基本不等式可得最值. 【详解】由已知， 令，，得，即， 又，则，A选项正确； 令，，则， 又，所以， 令，，则，即，B选项正确； 用替换，替换可得，，又， 所以， 则， 当时，， 当时，， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 即，； 当时，，，则， 且， 当且仅当，即时等号成立， 即，， 即， 综上所述，即C选项错误，D选项正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取__________人. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义直接计算. 【详解】由分层抽样可得应从书法类兴趣小组抽取人， 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中. 【详解】令，则， 因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数，其中且.若函数恰有个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由可得，分析可知，则直线与函数的图象有四个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，则，令，可得， 当时，由，由于， 此时方程无实数解； 当时，由可得， 所以关于的方程有四个不同的实数解，显然，所以， 故直线与函数的图象有四个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有四个交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数与对数运算公式化简可得解； （2）根据指数与对数之间的关系化简计算，即可得解. 【详解】（1） ； （2）由已知，，，则，所以， 又，即，化简可得， 解得，所以，. 16. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】（1），； （2）餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【小问1详解】 B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. 【小问2详解】 餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. 【小问3详解】 B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 17. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将看成整体解一元二次不等式可得或，再根据对数函数的单调性可解得结果； （2）令，化为关于的二次函数可求出结果； 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，则，所以或， 解得或， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，，当时，取得最大值，， 所以在上的值域为. 18. 已知函数. （1）设函数. （i）若的图象经过两个定点，求线段的长； （ii）当时，在上单调，求的取值范围. （2）若满足，证明：. 【答案】（1）（i）4；（ii）； （2）证明:因为， 所以， 即. 设， 易知与在上单调递增， 所以在上单调递增， 同理可得在上单调递增. 因为， , 所以. 因为，， 所以， 所以，所以，即 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可得的值与无关，令即可求解； （ii）根据复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，由题意得或，求解即可； （2）由题意，设，利用零点存在定理得，，从而可证明. 【小问1详解】 （i）， 要的图象经过定点， 则的值与无关， 即的值与无关. 令，解得或, ， 故线段的长为. （ii）当时，， 令，得，解得或， 故的定义域为. 又在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调， 所以或，解得或， 故的取值范围为. 【小问2详解】 略. 19. 定义：若集合中任意两个不相等的元素、都满足，则称是函数的“可加集”.已知为自然对数的底数. （1）若是函数的可加集，求的值； （2）若是函数的可加集，的元素之和为，求的取值范围； （3）若是函数的可加集，求的元素个数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义得出，化简得出，利用指数式与对数式的互化可得出的值； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，当集合只有两个元素时，结合基本不等式可求得的取值范围；当集合中至少有三个元素时，结合题中定义推出矛盾，综合可得出的取值范围； （3）在可加集中任取两个元素、，根据定义推导出，然后分析当可加集中有三个元素时，设这三个元素分别为、、，推导出，取，求出、的值，说明可加集中可以存在三个元素；当可加集中至少有四个元素时，取、、、且，推导出，推出矛盾，从而得出结论. 【小问1详解】 根据集合元素的互异性可知， 因为是函数的可加集，则，即， 等式两边同时除以得，则，所以， 故. 【小问2详解】 设可加集中的元素为、、、，不妨设， 若，则，即， 因为，由基本不等式可得， 可得，所以，即； 若且，由可得， 等式两边同时除以得①， 由同理可得②， 联立①②可得，可得，这与矛盾， 所以集合中有且只有两个元素，故的取值范围是. 【小问3详解】 因为，对于可加集中任意两个不等的元素、有， 即，即， 整理可得，所以， 若可加集中有三个元素，不妨设这三个元素分别为、、，且， 同理可得， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 代入得， 不妨取，可得， 所以、为关于的方程的两根，即方程的两根，解得， 因为，所以，，经检验，符合题意， 所以可加集中可以存在个元素； 若集合至少有四个元素，取、、、且， 所以，同理可得，所以，即， 这与矛盾，故集合中至多有个元素. 综上所述，可加集的元素个数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳地区2025年秋季高一年级12月阶段考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第六章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某年度河南省技术发明奖共个项目获奖，这个项目主要完成人的人数为，则这个项目主要完成人的人数的分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（ ） A. B. C. D. 7. 人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（ ） A. 11月21日至30日的日最低气温的极差是 B. 11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C. 在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D. 在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 10. 已知函数，则的零点所在区间可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取__________人. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 14. 已知函数，其中且.若函数恰有个零点，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，，，求的值. 16. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 17. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）求在上的值域. 18. 已知函数. （1）设函数. （i）若的图象经过两个定点，求线段的长； （ii）当时，在上单调，求的取值范围. （2）若满足，证明：. 19. 定义：若集合中任意两个不相等的元素、都满足，则称是函数的“可加集”.已知为自然对数的底数. （1）若是函数的可加集，求的值； （2）若是函数的可加集，的元素之和为，求的取值范围； （3）若是函数的可加集，求的元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $