第25讲：等比数列的概念及通项公式【知识梳理+7个常考题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦等比数列的概念及通项公式，系统梳理定义、等比中项、通项公式及推广、判定方法等核心知识，通过与等差数列对比构建学习支架，明确从概念理解到应用的脉络，突出定义三要素和三个“非零”等关键要点。 资料特色在于易错辨析结合错例分析，培养学生严谨的数学思维，题型分类中的答题模板助力规范数学语言表达。课中辅助教师突出重难点，课后学生可通过例题和练习巩固，有效查漏补缺，提升解决问题的能力。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第25讲：等比数列的概念及通项公式】 总览 题型梳理 一、核心教材知识梳理 1.等比数列的定义 文字定义：从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数的数列，该常数叫公比，记为（）. 符号表示：（，，为非零常数）；或（，）. 核心隐含条件：所有项，公比；至少含3项；比值方向不可颠倒（是，非）. 2.等比中项 定义：若，，成等比数列，则为与的等比中项，满足（，同号）. 关键性质：同号两数才有等比中项，且有两个互为相反数的中项；异号或含零无等比中项. 3.通项公式及推广 基本公式：（，）. 推广公式：（，）. 4.判定方法（高频考点） 判定方法 表达式 适用场景 定义法 （，，常数） 证明数列为等比数列的核心方法 中项法 （，） 已知连续3项关系时快速判定 通项公式法 （，，常数） 已知通项形式时判定 二、易错辨析（高频错因+避错技巧） 1.概念理解类易错点 易错点 错例 正确结论 避错技巧 含零项误判为等比数列 数列0，2，4，8…判定为等比数列 含零项一定不是等比数列 先检查所有项是否非零，再看公比 常数列的误判 数列，，…一定是等比数列 只有时，才是公比的等比数列 常数列需额外验证非零 公比为零的错误假设 设公比求解等比数列问题 公比是定义硬性要求 解题第一步标注， 比值方向颠倒 由判定为等比数列 必须是（） 严格遵循定义的比值顺序 2.等比中项应用错误 错因：忽略，同号条件，如求-2与3的等比中项. 纠正：先判断两数符号，同号才计算，异号直接说明无等比中项. 3.单调性判断失误 错因：仅由判定递增，判定递减. 正确结论：单调性由符号和共同决定（如下表）. 符号 范围 数列单调性 递增 递减 递减 递增 任意 无单调性（摆动数列） 三、概念比较（等比数列vs等差数列，明确差异） 对比维度 等比数列 等差数列 核心区别 定义 （，） （常数，） 运算本质：商为常数vs差为常数 项的限制 所有项非零 项可正、负、零 等比数列零项禁忌 中项性质 ，两中项（互为相反数） ，唯一中项 等比中项需同号，等差中项无符号限制 通项公式 （指数型） （一次函数型） 通项函数类型不同 单调性 由和共同决定 仅由公差决定（递增，递减） 单调性影响因素不同 四、重点记忆内容（核心必背，快速提分） 1.定义核心三要素：从第2项起、同一非零常数、比值方向正确. 2.三个“非零”：，，. 3.等比中项条件：，同号，. 4.通项公式及推广式的灵活应用：已知任意两项可求公比和首项. 5.判定的3种核心方法：定义法、中项法、通项公式法. 五、常考结论/二级结论（解题提速关键） 1.项的性质：若（，，，），则；特别地，若，则. 2.子数列性质：等比数列中，相隔项的子数列（如，，…）仍为等比数列，公比为（或不为偶数时）. 3.通项变形：（），体现等比数列与指数函数的关联. 4.前n项和相关结论（提前衔接）：时，；时，；且，，（或不为偶数）仍为等比数列，公比为. 5.单调性结论（快速判断）： 递增：，或，； 递减：，或，； 摆动：； 常数列：且. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1等比数列基本量求解（知三求二，高频基础题）】 【解题策略】 题型特征：已知等比数列中3个量（，，，），求第4个量；或结合两项求与，核心是通项公式的方程应用. 答题模板： 1.标注核心限制条件：，，. 2.选对应公式：基本量用；已知两项用. 3.代入数据列方程（组），解方程求未知量，注意的多解情况（如偶次方程）. 4.验证解的合理性，排除或含零项的情况. （2025高二上·河北承德·专题练习）在等比数列中，已知，，则等于 ．经典例题例题 （河南省TOP二十名校2026届高三上学期调研考试二数学试题）等比数列中，，则 .小试牛刀1 （25-26高三上·河南·期中）在等比数列中，，则公比（    ）小试牛刀2 A．6 B．3 C．或6 D．或3 （25-26高三上·山东·月考）已知等比数列的前项积为，若，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2等比中项的计算与应用（判断+求值）】 【解题策略】 题型特征：求两数的等比中项，或利用等比中项证明三项成等比，易错点是忽略同号条件. 答题模板： 1.先判断：若求，的等比中项，先验证（同号），异号则无等比中项. 2.计算：同号时，等比中项. 3.证明应用：若证，先确认，再计算两边是否相等. （24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高二下·河南·期中）已知实数是1，4的等比中项，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列为等比数列，，为方程的两根，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3等比数列的判定与证明（解答题核心题型）】 【解题策略】 题型特征：证明给定数列是等比数列，常用定义法、中项法，需严格遵循判定逻辑. 答题模板（分3种方法）： 方法步骤关键注意点定义法1.作比：计算（）或（）；2.证明比值为非零常数；3.确认首项，得出结论.比值方向不可颠倒，必须是后项比前项中项法1.验证所有项非零；2.证明（）；3.得出数列是等比数列.缺一非零验证会导致证明不严谨通项公式法1.推导数列通项为（，）；2.确认与为常数；3.得出结论.与必须同时非零 （2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，.求证：数列为等比数列，并求出数列.经典例题例题 （2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，．小试牛刀1 (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． （25-26高三上·湖北·开学考试）已知数列满足：小试牛刀2 (1)求的值． (2)证明是等比数列，并求数列的通项公式． (3)设，求数列的前项和． （25-26高三上·广东·开学考试）记为数列的前项和，已知．小试牛刀3 (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 【题型4等比数列通项公式的构造（已知递推关系求通项）】 【解题策略】 题型特征：已知递推式（如，，），构造等比数列求通项，网络名师高频技巧题型. 答题模板： 1.变形递推式：设，展开对比系数求（）. 2.构造新数列：令，得，即是公比为的等比数列. 3.求通项：（）. 4.还原求通项：. （25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知数列中，首项，若，则数列的通项公式 ．经典例题例题 （25-26高三上·天津武清·月考）设为数列的前项和，若，则 小试牛刀1 （25-26高二上·上海·开学考试）已知数列中，，，那么该数列通项公式 小试牛刀2 （24-25高一下·上海·期末）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ．小试牛刀3 【题型5等比数列单调性判断（符号+公比双分析）】 【解题策略】 题型特征：根据与的范围判断数列单调性，或求使数列递增/递减，易错点是忽略符号. 答题模板： 符号范围单调性递增，递减递减递增 1.明确核心规则：单调性由符号和范围共同决定，时为摆动数列，无单调性. 2.对照单调性表判断（如下），或列不等式求的范围. 示例：已知等比数列中，若数列递减，求的范围.答案：. （25-26高三上·河北衡水·期中）已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：为递增数列，则（   ）经典例题例题 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 （25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 （25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　）小试牛刀2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （24-25高二下·江西景德镇·期末）【多选题】若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6等比数列通项性质的应用（下标和性质，提速题）】 【解题策略】 题型特征：已知（，，，），求与的关系，或用该性质简化计算. 答题模板： 1.识别下标关系：判断是否满足，或. 2.套用性质：；. 3.代入已知条件计算，注意验证所有项非零. （25-26高三上·重庆·月考）在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（    ）经典例题例题 A． B．4 C． D．2 （25-26高三上·北京东城·月考）在等比数列中，，则 ，前7项的乘积等于 ．小试牛刀1 （25-26高三上·河南·月考）已知数列为等比数列，，，则（   ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．4 D．6 （25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ）小试牛刀3 A．4 B． C．8 D． 【题型7求等比数列最大项】 【解题策略】 题型特征：已知等比数列通项公式或基本量，求数列中的最大项（含项的数值及对应项数），核心是结合数列单调性或相邻项大小关系分析. 答题模板（分2种核心方法）： 1.方法一：单调性分析法 1.判断数列单调性：根据与的符号和范围，确定数列是递增、递减还是摆动数列. 2.求最大项： 若数列递增（或），则最大项为最后一项（有限项）或无最大项（无穷项）. 若数列递减（或），则最大项为首项. 若数列摆动（），则需比较相邻项绝对值及符号，确定最大项. 2.方法二：相邻项大小比较法 1.设第项为最大项，列不等式组：（，若，只需满足）. 2.代入通项公式，结合和求解不等式组，得到的正整数解. 3.代入求最大项. （24-25高二上·江苏·月考）【多选题】已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（2024高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件，，下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 （25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时， ．小试牛刀2 （24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 .小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·青海·月考）已知各项均不为零的数列满足，若，则（   ） A． B．16 C．4 D．64 2．（25-26高二上·广东·期末）已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 3．（2025·广东·模拟预测）已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·贵州·月考）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 7．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 8．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 9．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知等比数列的前项积为，并且满足条件，数列为单调递减数列，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 三、填空题 11．（22-23高二下·广西玉林·期中）在等比数列中，，，则公比q是 . 12．（2025高三上·天津南开·专题练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 四、解答题 13．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 14．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，， ． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 15．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列； 16．（25-26高三上·陕西西安·月考）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，，求数列的前n项和. 17．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（2025高三·全国·专题练习）设数列的前n项和为，.求数列的通项公式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第25讲：等比数列的概念及通项公式】 总览 题型梳理 一、核心教材知识梳理 1.等比数列的定义 文字定义：从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数的数列，该常数叫公比，记为（）. 符号表示：（，，为非零常数）；或（，）. 核心隐含条件：所有项，公比；至少含3项；比值方向不可颠倒（是，非）. 2.等比中项 定义：若，，成等比数列，则为与的等比中项，满足（，同号）. 关键性质：同号两数才有等比中项，且有两个互为相反数的中项；异号或含零无等比中项. 3.通项公式及推广 基本公式：（，）. 推广公式：（，）. 4.判定方法（高频考点） 判定方法 表达式 适用场景 定义法 （，，常数） 证明数列为等比数列的核心方法 中项法 （，） 已知连续3项关系时快速判定 通项公式法 （，，常数） 已知通项形式时判定 二、易错辨析（高频错因+避错技巧） 1.概念理解类易错点 易错点 错例 正确结论 避错技巧 含零项误判为等比数列 数列0，2，4，8…判定为等比数列 含零项一定不是等比数列 先检查所有项是否非零，再看公比 常数列的误判 数列，，…一定是等比数列 只有时，才是公比的等比数列 常数列需额外验证非零 公比为零的错误假设 设公比求解等比数列问题 公比是定义硬性要求 解题第一步标注， 比值方向颠倒 由判定为等比数列 必须是（） 严格遵循定义的比值顺序 2.等比中项应用错误 错因：忽略，同号条件，如求-2与3的等比中项. 纠正：先判断两数符号，同号才计算，异号直接说明无等比中项. 3.单调性判断失误 错因：仅由判定递增，判定递减. 正确结论：单调性由符号和共同决定（如下表）. 符号 范围 数列单调性 递增 递减 递减 递增 任意 无单调性（摆动数列） 三、概念比较（等比数列vs等差数列，明确差异） 对比维度 等比数列 等差数列 核心区别 定义 （，） （常数，） 运算本质：商为常数vs差为常数 项的限制 所有项非零 项可正、负、零 等比数列零项禁忌 中项性质 ，两中项（互为相反数） ，唯一中项 等比中项需同号，等差中项无符号限制 通项公式 （指数型） （一次函数型） 通项函数类型不同 单调性 由和共同决定 仅由公差决定（递增，递减） 单调性影响因素不同 四、重点记忆内容（核心必背，快速提分） 1.定义核心三要素：从第2项起、同一非零常数、比值方向正确. 2.三个“非零”：，，. 3.等比中项条件：，同号，. 4.通项公式及推广式的灵活应用：已知任意两项可求公比和首项. 5.判定的3种核心方法：定义法、中项法、通项公式法. 五、常考结论/二级结论（解题提速关键） 1.项的性质：若（，，，），则；特别地，若，则. 2.子数列性质：等比数列中，相隔项的子数列（如，，…）仍为等比数列，公比为（或不为偶数时）. 3.通项变形：（），体现等比数列与指数函数的关联. 4.前n项和相关结论（提前衔接）：时，；时，；且，，（或不为偶数）仍为等比数列，公比为. 5.单调性结论（快速判断）： 递增：，或，； 递减：，或，； 摆动：； 常数列：且. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1等比数列基本量求解（知三求二，高频基础题）】 【解题策略】 题型特征：已知等比数列中3个量（，，，），求第4个量；或结合两项求与，核心是通项公式的方程应用. 答题模板： 1.标注核心限制条件：，，. 2.选对应公式：基本量用；已知两项用. 3.代入数据列方程（组），解方程求未知量，注意的多解情况（如偶次方程）. 4.验证解的合理性，排除或含零项的情况. （2025高二上·河北承德·专题练习）在等比数列中，已知，，则等于 ．经典例题例题 【答案】4 【分析】根据等比数列性质可得，进而可求. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得（负值舍去）， 所以. 故答案为：4. （河南省TOP二十名校2026届高三上学期调研考试二数学试题）等比数列中，，则 .小试牛刀1 【答案】448 【分析】利用等比数列通项公式的基本量运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意得，解得，所以. 故答案为：448 （25-26高三上·河南·期中）在等比数列中，，则公比（    ）小试牛刀2 A．6 B．3 C．或6 D．或3 【答案】C 【分析】由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】数列为等比数列，且， ，又， 所以，即， 解得或． 故选：C． （25-26高三上·山东·月考）已知等比数列的前项积为，若，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设公比为q，由题意得，即，又，联立可得，，代入公式，即可得答案. 【详解】设公比为q，由题意得，， 所以，则，即， 又， 将，代入可得，即， 所以，则， 所以. 故选：B 【题型2等比中项的计算与应用（判断+求值）】 【解题策略】 题型特征：求两数的等比中项，或利用等比中项证明三项成等比，易错点是忽略同号条件. 答题模板： 1.先判断：若求，的等比中项，先验证（同号），异号则无等比中项. 2.计算：同号时，等比中项. 3.证明应用：若证，先确认，再计算两边是否相等. （24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. （24-25高二下·河南·期中）已知实数是1，4的等比中项，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项定义计算可得结果. 【详解】依题意可知，解得. 故选：C （25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列为等比数列，，为方程的两根，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次方程的韦达定理，可得出，进而判断，的正负，再结合等比数列的中项公式，即可计算. 【详解】因为，为方程的两根，根据韦达定理得：，所以，均为负数； 由等比中项公式得：，，等比数列中偶数项同号，所以，所以. 故选：. （25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式得、等比中项的性质及等比数列通项公式得，即可求. 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A 【题型3等比数列的判定与证明（解答题核心题型）】 【解题策略】 题型特征：证明给定数列是等比数列，常用定义法、中项法，需严格遵循判定逻辑. 答题模板（分3种方法）： 方法步骤关键注意点定义法1.作比：计算（）或（）；2.证明比值为非零常数；3.确认首项，得出结论.比值方向不可颠倒，必须是后项比前项中项法1.验证所有项非零；2.证明（）；3.得出数列是等比数列.缺一非零验证会导致证明不严谨通项公式法1.推导数列通项为（，）；2.确认与为常数；3.得出结论.与必须同时非零 （2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，.求证：数列为等比数列，并求出数列.经典例题例题 【答案】证明见解析， 【详解】将两边同时取倒数可得，两边同时加3，可得，因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以. （2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，．小试牛刀1 (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)384 【分析】（1）代入即可求解，进而根据求和的定义求解， （2）根据等比数列的定义，结合所给等式即可化简求解公比， （3）根据（2）的结论求解，即可代入求解. 【详解】（1）由可得，故，进而， （2）由可得， 为常数， 故为等比数列，且公比为，首项为， （3）由（2）知，即， ，故， 所以 （25-26高三上·湖北·开学考试）已知数列满足：小试牛刀2 (1)求的值． (2)证明是等比数列，并求数列的通项公式． (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1). (2)证明见解析．. (3). 【分析】(1)分别将代入递推公式可得的值. (2)由递推公式构造与的关系,并求出的值,可根据等比数列的定义证明是等比数列,,并求出其通项公式,进而得到数列的通项公式. (3)把由(2)得到的的通项公式,代入，得到数列的通项公式,进而判断数列是等差数列.根据等差数列的前项和公式,求得数列的前项和． 【详解】（1）因为数列满足：， 所以,. （2）证明：因为，所以. 所以. 因为,所以. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 所以. 所以数列的通项公式是. （3）由(2)知:. 因为当时,. 所以数列是首项为1,公差为1的等差数列. 所以数列的前项和 故. （25-26高三上·广东·开学考试）记为数列的前项和，已知．小试牛刀3 (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的最小值为，无最大值 【分析】（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解. （2）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明. （3）先根据（2）求出的的通项公式，再结合求出的表达式，最后通过分析的单调性来确定其最值. 【详解】（1）已知，则当时，有. ，，即，解得． （2）由可得，当时，. 得. ，，即，进一步变形可得. 当时，. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则，即. ，，则. 由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值. 【题型4等比数列通项公式的构造（已知递推关系求通项）】 【解题策略】 题型特征：已知递推式（如，，），构造等比数列求通项，网络名师高频技巧题型. 答题模板： 1.变形递推式：设，展开对比系数求（）. 2.构造新数列：令，得，即是公比为的等比数列. 3.求通项：（）. 4.还原求通项：. （25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知数列中，首项，若，则数列的通项公式 ．经典例题例题 【答案】 【分析】由已知可得，即可得到是等比数列，从而可求出数列的通项公式. 【详解】由，得， 因为，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 故答案为： （25-26高三上·天津武清·月考）设为数列的前项和，若，则 小试牛刀1 【答案】513 【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，所以. 故答案为：513 （25-26高二上·上海·开学考试）已知数列中，，，那么该数列通项公式 小试牛刀2 【答案】 【分析】由数列递推式变形构造等比数列，利用等比数列的基本量运算即可求出其通项公式. 【详解】由可得，， 因，故数列是首项为3，公比为3的等比数列， 则，即得. 故答案为：. （24-25高一下·上海·期末）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】由数列递推式，利用构造法得为等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ， 故答案为：. 【题型5等比数列单调性判断（符号+公比双分析）】 【解题策略】 题型特征：根据与的范围判断数列单调性，或求使数列递增/递减，易错点是忽略符号. 答题模板： 符号范围单调性递增，递减递减递增 1.明确核心规则：单调性由符号和范围共同决定，时为摆动数列，无单调性. 2.对照单调性表判断（如下），或列不等式求的范围. 示例：已知等比数列中，若数列递减，求的范围.答案：. （25-26高三上·河北衡水·期中）已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：为递增数列，则（   ）经典例题例题 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【分析】应用等比数列定义结合充分条件和必要条件的定义举反例，判断即可. 【详解】根据题意，为等比数列， 当，时，，此时为递减数列，故充分性不成立； 同理可知，此时为递增数列，但，故必要性不成立． 故选：D． （25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. （25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　）小试牛刀2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合等比数列的性质判断推出关系，即可得. 【详解】由，则或， 若，有单调递减， 若，有单调递减， 若，则不具有单调性， 即充分性不成立； 由单调递减，则或， 此时成立，即必要性成立， 综上，“”是“单调递减”的必要不充分条件. 故选：B （24-25高二下·江西景德镇·期末）【多选题】若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对A，B，当时，则等比数列是摆动数列，可判断；对C，D，由可判断. 【详解】若，则等比数列是摆动数列； 若，则等比数列是常数列； 当且时，由. 对于A，若，当时，则等比数列是摆动数列，故A错误； 对于B，若，当时，则等比数列是摆动数列，故B错误； 对于C，当时，，即，等比数列是递减数列，故C正确； 对于D，当时，，即，等比数列是递减数列，故D正确. 故选：CD. 【题型6等比数列通项性质的应用（下标和性质，提速题）】 【解题策略】 题型特征：已知（，，，），求与的关系，或用该性质简化计算. 答题模板： 1.识别下标关系：判断是否满足，或. 2.套用性质：；. 3.代入已知条件计算，注意验证所有项非零. （25-26高三上·重庆·月考）在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（    ）经典例题例题 A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的下标和性质及基本不等式即可求解。 【详解】在各项均为正数的等比数列 中，设公比为， 则， 即， 根据基本不等式，得， 即， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，取等号， 又，解得，即的最大值为2. 故选：D （25-26高三上·北京东城·月考）在等比数列中，，则 ，前7项的乘积等于 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】先利用等比中项的性质结合已知条件求出，再根据等比中项的性质求出及前7项的乘积． 【详解】因为是等比数列，所以，又，所以，解得或（舍去）， 因为，，所以，解得． 所以前7项的乘积. 故答案为：；1 （25-26高三上·河南·月考）已知数列为等比数列，，，则（   ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． （25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ）小试牛刀3 A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C 【题型7求等比数列最大项】 【解题策略】 题型特征：已知等比数列通项公式或基本量，求数列中的最大项（含项的数值及对应项数），核心是结合数列单调性或相邻项大小关系分析. 答题模板（分2种核心方法）： 1.方法一：单调性分析法 1.判断数列单调性：根据与的符号和范围，确定数列是递增、递减还是摆动数列. 2.求最大项： 若数列递增（或），则最大项为最后一项（有限项）或无最大项（无穷项）. 若数列递减（或），则最大项为首项. 若数列摆动（），则需比较相邻项绝对值及符号，确定最大项. 2.方法二：相邻项大小比较法 1.设第项为最大项，列不等式组：（，若，只需满足）. 2.代入通项公式，结合和求解不等式组，得到的正整数解. 3.代入求最大项. （24-25高二上·江苏·月考）【多选题】已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论． 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 【多选题】（2024高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件，，下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【分析】根据等比数列的性质可判断，进而可判断，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 由可知，， 当时，则，不成立， 故，且，故，A正确； ，故B正确； 是数列中的最大值，C，D错误. 故选：AB （25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时， ．小试牛刀2 【答案】3 【分析】由等比数列通项公式的基本量计算得到通项公式，再利用数列的单调性可求何时数列取最大值. 【详解】， 设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值， 故答案为：3 （24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 .小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·青海·月考）已知各项均不为零的数列满足，若，则（   ） A． B．16 C．4 D．64 【答案】D 【分析】由题意得，即数列为等比数列，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】因为，所以，所以数列为等比数列， 因为，所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东·期末）已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 【答案】A 【分析】设等比数列公比为，由题可得，结合等比数列通项公式可得答案. 【详解】设等比数列公比为，则. 由题可得，则. 故选：A 3．（2025·广东·模拟预测）已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分性和必要性的意义，均举反例即可判断. 【详解】当时，，此时，不满足， 故充分性不成立； 若，此时满足，但，故必要性不成立， 故甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（25-26高三上·贵州·月考）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得数列为公比e的等比数列，又，即可求解. 【详解】由，得，所以． 因为，所以是公比为e的等比数列，所以． 故选：C 5．（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 6．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 7．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 8．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【详解】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 9．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 二、多选题 10．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知等比数列的前项积为，并且满足条件，数列为单调递减数列，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】AC 【分析】先分析数列的单调性与公比范围，结合题中不等式，利用等比数列的性质计算判断各个选项. 【详解】已知等比数列为单调递减数列，且.设公比为， 若，则单调递增（舍去）；若，则，数列是常数列（舍去）； 若，则不具有单调性(舍去)；若，则单调递减； 可知，. 对于A，因为，所以或， 解得或，根据单调性，所以，A正确. 对于B，因为，，B错误. 对于C，前项积，因为， 故，而，后续因乘以小于的项而递减， 故的最大值为，C正确. 对于D，根据等比数列性质，因为， 故，D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（22-23高二下·广西玉林·期中）在等比数列中，，，则公比q是 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用等比数列通项公式列式求解. 【详解】在等比数列中，，，则， 所以. 故答案为：2 12．（2025高三上·天津南开·专题练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 四、解答题 13．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】构造法得到为公比为4的等比数列，且，求出通项公式. 【详解】，设，故，所以， 解得，所以， 所以为公比为4的等比数列，且，所以， 故. 14．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，， ． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列为等比数列，可以设其公比为，从而用待定系数法解得和的值，并借助的通项得到数列的通项． （2）由（1）可得 ，从而可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为，所以． 又因为，所以， 可得解得所以. 因为，所以为等比数列，. 故当，使得为等比数列. （2）由（1）可知，，可得 ，所以. 故数列的通项公式为. 15．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】根据递推公式构造得，则由等比数列定义得证； 【详解】由题意，数列中，，， 当时，， 即， 即，． ∴是以为首项，以为公比的等比数列． 16．（25-26高三上·陕西西安·月考）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）计算的值证明是等比数列；先求解出的通项公式，则的通项公式可求； （2）先计算出并化简，然后采用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）证明：因为，且， 所以数列是首项为公比为的等比数列； 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以. 17．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1）可得，再分、两种情况，分别求出. 【详解】（1）因为， 当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2）由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 18．（2025高三·全国·专题练习）设数列的前n项和为，.求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以，所以即，又，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的通项公式为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $