第27讲：等差数列及其前N项和【知识梳理+8个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义系统梳理等差数列的定义、等差中项、通项公式、前n项和公式等核心知识点，构建从概念理解到公式应用，再到性质探究与题型突破的完整学习支架，助力学生逐步掌握等差数列的判定、计算及综合应用。 资料以核心素养为导向，通过定义法证明培养推理意识，利用片段和性质简化计算体现逻辑思维，8类题型配套经典例题及易错警示，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱点。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第27讲：等差数列及其前N项和】 总览 题型梳理 一、核心定义与基本概念 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示（）. 数学表达式：（，为常数），或（，为常数）. 关键提醒：定义是判定等差数列的根本依据，需注意“从第2项起”“同一常数”两个核心条件，缺一不可. 2.等差中项 若三个数成等差数列，则叫做与的等差中项，且满足. 推广：在等差数列中，任意连续三项满足（），即任意一项（除首项和末项）都是其前后两项的等差中项. 二、核心公式（必背） 1.通项公式 基础形式：（其中为首项，为公差，为项数）. 推广形式：（），此公式可快速实现等差数列中任意两项的转化，无需借助首项. 名师速记：通项公式本质是一次函数形式，可记为，其中斜率为公差，截距为. 2.前n项和公式 形式一（已知首项和公差）：. 形式二（已知首项和末项）：（核心思路：“倒序相加法”推导，体现等差数列“对称项之和相等”的本质）. 推广形式：（其中，），即等差数列前n项和是关于的二次函数，且不含常数项；反之，若一个数列的前n项和为（），则该数列不是等差数列（首项除外）. 三、重要性质（解题高频） 1.项的性质 若（），则. 特殊情形：若（），则（即对称项之和等于中间项的2倍，与等差中项性质一致）. 易错点：若，则，需注意等式两边项数必须相等. 2.子数列性质 若将等差数列中的项按一定间隔抽取，如（），则所得子数列仍为等差数列，公差为. 示例：等差数列的奇数项（）构成公差为的等差数列；偶数项（）也构成公差为的等差数列. 3.前n项和的性质 （1）若为等差数列的前n项和，则数列（）仍为等差数列，公差为. （2）数列为等差数列，其公差为（可由推导得出）. （3）奇数项和与偶数项和的关系： 若数列共有项（奇数项），则，，且（核心结论，高频考点）； 若数列共有项（偶数项），则，. 4.跨数列性质 若和均为等差数列，前n项和分别为和，则： （1）（为常数）仍为等差数列，公差为（分别为两数列的公差）； （2）（核心秒杀结论，可快速解决“已知前n项和之比求通项之比”的问题）. 四、等差数列的判定与证明（大题核心） 判定一个数列是否为等差数列，需严格遵循以下方法，其中前两种为“证明方法”（可用于大题证明），后两种为“判断方法”（仅用于小题快速判断，不可直接作为证明依据）. 1.定义法（最根本） 证明：对任意，（为常数）；或对任意，（为常数）. 2.等差中项法 证明：对任意，；或对任意，. 3.通项公式法（判断） 若数列的通项公式可表示为（为常数），则该数列为等差数列，且公差. 4.前n项和公式法（判断） 若数列的前n项和可表示为（为常数，且），则该数列为等差数列，且公差，首项. 五、常考结论与秒杀技巧（名师总结） 1.前n项和的最值结论 等差数列前n项和的最值由首项和公差的符号共同决定，核心思路是找到“正负项分界点”，具体结论如下： 当时，数列前n项为正，后续项为负，前n项和有最大值，此时最大值出现在最后一个正项（或零项）对应的项数n处.求解n的方法：解不等式组，找到满足条件的正整数n； 当时，数列前n项为负，后续项为正，前n项和有最小值，此时最小值出现在最后一个负项（或零项）对应的项数n处.求解n的方法：解不等式组，找到满足条件的正整数n； 特殊情形：若，数列为常数列，若，则无最大值（随n增大而增大），有最小值；若，则无最小值（随n增大而减小），有最大值. 秒杀技巧：若，可直接利用二次函数最值公式求解，当时，取得最值.若为整数，则该n对应的即为最值；若不为整数，则取其左右相邻的正整数n，对应的两个相等且为最值. 2.通项与前n项和的关系结论 对任意等差数列，其通项与前n项和满足： （1）； （2）（）. 易错提醒：利用求解通项时，必须验证时是否满足该式，若满足则通项公式统一；若不满足，则需分段表示（）. 3.公差相关秒杀结论 （1）若等差数列中，（），则，公差； （2）若等差数列中，（），则，公差； （3）等差数列的公差（），可由通项公式推广形式变形得出，适用于已知任意两项快速求公差. 4.其他常考结论 （1）若等差数列和的前n项和之比为，则（由推导得出，高频考点）； （2）在等差数列中，若项数为，则（为奇数），（为偶数）； （3）若等差数列的前n项和为，则，该结论可快速关联前n项和与中间项，简化计算. 六、易错点警示（避坑指南） 混淆“等差数列的前n项和公式”与“一般二次函数”：等差数列前n项和无常数项，若含常数项则不是等差数列（首项除外）； 滥用项的性质：需注意是的充分不必要条件，且等式两边项数必须相等，不可随意拓展； 求前n项和最值时忽略“零项”：当数列中存在零项时，零项对应的前n项和与相邻项的前n项和相等，均为最值； 证明等差数列时直接使用“通项公式法”或“前n项和公式法”：这两种方法仅适用于判断，大题证明需严格使用“定义法”或“等差中项法”； 计算公差时忽略项数差的符号：中，分子分母的项数差与项的差需对应，不可颠倒顺序. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：等差数列基本量的求解】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列中1-2个条件（如首项、公差、项数、某项、前n项和），求其他未知量；或已知条件可转化为基本量的等量关系（如“”“”）. 二、核心解题思路 “基本量法”是万能解法：以和为核心未知量，将所有已知条件转化为关于和的方程组，求解后代入通项公式或前n项和公式得未知量. 三、步骤拆解 1.识别条件类型：判断已知条件是“项的关系”还是“前n项和的关系”； 2.列方程/方程组： 若涉及项：用通项公式转化条件（如）； 若涉及前n项和：用前n项和公式或转化条件（如）； 3.求解方程组：得到和的值； 4.求目标量：将和代入对应公式，计算未知的、或. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若已知和，可先用快速求公差，再求，减少计算量；若已知且n为奇数，可优先用（中间项性质）简化计算. 易错点：①公式记忆错误（如将前n项和公式分母的“2”遗漏）；②项数计算错误（如“第n项”与“前n项”混淆）；③求解方程组时计算失误，建议分步验算. （2025·湖南长沙·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）经典例题例题 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用等差数列的前项和公式和性质化简得到，则. 【详解】因为，所以，即， 所以公差 ，所以 故选：C 【多选题】（2025·江苏·模拟预测）记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ）小试牛刀1 A． B．成等比数列 C．没有最小值 D． 【答案】ABD 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，结合等比数列的定义，等差数列的性质及求和公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为， 可得，解得，所以A正确； 对于B，数列的通项公式为， 可得，则满足，所以成等比数列，所以B正确； 对于C，由等差数列的前项和公式，可得， 所以当时，取得最小值，所以C不正确； 对于D，由等差数列的性质，可得， 则，所以D正确. 故选：ABD. 【多选题】（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断. 【详解】根据题意，等差数列中，，， 可得，解得， 由于，A正确； ，B错误； ， 所以，C正确； ，D正确. 故选：ACD （2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式列出关于首项与公差的方程组，求解出与的值，再利用通项公式求出. 【详解】根据等差数列的前项和公式 已知，，代入可得： 由等差数列的通项公式 将代入： 则. 故答案为：10. 【题型2：等差数列的判定与证明】 【解题策略】 一、题型特征 题目明确要求“证明数列是等差数列”；或给出数列的递推关系（如、）、前n项和公式（如），判断数列是否为等差数列. 二、核心解题思路 证明题（大题）：严格遵循“定义法”或“等差中项法”，这是高考评分标准认可的唯一两种证明方法；判断题（小题）：可灵活用“通项公式法”或“前n项和公式法”快速判断. 三、分题型步骤拆解 （一）证明题（大题必用） 1.方法一：定义法（最根本） 步骤1：写出（或，需注明）； 步骤2：化简，证明其结果为常数（与n无关）； 步骤3：下结论：∵（常数），∴数列是首项为、公差为d的等差数列. 2.方法二：等差中项法 步骤1：写出和（需注明）； 步骤2：化简证明； 步骤3：下结论：∵对任意，，∴数列是等差数列. （二）判断题（小题专用） 1.方法一：通项公式法：若数列通项可表示为（p、q为常数），则为等差数列（公差d=p）； 2.方法二：前n项和公式法：若数列前n项和可表示为（A、B为常数，无常数项），则为等差数列（公差d=2A）； 3.方法三：递推关系法：若递推式为或，则为等差数列. 四、名师技巧与易错提醒 核心易错点：①大题证明时误用“通项公式法”或“前n项和公式法”，高考评分时会扣分，必须用定义法或等差中项法；②用定义法证明时，未注明“n≥2”（针对），逻辑不严谨；③由（C≠0）判断时，误将其当作等差数列，忽略“无常数项”条件（此时仅n≥2时为等差数列）. （2021·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.经典例题例题 【答案】证明见解析. 【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴ ∴是等差数列. 【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况. （2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.小试牛刀1 (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）由先求，根据等差数列的定义验证是否为不变的常数即可验证； （2）由（1）有，利用累加法即可求解； （3）由有，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， （2）由（1）有， 所以， 上式相加有， 所以， 所以； （3）由（2）有， 所以， 所以 ， 所以. （2025·广西北海·模拟预测）已知数列满足，且．小试牛刀2 (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，再通过同除得到，即可求证； （2）由（1）求得，即可求解； （3）通过裂项相消求和即可求证； 【详解】（1）证明：因为， 所以，则， 即， 所以是以为首项，4为公差的等差数列． （2）由（1）知，所以． （3）证明：因为． 所以 ， 因为，所以． （2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，．小试牛刀3 (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知递推式，得到，结合等差数列的定义即可证明结论，由等差数列通项公式，即可得到所求通项公式； （2）求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【详解】（1）因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． （2）证明：因为， 所以 因为，所以 【题型3：等差数列项的性质】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列中若干项的和或关系（如“”“”“”），求某一项的值或其他项的关系. 二、核心解题思路 优先利用“等差数列项的性质”简化计算，而非直接用基本量法（减少未知数个数）：核心性质为“若（），则；若，则（等差中项）”. 三、步骤拆解 1.分析项的下标关系：观察已知条件中各项的下标，判断是否满足“和相等”（）或“和为偶数”（）； 2.应用性质转化条件： 若下标和相等：将多项和转化为两项和或单项（如，则）； 若给出等式关系：利用性质将等式两边转化为同结构的项（如，则）； 3.求解目标量：根据转化后的简单等式，直接求出某一项的值（如）； 4.验证（可选）：若性质应用不熟练，可先用基本量法验证结果，确保正确. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：遇到“连续奇数项的和”（如下标为2,5,8，公差为3），可优先观察下标是否成等差数列，若成等差数列，则对应项也成等差数列，中间项为这几项的等差中项（如成等差数列，为中间项，故和为）. 易错点：①误用性质：若下标和不相等（如），则，必须保证等式两边项数相同；②下标计算错误（如将误算为，正确应为），牢记“下标和相等，项的和相等”，而非“下标和等于项的下标”. （2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ）经典例题例题 A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. （25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ）小试牛刀1 A．550 B．450 C．1100 D．900 【答案】A 【分析】由等差数列的下标和性质和前项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. （2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】根据可得公差，进而求出的通项公式可得，再利用求出通项公式，可得答案. 【详解】因为即，故， 设的公差为，则，解得，又， 所以，， 时，， 所以. 故答案为：. （2025·安徽·三模）已知等差数列的前n项和为，，若，，则 ．小试牛刀3 【答案】30 【分析】由等差数列下标性质得到，结合前n项和公式即可求出k. 【详解】解析  由等差数列的性质可得，再由，， 可得，所以，则，解得． 故答案为：30. 【题型4：等差数列前N项和的片段和的性质】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列前m项和、前2m项和，求前3m项和；或已知、，求等片段和关系；或给出片段和的比例，求其他量. 二、核心解题思路 利用“等差数列前n项和的片段和性质”：若为等差数列的前n项和，则仍为等差数列，且公差为（d为原数列公差）。核心等式：（等差中项性质）. 三、步骤拆解 1.识别片段和：明确题目中的片段和（如是第1个片段和，是第2个片段和，是第3个片段和）； 2.应用片段和性质：根据“片段和成等差数列”，列出等差中项等式（如求，则）； 3.求解目标片段和：整理等式，代入已知条件计算（如）； 4.拓展计算（若需要）：若题目求其他量（如原数列的d、），可结合前n项和公式，用片段和的公差求解（如，可解出d）. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：片段和的公差是原数列公差的倍，若已知两个片段和，可直接用快速求原数列公差d；若题目中m为具体数值（如m=3），可直接代入性质公式，无需推导. 易错点：①混淆片段和的公差与原数列公差（片段和公差是，而非d）；②片段和的项数错误（必须是“连续m项的和”，如，而非）；③代入数值时计算失误，建议先化简等式再代入（如，直接代入和的值）. （24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 .经典例题例题 【答案】21 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. （2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，则（    ）小试牛刀1 A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得. 【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列， 由，得该数列首项为4，公差为2， 所以. 故选：B （2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则 ．小试牛刀2 【答案】84 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：84. （24-25高二下·江西上饶·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ）小试牛刀3 A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项的性质求. 【详解】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 【题型5：两个等差数列前N项和的比的问题】 【解题策略】 一、题型特征 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且给出的表达式（如），求（某两项的比）或其他相关比值. 二、核心解题思路 利用“两个等差数列通项比与前n项和比的核心关系”：。推导逻辑：（前2k-1项和=中间项×项数），同理，两式相比即得结论. 三、步骤拆解 1.明确目标：题目要求的是（k为具体数值，如k=5）； 2.应用核心关系：将转化为（如k=5，则转化为）； 3.代入前n项和的比的表达式：将n=2k-1代入已知的中（如）； 4.得出结果：，即所求比值. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若题目要求（m≠n），可先分别用和求出和，再求比值；若已知，反向求，可设，，简化计算. 易错点：①记错核心关系，将误写为（正确应为）；②代入n的值错误（如k=5时，n应为9，而非5）；③忽略“两个数列均为等差数列”的前提，直接套用公式（非等差数列不满足此性质）. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. （2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. （24-25高二下·黑龙江鸡西·月考）设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（      ）小试牛刀2 A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质求值. 【详解】因为数列和均为等差数列， 所以 . 故选：B （2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．28 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质来计算求得正确答案. 【详解】依题意，和是等差数列， 而，故可设， 其中，所以， ， . 故选：D 【题型6：等差数列前N项和与n的比为等差数列】 【解题策略】 一、题型特征 题目给出“数列是等差数列”，或需要证明“是等差数列”；或已知的某些条件（如首项、公差、某一项的值），求原数列的、d或. 二、核心解题思路 利用“的通项公式与等差数列的关系”：由（等差数列前n项和特征），可得，即是首项为、公差为的等差数列。证明时可直接用定义法（证明为常数）. 三、步骤拆解 （一）证明“是等差数列” 1.写出； 2.代入和，化简： 3.下结论：∵（常数），∴是等差数列. （二）已知“是等差数列”，求原数列量 1.设（p、q为常数，等差数列通项形式）； 2.由已知条件（如首项、某一项的值）列方程，求出p和q： 首项：； 某一项：如，则； 3.求：； 4.求原数列的和d：，（由中推导）. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若已知的公差为，则原数列的公差，可直接关联两个数列的公差，无需复杂计算；证明时可直接利用前n项和的二次函数特征，快速得出的一次函数形式，即等差数列. 易错点：①混淆的公差与原数列的公差（前者是，后者是d）；②证明时未化简到位，直接给出结论；③由求时，忘记验证n=1的情况（实际，n≥2，且n=1时满足，可统一通项）. （23-24高三上·河南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. （2023·湖南郴州·一模）设数列满足且是前项和，且，则（    ）小试牛刀1 A．2024 B．2023 C．1012 D．1011 【答案】C 【分析】 根据题意和等差数列的定义和前n项求和公式,，可得出也为等差数列,从而得出答案. 【详解】由题意，，， 则数列为等差数列，设公差为，，即，则，则， 则所以，（常数），则也为等差数列. 则数列的公差为. 所以 所以. 故选：C （2024高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列． 因为，所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： （2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ）小试牛刀3 A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 【题型7：等差数列的前N项和最值问题】 【解题策略】 一、题型特征 求等差数列前n项和的最大值或最小值；或已知有最值，求参数范围（如公差d的范围）. 二、核心解题思路 两种主流方法：①“临界项法”（最直观）：找到数列中“正负项的分界点”，即最后一个正项（或负项）对应的n，此时取得最值；②“二次函数法”（最快捷）：利用的二次函数特征，结合二次函数最值公式求解（注意n为正整数）. 三、步骤拆解 （一）方法一：临界项法（推荐用于已知和d的情况） 1.判断公差符号： 若：数列递减，前n项和有最大值，需找最后一个非负项（且）； 若：数列递增，前n项和有最小值，需找最后一个非正项（且）； 2.列不等式组：根据上述判断，列出关于n的不等式组（如求最大值：）； 3.求解不等式组：得到n的取值范围（如）； 4.求最值：n为正整数，将n代入公式，得到最大值或最小值（若n为区间内两个整数，如5和6，则，均为最值）. （二）方法二：二次函数法（推荐用于已知表达式的情况） 1.写出的二次函数形式：（A、B为常数）； 2.判断二次函数开口方向： 若（即d=2A>0）：开口向上，有最小值； 若A<0（即d=2A<0）：开口向下，有最大值； 3.求对称轴：二次函数对称轴为； 4.求最值： 若为正整数：则当时，取得最值； 若不是正整数：取其左右相邻的正整数n，对应的两个相等且为最值. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若数列中有零项（），则，均为最值；若已知，则当n=k或n=k-1时，取得最值（如，则为最值）。 易错点：①忽略n为正整数的条件，直接用二次函数对称轴的非整数解求最值；②判断最值类型错误（如时误求最小值）；③临界项不等式方向错误（如求最大值时写成）；④忘记零项的情况，导致漏解（如时，只求出，遗漏）. （23-24高二上·甘肃兰州·期末）设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ）经典例题例题 A．6 B．7 C．6或7 D．8 【答案】A 【分析】根据条件得，从而得出，即可求出结果. 【详解】因为数列为等差数列，设数列的公差为， 又，，则①，②， 由①②解得，所以， 当时，取最小值为， 故选：A. （25-26高二上·江苏·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. （24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ）小试牛刀2 A．，或， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分，，三种情况结合等差数列性质求解即可. 【详解】因为等差数列的公差，且， 所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A （23-24高三上·山东青岛·期末）是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（    ）小试牛刀3 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由已知结合等差数列的性质可得：，，，然后分情况考虑，结合等差数列的通项公式可求. 【详解】由题意得，时，取得最大值，所以有，，， 若，则， 若，，则，有， . 故选：D 【题型8：绝对值的等差数列求和问题+奇偶】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列，求数列的前n项和（如“求”）. 二、核心解题思路 绝对值求和的关键是“去掉绝对值符号”，而绝对值符号的正负由原等差数列的项的正负决定，因此需先找到原数列的“正负项分界点”（即临界项n=k，使得且，或反之），再分情况讨论求和：①当n≤k时，，；②当n>k时，，（前k项和的2倍减去前n项和，抵消负项的影响）. 三、步骤拆解 1.判断原数列的单调性与正负项分布： 求公差d，判断数列是递增（d>0）还是递减（d<0）； 找到临界项k：解不等式组（递减数列，先正后负）或（递增数列，先负后正），得到k的值（正整数）； 2.分情况求： 情况1：当n≤k时，所有（或，根据递增/递减调整），则（或）； 情况2：当n>k时，前k项的绝对值为其本身（或相反数），第k+1项到第n项的绝对值为其相反数（或本身），则： 若原数列先正后负（d<0）：；若原数列先负后正（d>0）：； 3.整合结果：写出分段形式的（注明n的取值范围）. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：临界项k的求解可直接用（向下取整），如，则（验证，实际k=4，需微调，此技巧可快速锁定大致范围）；求和时牢记“先正后负用，先负后正用”，无需重复推导。 易错点：①未找到临界项直接求和，导致符号错误；②临界项k的判断错误（如将递增数列的先负后正误判为先正后负）；③分情况求和时公式记错（如先正后负时误写为）；④忽略n=k时的情况（n=k时两种情况的结果应一致，可用于验证）；⑤计算或时出错，建议分步计算并验算. （24-25高二上·河北张家口·期末）已知为等差数列的前项和，若.经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和. 【答案】(1)； (2)1670. 【分析】（1）应用等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由（1）知时，时，再应用分组求和及等差数列的前n项和公式求. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，即，解得， 所以. （2）由（1）得，令，解得， 当时，，则；当时，，则； 所以 . （24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，.小试牛刀1 (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据可得，结合列方程组可求得，由此可得和. （2）讨论和可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. （24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.小试牛刀2 (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）变形得到，故为等差数列，利用求出，根据，其中，，得到，求出公差，得到通项公式； （2），设的前项和为，分和，两种情况，得到的前项和. 【详解】（1），， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； （2）， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. （24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若．小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列方程组，求出，即得数列通项； （2）利用求和公式求出，解不等式求得的范围，取整即得； （3）将所求和式按照为奇数和偶数进行分类，利用并组求和法与等差数列求和公式计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，逐一对各选项判断即可. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，公差， 可得， ， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因，则，故C正确，D错误. 故选：C. 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 3．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【答案】B 【分析】利用等差数列的片段和性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得， 所以. 故选：B. 5．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 6．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干信息，可得数列是首项为5的等差数列，再结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【详解】根据题意，知数列是首项为5的等差数列， 设数列中所有奇数项的和为，则， 设数列中所有偶数项的和为，则， 又由等差数列的性质，知， 所以. 故选：D. 7．（24-25高二下·重庆·月考）等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由与的关系计算可得. 【详解】由可设， 则，， 所以 故选：D 8．（25-26高二上·江苏·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【详解】因为，所以, 解得 故选：B 二、填空题 9．（25-26高二上·浙江·期末）设为等差数列的前项和若，，则 【答案】63 【分析】根据题意和等差数列的前项和公式列出方程组，即可求出首项和公差，再求出． 【详解】解：设数列首项，公差， 由题意得，即， 解得， ． 故答案为：． 10．（25-26高二上·江苏·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 【答案】24 【分析】由等差数列下标和的性质，以及前项求和公式，即可得到答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：24． 11．（24-25高二下·四川南充·期末）若等差数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质计算即可． 【详解】，所以. 故答案为： 12．（24-25高二上·江苏泰州·期末）设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 【答案】96 【分析】令的公差为，由等差数列片段和的性质及已知可得，再应用等比中项的性质得求得，，最后应用等差数列前n项和公式求. 【详解】令的公差为，由题设， 且为等差数列且公差为，则， 由成等比数列，则， 所以且m为正整数，，可得，，则， 所以. 故答案为：96 13．（24-25高二下·江西·月考）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可. 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 14．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 【答案】9 【分析】根据等差数列的性质推出，，即可得解. 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 三、解答题 15．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式并结合等差数列的定义即可证明求解； （2）分别讨论为奇偶数并利用分组并项求和，从而可求解. 【详解】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 16．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证. （2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解. 【详解】（1）依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以 . 17．（25-26高二上·吉林四平·月考）在数列中，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用等差数列的定义即可证明； (2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以数列是公差为1的等差数列. （2）因为数列是公差为1的等差数列，，所以， 所以于是     设数列的前项和为， 则. 18．（24-25高二下·甘肃定西·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差后，根据题目所给条件列出方程即可求出，进而得解； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. （2）由， 得 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第27讲：等差数列及其前N项和】 总览 题型梳理 一、核心定义与基本概念 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示（）. 数学表达式：（，为常数），或（，为常数）. 关键提醒：定义是判定等差数列的根本依据，需注意“从第2项起”“同一常数”两个核心条件，缺一不可. 2.等差中项 若三个数成等差数列，则叫做与的等差中项，且满足. 推广：在等差数列中，任意连续三项满足（），即任意一项（除首项和末项）都是其前后两项的等差中项. 二、核心公式（必背） 1.通项公式 基础形式：（其中为首项，为公差，为项数）. 推广形式：（），此公式可快速实现等差数列中任意两项的转化，无需借助首项. 名师速记：通项公式本质是一次函数形式，可记为，其中斜率为公差，截距为. 2.前n项和公式 形式一（已知首项和公差）：. 形式二（已知首项和末项）：（核心思路：“倒序相加法”推导，体现等差数列“对称项之和相等”的本质）. 推广形式：（其中，），即等差数列前n项和是关于的二次函数，且不含常数项；反之，若一个数列的前n项和为（），则该数列不是等差数列（首项除外）. 三、重要性质（解题高频） 1.项的性质 若（），则. 特殊情形：若（），则（即对称项之和等于中间项的2倍，与等差中项性质一致）. 易错点：若，则，需注意等式两边项数必须相等. 2.子数列性质 若将等差数列中的项按一定间隔抽取，如（），则所得子数列仍为等差数列，公差为. 示例：等差数列的奇数项（）构成公差为的等差数列；偶数项（）也构成公差为的等差数列. 3.前n项和的性质 （1）若为等差数列的前n项和，则数列（）仍为等差数列，公差为. （2）数列为等差数列，其公差为（可由推导得出）. （3）奇数项和与偶数项和的关系： 若数列共有项（奇数项），则，，且（核心结论，高频考点）； 若数列共有项（偶数项），则，. 4.跨数列性质 若和均为等差数列，前n项和分别为和，则： （1）（为常数）仍为等差数列，公差为（分别为两数列的公差）； （2）（核心秒杀结论，可快速解决“已知前n项和之比求通项之比”的问题）. 四、等差数列的判定与证明（大题核心） 判定一个数列是否为等差数列，需严格遵循以下方法，其中前两种为“证明方法”（可用于大题证明），后两种为“判断方法”（仅用于小题快速判断，不可直接作为证明依据）. 1.定义法（最根本） 证明：对任意，（为常数）；或对任意，（为常数）. 2.等差中项法 证明：对任意，；或对任意，. 3.通项公式法（判断） 若数列的通项公式可表示为（为常数），则该数列为等差数列，且公差. 4.前n项和公式法（判断） 若数列的前n项和可表示为（为常数，且），则该数列为等差数列，且公差，首项. 五、常考结论与秒杀技巧（名师总结） 1.前n项和的最值结论 等差数列前n项和的最值由首项和公差的符号共同决定，核心思路是找到“正负项分界点”，具体结论如下： 当时，数列前n项为正，后续项为负，前n项和有最大值，此时最大值出现在最后一个正项（或零项）对应的项数n处.求解n的方法：解不等式组，找到满足条件的正整数n； 当时，数列前n项为负，后续项为正，前n项和有最小值，此时最小值出现在最后一个负项（或零项）对应的项数n处.求解n的方法：解不等式组，找到满足条件的正整数n； 特殊情形：若，数列为常数列，若，则无最大值（随n增大而增大），有最小值；若，则无最小值（随n增大而减小），有最大值. 秒杀技巧：若，可直接利用二次函数最值公式求解，当时，取得最值.若为整数，则该n对应的即为最值；若不为整数，则取其左右相邻的正整数n，对应的两个相等且为最值. 2.通项与前n项和的关系结论 对任意等差数列，其通项与前n项和满足： （1）； （2）（）. 易错提醒：利用求解通项时，必须验证时是否满足该式，若满足则通项公式统一；若不满足，则需分段表示（）. 3.公差相关秒杀结论 （1）若等差数列中，（），则，公差； （2）若等差数列中，（），则，公差； （3）等差数列的公差（），可由通项公式推广形式变形得出，适用于已知任意两项快速求公差. 4.其他常考结论 （1）若等差数列和的前n项和之比为，则（由推导得出，高频考点）； （2）在等差数列中，若项数为，则（为奇数），（为偶数）； （3）若等差数列的前n项和为，则，该结论可快速关联前n项和与中间项，简化计算. 六、易错点警示（避坑指南） 混淆“等差数列的前n项和公式”与“一般二次函数”：等差数列前n项和无常数项，若含常数项则不是等差数列（首项除外）； 滥用项的性质：需注意是的充分不必要条件，且等式两边项数必须相等，不可随意拓展； 求前n项和最值时忽略“零项”：当数列中存在零项时，零项对应的前n项和与相邻项的前n项和相等，均为最值； 证明等差数列时直接使用“通项公式法”或“前n项和公式法”：这两种方法仅适用于判断，大题证明需严格使用“定义法”或“等差中项法”； 计算公差时忽略项数差的符号：中，分子分母的项数差与项的差需对应，不可颠倒顺序. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：等差数列基本量的求解】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列中1-2个条件（如首项、公差、项数、某项、前n项和），求其他未知量；或已知条件可转化为基本量的等量关系（如“”“”）. 二、核心解题思路 “基本量法”是万能解法：以和为核心未知量，将所有已知条件转化为关于和的方程组，求解后代入通项公式或前n项和公式得未知量. 三、步骤拆解 1.识别条件类型：判断已知条件是“项的关系”还是“前n项和的关系”； 2.列方程/方程组： 若涉及项：用通项公式转化条件（如）； 若涉及前n项和：用前n项和公式或转化条件（如）； 3.求解方程组：得到和的值； 4.求目标量：将和代入对应公式，计算未知的、或. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若已知和，可先用快速求公差，再求，减少计算量；若已知且n为奇数，可优先用（中间项性质）简化计算. 易错点：①公式记忆错误（如将前n项和公式分母的“2”遗漏）；②项数计算错误（如“第n项”与“前n项”混淆）；③求解方程组时计算失误，建议分步验算. （2025·湖南长沙·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）经典例题例题 A．4 B．6 C．8 D．10 【多选题】（2025·江苏·模拟预测）记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ）小试牛刀1 A． B．成等比数列 C．没有最小值 D． 【多选题】（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ．小试牛刀3 【题型2：等差数列的判定与证明】 【解题策略】 一、题型特征 题目明确要求“证明数列是等差数列”；或给出数列的递推关系（如、）、前n项和公式（如），判断数列是否为等差数列. 二、核心解题思路 证明题（大题）：严格遵循“定义法”或“等差中项法”，这是高考评分标准认可的唯一两种证明方法；判断题（小题）：可灵活用“通项公式法”或“前n项和公式法”快速判断. 三、分题型步骤拆解 （一）证明题（大题必用） 1.方法一：定义法（最根本） 步骤1：写出（或，需注明）； 步骤2：化简，证明其结果为常数（与n无关）； 步骤3：下结论：∵（常数），∴数列是首项为、公差为d的等差数列. 2.方法二：等差中项法 步骤1：写出和（需注明）； 步骤2：化简证明； 步骤3：下结论：∵对任意，，∴数列是等差数列. （二）判断题（小题专用） 1.方法一：通项公式法：若数列通项可表示为（p、q为常数），则为等差数列（公差d=p）； 2.方法二：前n项和公式法：若数列前n项和可表示为（A、B为常数，无常数项），则为等差数列（公差d=2A）； 3.方法三：递推关系法：若递推式为或，则为等差数列. 四、名师技巧与易错提醒 核心易错点：①大题证明时误用“通项公式法”或“前n项和公式法”，高考评分时会扣分，必须用定义法或等差中项法；②用定义法证明时，未注明“n≥2”（针对），逻辑不严谨；③由（C≠0）判断时，误将其当作等差数列，忽略“无常数项”条件（此时仅n≥2时为等差数列）. （2021·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.经典例题例题 （2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.小试牛刀1 (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. （2025·广西北海·模拟预测）已知数列满足，且．小试牛刀2 (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：． （2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，．小试牛刀3 (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【题型3：等差数列项的性质】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列中若干项的和或关系（如“”“”“”），求某一项的值或其他项的关系. 二、核心解题思路 优先利用“等差数列项的性质”简化计算，而非直接用基本量法（减少未知数个数）：核心性质为“若（），则；若，则（等差中项）”. 三、步骤拆解 1.分析项的下标关系：观察已知条件中各项的下标，判断是否满足“和相等”（）或“和为偶数”（）； 2.应用性质转化条件： 若下标和相等：将多项和转化为两项和或单项（如，则）； 若给出等式关系：利用性质将等式两边转化为同结构的项（如，则）； 3.求解目标量：根据转化后的简单等式，直接求出某一项的值（如）； 4.验证（可选）：若性质应用不熟练，可先用基本量法验证结果，确保正确. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：遇到“连续奇数项的和”（如下标为2,5,8，公差为3），可优先观察下标是否成等差数列，若成等差数列，则对应项也成等差数列，中间项为这几项的等差中项（如成等差数列，为中间项，故和为）. 易错点：①误用性质：若下标和不相等（如），则，必须保证等式两边项数相同；②下标计算错误（如将误算为，正确应为），牢记“下标和相等，项的和相等”，而非“下标和等于项的下标”. （2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ）经典例题例题 A．670 B．675 C．2025 D．4050 （25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ）小试牛刀1 A．550 B．450 C．1100 D．900 （2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 .小试牛刀2 （2025·安徽·三模）已知等差数列的前n项和为，，若，，则 ．小试牛刀3 【题型4：等差数列前N项和的片段和的性质】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列前m项和、前2m项和，求前3m项和；或已知、，求等片段和关系；或给出片段和的比例，求其他量. 二、核心解题思路 利用“等差数列前n项和的片段和性质”：若为等差数列的前n项和，则仍为等差数列，且公差为（d为原数列公差）。核心等式：（等差中项性质）. 三、步骤拆解 1.识别片段和：明确题目中的片段和（如是第1个片段和，是第2个片段和，是第3个片段和）； 2.应用片段和性质：根据“片段和成等差数列”，列出等差中项等式（如求，则）； 3.求解目标片段和：整理等式，代入已知条件计算（如）； 4.拓展计算（若需要）：若题目求其他量（如原数列的d、），可结合前n项和公式，用片段和的公差求解（如，可解出d）. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：片段和的公差是原数列公差的倍，若已知两个片段和，可直接用快速求原数列公差d；若题目中m为具体数值（如m=3），可直接代入性质公式，无需推导. 易错点：①混淆片段和的公差与原数列公差（片段和公差是，而非d）；②片段和的项数错误（必须是“连续m项的和”，如，而非）；③代入数值时计算失误，建议先化简等式再代入（如，直接代入和的值）. （24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 .经典例题例题 （2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，则（    ）小试牛刀1 A．12 B．14 C．16 D．18 （2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则 ．小试牛刀2 （24-25高二下·江西上饶·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ）小试牛刀3 A．36 B．48 C．60 D．120 【题型5：两个等差数列前N项和的比的问题】 【解题策略】 一、题型特征 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且给出的表达式（如），求（某两项的比）或其他相关比值. 二、核心解题思路 利用“两个等差数列通项比与前n项和比的核心关系”：。推导逻辑：（前2k-1项和=中间项×项数），同理，两式相比即得结论. 三、步骤拆解 1.明确目标：题目要求的是（k为具体数值，如k=5）； 2.应用核心关系：将转化为（如k=5，则转化为）； 3.代入前n项和的比的表达式：将n=2k-1代入已知的中（如）； 4.得出结果：，即所求比值. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若题目要求（m≠n），可先分别用和求出和，再求比值；若已知，反向求，可设，，简化计算. 易错点：①记错核心关系，将误写为（正确应为）；②代入n的值错误（如k=5时，n应为9，而非5）；③忽略“两个数列均为等差数列”的前提，直接套用公式（非等差数列不满足此性质）. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·黑龙江鸡西·月考）设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（      ）小试牛刀2 A． B． C．1 D． （2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．28 D． 【题型6：等差数列前N项和与n的比为等差数列】 【解题策略】 一、题型特征 题目给出“数列是等差数列”，或需要证明“是等差数列”；或已知的某些条件（如首项、公差、某一项的值），求原数列的、d或. 二、核心解题思路 利用“的通项公式与等差数列的关系”：由（等差数列前n项和特征），可得，即是首项为、公差为的等差数列。证明时可直接用定义法（证明为常数）. 三、步骤拆解 （一）证明“是等差数列” 1.写出； 2.代入和，化简： 3.下结论：∵（常数），∴是等差数列. （二）已知“是等差数列”，求原数列量 1.设（p、q为常数，等差数列通项形式）； 2.由已知条件（如首项、某一项的值）列方程，求出p和q： 首项：； 某一项：如，则； 3.求：； 4.求原数列的和d：，（由中推导）. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若已知的公差为，则原数列的公差，可直接关联两个数列的公差，无需复杂计算；证明时可直接利用前n项和的二次函数特征，快速得出的一次函数形式，即等差数列. 易错点：①混淆的公差与原数列的公差（前者是，后者是d）；②证明时未化简到位，直接给出结论；③由求时，忘记验证n=1的情况（实际，n≥2，且n=1时满足，可统一通项）. （23-24高三上·河南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2023·湖南郴州·一模）设数列满足且是前项和，且，则（    ）小试牛刀1 A．2024 B．2023 C．1012 D．1011 （2024高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则 .小试牛刀2 （2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ）小试牛刀3 A．49 B．50 C．51 D．52 【题型7：等差数列的前N项和最值问题】 【解题策略】 一、题型特征 求等差数列前n项和的最大值或最小值；或已知有最值，求参数范围（如公差d的范围）. 二、核心解题思路 两种主流方法：①“临界项法”（最直观）：找到数列中“正负项的分界点”，即最后一个正项（或负项）对应的n，此时取得最值；②“二次函数法”（最快捷）：利用的二次函数特征，结合二次函数最值公式求解（注意n为正整数）. 三、步骤拆解 （一）方法一：临界项法（推荐用于已知和d的情况） 1.判断公差符号： 若：数列递减，前n项和有最大值，需找最后一个非负项（且）； 若：数列递增，前n项和有最小值，需找最后一个非正项（且）； 2.列不等式组：根据上述判断，列出关于n的不等式组（如求最大值：）； 3.求解不等式组：得到n的取值范围（如）； 4.求最值：n为正整数，将n代入公式，得到最大值或最小值（若n为区间内两个整数，如5和6，则，均为最值）. （二）方法二：二次函数法（推荐用于已知表达式的情况） 1.写出的二次函数形式：（A、B为常数）； 2.判断二次函数开口方向： 若（即d=2A>0）：开口向上，有最小值； 若A<0（即d=2A<0）：开口向下，有最大值； 3.求对称轴：二次函数对称轴为； 4.求最值： 若为正整数：则当时，取得最值； 若不是正整数：取其左右相邻的正整数n，对应的两个相等且为最值. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：若数列中有零项（），则，均为最值；若已知，则当n=k或n=k-1时，取得最值（如，则为最值）。 易错点：①忽略n为正整数的条件，直接用二次函数对称轴的非整数解求最值；②判断最值类型错误（如时误求最小值）；③临界项不等式方向错误（如求最大值时写成）；④忘记零项的情况，导致漏解（如时，只求出，遗漏）. （23-24高二上·甘肃兰州·期末）设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ）经典例题例题 A．6 B．7 C．6或7 D．8 （25-26高二上·江苏·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ）小试牛刀2 A．，或， B．， C．， D．， （23-24高三上·山东青岛·期末）是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（    ）小试牛刀3 A．7 B．6 C．5 D．4 【题型8：绝对值的等差数列求和问题+奇偶】 【解题策略】 一、题型特征 已知等差数列，求数列的前n项和（如“求”）. 二、核心解题思路 绝对值求和的关键是“去掉绝对值符号”，而绝对值符号的正负由原等差数列的项的正负决定，因此需先找到原数列的“正负项分界点”（即临界项n=k，使得且，或反之），再分情况讨论求和：①当n≤k时，，；②当n>k时，，（前k项和的2倍减去前n项和，抵消负项的影响）. 三、步骤拆解 1.判断原数列的单调性与正负项分布： 求公差d，判断数列是递增（d>0）还是递减（d<0）； 找到临界项k：解不等式组（递减数列，先正后负）或（递增数列，先负后正），得到k的值（正整数）； 2.分情况求： 情况1：当n≤k时，所有（或，根据递增/递减调整），则（或）； 情况2：当n>k时，前k项的绝对值为其本身（或相反数），第k+1项到第n项的绝对值为其相反数（或本身），则： 若原数列先正后负（d<0）：；若原数列先负后正（d>0）：； 3.整合结果：写出分段形式的（注明n的取值范围）. 四、名师技巧与易错提醒 秒杀技巧：临界项k的求解可直接用（向下取整），如，则（验证，实际k=4，需微调，此技巧可快速锁定大致范围）；求和时牢记“先正后负用，先负后正用”，无需重复推导。 易错点：①未找到临界项直接求和，导致符号错误；②临界项k的判断错误（如将递增数列的先负后正误判为先正后负）；③分情况求和时公式记错（如先正后负时误写为）；④忽略n=k时的情况（n=k时两种情况的结果应一致，可用于验证）；⑤计算或时出错，建议分步计算并验算. （24-25高二上·河北张家口·期末）已知为等差数列的前项和，若.经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和. （24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，.小试牛刀1 (1)求和； (2)求的前项和. （24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.小试牛刀2 (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. （24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若．小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 4．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C．4 D．5 5．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（    ） A．15 B． C． D． 7．（24-25高二下·重庆·月考）等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 二、填空题 9．（25-26高二上·浙江·期末）设为等差数列的前项和若，，则 10．（25-26高二上·江苏·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 11．（24-25高二下·四川南充·期末）若等差数列的前项和为，且，则 . 12．（24-25高二上·江苏泰州·期末）设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 13．（24-25高二下·江西·月考）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 14．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 三、解答题 15．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 16．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 17．（25-26高二上·吉林四平·月考）在数列中，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 18．（24-25高二下·甘肃定西·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $