精品解析：河南省TOP二十名校2026届高三上学期调研考试二数学试题

2026届高三年级TOP二十名校调研考试二 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则在复平面内，对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数的值域为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 不等式的解集为（ ） A. {且} B. {或} C. D. 6. 设，且，则 （ ） A. B. C. D. 7. 记抛物线的焦点为，为上一点且满足，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点满足，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有2个极值点 B. 有3个零点 C. D. 曲线在点处的切线过点 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （ ） A. 当时，直线与所成角的正弦值为 B. 当时，直线与所成角的正弦值为 C. 当时，平面与所成角的余弦值为 D. 当时，平面与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列中，，则______. 13. 已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为______________. 14. 已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，设内角的对边分别为，满足的面积为. （1）求； （2）若，求的外接圆的面积. 16. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前项和 17. 在三棱锥中，，平面平面. （1）证明：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 18. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 19. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，切线与轴平行，求的值； （2）若在处取得极大值，求的取值范围； （3）过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级TOP二十名校调研考试二 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，再根据交集运算求解. 【详解】因为，若，则， 若，则，若，则， 所以，又， . 故选：B. 2. 设，则在复平面内，对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算法则化简复数，即可根据复数的几何意义求解. 【详解】显然，故，其对应的点位于第四象限， 故选:D 3. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意可得圆与圆的圆心分别为，半径分别为， 因为，所以， 所以两圆相交，其公切线条数为2， 故选：B. 4. 已知函数的值域为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】结合，利用指数函数的单调性求得的值域为，结合题意即可得解. 【详解】由和是增函数可知， 所以的值域为，所以，可得. 故选：D. 5. 不等式的解集为（ ） A. {且} B. {或} C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母中绝对值的性质进行分类讨论，然后分别求解不等式即可. 【详解】当时，， 不等式，，解得，取交集，得. 当时，， 不等式，，解得，取交集，得. 当时，分式无意义. 综上所述，不等式的解集为{或}. 故选：. 6. 设，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可得或，再由求解. 【详解】由诱导公式有， 故或， 解得或， 由于，当时，无整数满足条件； 当时，令，可得满足条件. 故选：B. 7. 记抛物线的焦点为，为上一点且满足，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦半径公式得，构造函数，利用导数法判断单调性，然后利用单调性求得，进而求得，最后利用两点斜率公式求解即可. 【详解】显然，由抛物线定义知， 设函数，，由， 知在上单调递增，而，故， 于是，而 ，，故，， 于是的斜率. 故选：C 8. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点满足，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一，过作与平面平行的截面，转化为点到截面距离的最大值，根据球的截面性质求解即可；法二，建立空间直角坐标系，写出球的方程，设出点的坐标，利用向量法求点竖坐标的取值范围即可得解. 【详解】法一：过作与平面平行的截面，截面直径为，如图， ，取中点，过作平行线交球与， 则点在以为直径的小圆上，当在点时，过作与垂直的直径交球于， 则点在以为直径的大圆运动，当位于点时，到平面距离最大， 设，则，， 所以到距离最大值为， 故选：D 法二：过点作平面的垂线为轴，在平面内作两条互相垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则球的方程为， 因为点到的距离为3，所以设的坐标为，所以， 设的坐标为，则，， 因为，所以，所以， 又由平面向量知识可得， 所以，又因为， 所以，所以， 两边平方得，解得， 所以点到平面距离的最大值为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有2个极值点 B. 有3个零点 C. D. 曲线在点处的切线过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出单调区间及极值点判断A；求出极大值判断B；利用单调性判断C；利用导数的几何意义求出切线方程判断D. 【详解】对于A，，当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，与1为的两个极值点，A正确； 对于B，由选项A得函数的极大值，因此函数最多只有一个零点，B错误； 对于C，由及选项A，得，C正确； 对于D，，曲线在点处的切线方程为， 该切线过点，D正确. 故选：ACD 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和模长公式，即可求解AB，举反例即可求解CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B正确； 对于C，取，则，此时，，故C错误； 对于D，取，则，此时，故D错误， 故选：AB 11. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （ ） A. 当时，直线与所成角的正弦值为 B. 当时，直线与所成角的正弦值为 C. 当时，平面与所成角的余弦值为 D. 当时，平面与所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角公式即可结合选项逐一求解. 【详解】不妨设，直线与所成角为，平面与的夹角为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量，则，即， 令，则， 当时，由得，故，， 设的法向量，则，即， 令，则，， ，故AC正确； 当时，,则，故，， 设的法向量，则，即， 令，则， ,，故BD错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列中，，则______. 【答案】448 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式的基本量运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意得，解得，所以. 故答案为：448 13. 已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出最大值、最小值并建立方程求出，进而求出其最小正周期. 【详解】依题意，，又，则的最大值为，最小值为， 则，解得，， 所以函数的最小正周期. 故答案为： 14. 已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】求得直线的方程，求得两点的坐标，判断出是直角三角形，进而计算出的面积. 【详解】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，设内角的对边分别为，满足的面积为. （1）求； （2）若，求的外接圆的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和面积公式求得的值，即可求得答案； （2）由面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值，根据正弦定理可求外接圆的半径，则外接圆的面积可求. 【小问1详解】 由余弦定理得， 由面积公式得， 两式作比，得， 即，由得. 【小问2详解】 代入，有， 而，得到， 记的外接圆半径为， 由正弦定理得， 故的外接圆的面积为. 16. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用，求解，最后验证是否满足，即可得解. （2）先利用累加法求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，； 当时，， 因为满足上式，所以的通项公式为； 【小问2详解】 因为，且， 所以当时，， 当时，也符合上式，所以， 所以， 所以 . 17. 在三棱锥中，，平面平面. （1）证明：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）作，连接，利用三角形全等得，利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，显然平面的一个法向量，求出平面法向量，利用平面夹角的向量公式列方程求得，即可求解. 【小问1详解】 如图，作，垂足为，连接，由， 可知，故， 由，平面，平面可知平面， 由平面可知，； 【小问2详解】 由，平面平面，平面平面，平面可知平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 又，即， 故可设，则， 于是，则， 于是， 显然平面的一个法向量， 而， 记平面的法向量，则， 即，令，则， 记平面与平面的夹角为，， 即，可得， 于是或. 18. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明如下： 不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即， 易知，直线MB的斜率为， 故直线MB的方程可表示为， 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点． 而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点． 综上，直线MB过定点． （ⅱ）证明如下： 由（ⅰ）可得，所以， 则， 所以有，即是定值． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线方程，根据椭圆的对称性可知定点在轴上，所以令，借助韦达定理去求为定值即可；（ⅱ）利用坐标法去计算斜率，通过韦达定理的应用即可证明定值. 【小问1详解】 记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而， 故，于是E的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，切线与轴平行，求的值； （2）若在处取得极大值，求的取值范围； （3）过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导得，当时，切线与轴平行，即，解得. （2）由（1）知，令，解得或，若在处取得极大值，则左侧，右侧.因为恒成立，令，分情况讨论得出的取值范围. （3）当时，，，由题知过点的直线与垂直，且都与轴相交，则切线，的斜率存在且不为0，所以的斜率，垂直于的切线的斜率，所以，，代入并化简得，讨论得出. 【小问1详解】 已知，求导得 ， 当时，切线与轴平行，即， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，令，解得或. 若在处取得极大值，则左侧，右侧. 因为恒成立，令，则 当时，开口向上，要使左侧，右侧， 则， 当时，只有唯一解，在此处取极小值，不符合题意； 当时，开口向下，要使左侧，右侧， 则需满足， 因为，故，所以显然不成立. 综上，若在处取得极大值，需满足，即. 【小问3详解】 当时，，. 由题知过的切线都与轴相交，交点的横坐标分别是， 则的斜率存在且不为0. 所以切线的斜率，垂直于的切线的斜率. 所以，. 所以 因为， 当时，， 当时，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $