4.1 无理数-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第四章 实数 1无理数 基础夯实 》知识点二非有理数的估算 》知识点一客观世界中存在不是有理数的数 5.已知正数a的平方为37，则a的近似值为 1.已知x2=8,下列说法正确的是 ( ) A.x可能是整数 B.x可能是分数 A.5 B.6 C.x是有理数 D.x不是有理数 C.7 D.8 2.长、宽分别是2,1的长方形，它的对角线长 6.如图，用边长为20的一个大正方形剪拼成两 个小正方形，则与小正方形的边长最接近的 A.是整数 整数是 ) B.是分数 C.既不是分数也不是整数 D.是有理数 3.体积为100的正方体的棱长是 A.10 B.14 C.15 D.20 A.整数 7.轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去 B.分数 的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵 C.有理数 树，一棵高6m,另一棵高2m,两树相距 D.既不是分数也不是整数 6m,一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树 4.如图，在△ABC中，AB=6,BD=5,CD=2, 的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近 计算高AD的平方与边AC的平方分别是多 的是 () 少？AD,AC可能是整数吗？可能是分数 吗？可能是有理数吗？ A.5 m B.6m C.7 m D.8 m 》知识点三无理数 8.下列说法中，正确的是 () A.无限循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 9在下面各数中：-是引，-3.14，号， 0.1010010001…(两个1之间0的个数依 次多1)，+1.99，一了，无理数有 () A.5个B.4个 C.3个 D.2个 68 第四章实数 10.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方 素养培优 形，其中边长是有理数的正方形有个， 15.如图，数轴上从左到右依次有A,B,C,D四 边长是无理数的正方形有 个 个点，A,B之间的距离为a十b,B,C之间 的距离为2a一b,B,D之间的距离为5a+ 2b,将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式 1 2 3 9 放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动. 》易错点对有理数与无理数的定义理解不 透，从而导致分类错误 B 5a+2b 11.把下列各数分别填在相应的大括号内： A a+b 2a-b→0 22 08145，号，0.28,0.31313113… 2 (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好 滚动了n(n为正整数)圈，则a= (相邻两个3之间1的个数逐次加1). (用含n的代数式表示)，a是 .（填 有理数：{ …}； “有理数”或“无理数”) 无理数：{ (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好 到达点B处，求C,D之间的距离.（结果保 能力提升 留x) 12.要制作一只如图所示容积为120cm3的小 玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致 长度在 ) A.4.4~4.6cm之间 B.4.6~4.8cm之间 C.4.8~5.0cm之间 D.5.0~5.2cm之间 13.以线段AB为边画一个边长均为无理数的 直角三角形ABC.(说明：直角三角形的顶 点均为小正方形的顶点) 14.已知面积为15π的圆的半径为x,请回答下 列问题： (1)x是有理数吗？请说明理由， (2)x的整数部分是多少？ (3)把x的值精确到0.1约是多少？ 69所以AB2=AC2+BC2=82+152=289, 所以AB=17. 由折叠的性质，可知△ACP≌△AMP, 所以∠AMP=∠ACP=∠BMP=90°，AM=AC=8, MP=CP=15-2t, 所以BM=17-8=9. 因为∠BMP=90°， 所以BP2=BM+PM,即(2t)2=92+(15-2t)2, 解得t=5.1, 所以将△APC沿直线AP折叠，使得点C的对应点M恰好 落在边AB上，此时t的值为5.1. 点96 7.解：由折叠可知△ADE和△AFE关于直线AE成轴对称， 所以AF=AD,EF=DE. 因为CE=3cm,AB=8cm,所以EF=DE=8-3=5(cm. 在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF=√EF2-CE= √52-32=4(cm). 设BF=xcm,则AF=AD=BC=(x+4)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理， 得AB2+BF2=AF2,即82+x2=(x十4)2，解得x=6. 所以阴影部分的面积为}×6×8+×4X3=30(cm)。 8.解：(1)因为四边形ABCD是长方形， 所以AB=CD,∠C=∠ABC=∠A=∠D=90°， 所以∠ABE+∠EBC=90°. 因为把长方形纸片ABCD沿EF折叠， 所以BC'=CD=AB,∠C=∠C=90°，∠D=∠EBC=90°， 所以∠EBC+∠FBC'=90°， 所以∠ABE=∠FBC'. 在△ABE与△C'BF中， |∠A=∠C'=90°， AB=CB, 所以△ABE≌△C'BF(ASA) ∠ABE=∠C'BF, (2)设AE=x. 根据翻折不变性，得BE=DE=AD一AE=8一x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2, 解得x=3,即AE=3,则BE=5. 因为△ABE≌△C'BF,所以BE=BF=5, 所以Se=2BF·AB=合X5X4=10, 培优专题七利用勾股定理解决 “最短距离”问题 1.解：(1)由题意，得∠ANM=∠BNM=90° 在Rt△MNB中，由勾股定理，得BN2=BMP一MN2= 1502-1202=8100=902, 所以BN=90m,所以AN=AB-BN=250-90=160(m). 在Rt△AMN中，由勾股定理，得AM=AN2+MN 1602+120=40000=200, 所以AM=200m, 所以供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为200十 150=350(m). (2)因为AB=250m,AM=200m,BM=150m, 所以AB2=BM2+AM2, 所以△AMB是直角三角形，∠AMB=90°， 所以BM⊥AC, 所以喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150m. 2.解：当A,C,E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为 AE的长.如图，过点A作AF DE交ED的延长线于点F,则 ∠F=90°，AF=BD=4,DF=AB=2, 所以EF=DF+DE=3, 所以AE2=32十42=25， 所以AE=5, 所以AC+CE的最小值是5. 3.B 4.解：如图，连接BM 因为四边形ABCD是正方形， 所以点B和点D关于直线AC对称， 所以NB=ND, 所以DN+MN=BN+MN, 所以BM就是DN十MN的最小值， B 因为正方形ABCD的边长是8，DM=2, 所以CM=6,BC=8,∠BCM=90°， 所以BM2=82+62=100, 所以BM=10, 所以DN+MN的最小值是10. 5.B6.B7.158.1009.1310.2cm或18cm 章末复习 核心考点练真题 1.D 2.C 3.D 4.5.A 6.C 7.C 8.m 9.B 10.5011.8或2 新中考新考法 1.B2.3.753.x2=(x-2)2+(x-4)2 第四章实数 1无理数 1.D2.C3.D 4.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2= 11.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD2十CD2= 15.AD,AC都不可能是整数，不可能是分数，不可能是有 理数. 5.B6.B7.C8.D9.D10.36 1号08.146，号628 三，a.3313113-(相邻两个3之间1的个数逐次加D 12.C 13.解：如图，△ABC即为所求作.（答案不唯一） 14.解：设圆的面积为S,则S=元x2=15π，所以x2=15. (1)x不是有理数.理由如下： 因为找不到一个有理数的平方为15， 所以x不是有理数，而是无理数. (2)因为9<15<16，所以3<x<4, 所以x的整数部分是3. (3)因为当3<x<4时，9<x2<16; 当3.8<x<3.9时，14.44<x2<15.21; 当3.87<x<3.88时，14.9769<x2<15.0544, 所以把x的值精确到0.1约是3.9. 15.解：(1)因为圆形纸片的直径为1， 所以圆形纸片的周长为元 所以滚动n圈的距离为n元. 因为AC=(a+b)+(2a-b)=3a, 所以3a=n,所以a-, 所以a是无理数. 答案：无理数 (2)因为圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处， 所以有a十b=π， 所以CD=(5a+2b)-(2a-b)=3a+3b=3(a+b)=3π， 答：C,D之间的距离为3元 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 1D2是 3.解：(1)因为122=144， 所以144的算术平方根是12，即√144=12. (2)因为0.72=0.49， 所以0.49的算术平方根是0.7，即√0.49=0.7. 8图为（》--6， 。1 所以6的算术平方根是，即，√6=号 4因为（受）°=()”， 所以(-2)°的算术平方根是，即√一）)-多 4.D5.B6.-37.B 8.解：将g=9.8米/秒2，R=6.4×10米代入v2=√2gR,得 2=V√2×9.8×6.4×10=11200（米/秒）， 所以嫦娥五号的速度不能超过11200米/秒. 9.310.A11.A12.B 13.解：因为a<0<b<c, 所以a-b<0,a-c<0, 所以√b2+|a-b|-√(a-c) =b-(a-b)+(a-c) =b-a+b+a-c =2b-c. 14.解：(1)√900=30. 答：原来正方形区域的边长为30cm. (2)设长方形区域的长为7xcm,则宽为4xcm. 由题意，得7x·4x=700, 解得x=5或x=一5（舍去）， 所以长方形区域的长为35cm,宽为20cm. 因为2×(35+20)=110<30×4=120， 所以铁丝够用. 15.解：(1)因为256的算术平方根是16,16是有理数，所以16 不能输出；因为16的算术平方根是4,4是有理数，所以4 不能输出；因为4的算术平方根是2,2是有理数，所以2 不能输出；因为2的算术平方根是2，√2是无理数，所以输 出2. 答案√2 (2)x=0或x=1.理由如下： 因为0和1的算术平方根是它们本身，0和1都是有理数 所以当x=0和1时，始终输不出y值. (3)因为25的算术平方根是5,5的算术平方根是5， 所以两个满足要求的x值可以是5和25. 答案：5和25（答案不唯一） 16.解：(1)√5X7+1=√36=6，√16×18+1=√289=17. 答案：617 (2)第①个等式：√1X3十I=√4=2，即√1X(1+2)+I =√(1+1)2=1+1； 第②个等式：√2X4+1=√9=3，即√2×(2十2)十I= √(2+1)z=2+1; 第③个等式：√3×5+1=√16=4，即√3X(3+2)十1= √(3+1)2=3+1； 第④个等式：√/4×6+1=√/25=5，即W/4×(4+2)+1= √(4+1)2=4+1； 归纳类推得第@个等式为√n(n+2)+I=√(n+1)严= n+1. 答案：√n(n+2)十1=√(n十1)2=n+1 (3)w1×3+1+√/3X5+1+W/5×7+1+/7X9+1++ √/17×19+1+√/19×21+1 =2+4+6+8+…+(17+1)+(19+1) =2+4+6+8++18+20 =(2+20)+(4+18)+…+(10+12) =22X5 =110. 微专题9算术平方根的小数点移动规律 【典例】解：(1)根据算术平方根的定义， 得x=√0.0I=0.1,y=√100=10. 答案：0.110 (2)①0.245 ②因为√0.0012≈0.03464，√J2m≈34.64， 0.03464的小数点向右移动3位得到34.64， 所以根据表格规律，可知被开方数0.0012的小数点需要向右 移动6位得到2m, 所以0.0012×10=2m, 解得m=600.