4.1 无理数 课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

4.1 无理数 22002 古希腊有一个毕达哥拉斯学派，他们是数学界的权威，在当时他们提出了这样一个理论：万物皆是数，也就是说宇宙间的一切现象都归结为整数或者整数比. 这个理论在全世界都受到了推崇，但这个学派有一名叫希勃索斯的弟子，他在公元前500年，发现了这么一个事实，边长为1的正方形的对角线长既不是整数也不是整数比 设问：那究竟是什么数呢？ 新课导入 22002 任务一 探究不是有理数的数 活动1：请大家先准备两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形. 1 1 1 新课讲授 22002 3 学生可能出现的拼图结果： 新课讲授 22002 问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？ 问题2： a是一个什么样的数？a可能是整数吗？ 因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2. 从“数”的角度： 因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4， 所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故 a 不是整数. 新课讲授 22002 B A C 取出一个三角形 从“形”的角度： 在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系： AC-BC< a<AC+BC 所以0<a<2，且 a≠1，所以a不是整数 新课讲授 22002 问题3： a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流. ① a 是分母为 2 的分数吗？ ② a 是分母为 3 的分数吗？ ③ a 是分母为 4 的分数吗？ ④ a 是分母为多少的分数？ a2 = 2 总结：a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 新课讲授 22002 例1 如图：（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（小正方形边长为1，中正方形边长为2） （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 解：（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积为+＝5； （2）根据三角形的三边关系可得：1＜b＜3； （3）b不是有理数. 典例精析 22002 1.如图，等边三角形的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？是有理数吗？ 解：因为三角形是等边三角形，且AD⊥BC， 所以BD=DC，则BD=AB=1, 根据勾股定理得：3, h不可能是整数；h也不可能是分数，也不是有理数. 练一练 22002 问题1:如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 问题2：a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ 1 a 2 面积为2 活动2：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ 任务二 探究无理数的概念 1＜a＜2 边长a的整数部分是1，十分位是4,百分位是1，千分位是4. 新课讲授 22002 问题3：请同学们借助计算器进行探索 1<S<4 1.96<S<2.25 1.988 1<S<2.016 4 1.999 396<S<2.002 225 1.999 961 64<S<2.000 244 49 新课讲授 22002 还可以继续算下去吗?a可能是有限小数吗? a=1.414 213 56…, 它不可能是一个有限小数. 问题4：估计面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同学进行交流. b=2.236067977···，不可能是有限小数. 新课讲授 22002 活动3 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3， = 0.8 = 0.5 · = 0.18 · · =﹣0.17 · 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 3 = 3.0 无限不循环小数为无理数.如π=3.14159265…， 新课讲授 22002 例2 下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? 3.14， ，0，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解：有理数有：3.14， ，0； 无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 典例精析 22002 1．在下列数：﹣2.5，0，﹣1.121121112…，﹣π中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在数﹣65，3.14，0，﹣π，0.020020002…中，无理数共有　 　个． 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，点P在线段AC上，若BP的长度是个无理数，则BP的长度可以是 　 ．（写出一个即可） B 2 （答案不唯一） 练一练 22002 4.数的分类. 3.判定一个数是无理数还是有理数. 我们知道整数不够用就产生了分数，正数不够用就产生了负数，现在有理数不够用了，就要产生一种新数——无理数 1．在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，既不是有理数的数. 2．无理数在现实生活中是大量存在的. 课堂小结 22002 1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. 2.任何一个有理数都可以化成分数 形式（ p，q 为整数且互质），而无理数不能. 强 调 课堂小结 22002 1．的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 2．下列实数是无理数的是（　　） A．﹣2025 B．π C．3.14159 D． C B 当堂检测 22002 3.以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A.面积为25的正方形； B.面积为 的正方形； C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形. C 4．下列各数中：12，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），其中，无理数有 　 　个． 2 当堂检测 22002 5. 已知直角三角形的两直角边长分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm. (1)估计x在哪两个连续整数之间； 解：根据题意，可得x2＝92＋52＝106. 因为100＜x2＜121， 所以10＜x＜11，即x在整数10与11之间． 当堂检测 22002 20 (2)如果把x的结果精确到0.1，估计x的值；如果精确到 0.01 呢？ 解：因为10.12＝102.01，10.22＝104.04，10.32＝106.09， 所以10.22＜106＜10.32. 因为106－104.04＝1.96，106.09－106＝0.09，0.09<1.96，所以当x精确到0.1时，x≈10.3. 又因为10.292＝105.884 1，10.302＝106.09， 所以10.292＜106＜10.302. 因为106－105.884 1＝0.115 9，0.09<0.115 9， 所以当x精确到0.01时，x≈10.30. 当堂检测 22002 21 $