3.3 第1课时 勾股定理的实际应用(一)-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

2一定是直角三角形吗 1.A2.C3.A4.合格5.86.D7.B8.6810 9.①10.C11.(11,60,61)12.234 13.解：(1)因为D是边BC的中点，E是边AC的中点， CE=6,CD=8, 所以AC=2CE=12,BC=2CD=16. 因为AB=20,所以AB2=AC2+BC2, 所以△ABC是直角三角形，且AB为斜边， 所以∠C=90°. (2)因为E是边AC的中点，AE=6, 所以AC=2AE=12. 在Rt△ACD中，因为∠C=90°，AC=12,AD=13, 所以CD2=AD2-AC2=132-122=5, 所以CD=5. 因为D是边BC的中点，所以BC=2CD=10, 所以△ABC的面积=号AC·BC=号×12X10=60, 14.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： 因为AB=10,AC=8,BC=6, 且62+82=102，所以BC2+AC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形. (2)连接EB,如图.由(1)，得△ABC 是以AB为斜边的直角三角形， 所以∠C=90°. 因为AE=4,ED⊥AB, 所以SAE=2AE·BC= 2AB·DE, 所以DE=4X6_12 105 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AD=AE-DE=P-(得)-爱， 所以AD=16, 所以Se=×号×号-器 5251 所以四边形BCED的面积=SAMc一SADE=2X6X8 96_504 25251 15.解：(1)n2-12mn2+1 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形 理由如下： 因为a=n2-1,b=2m,c=n2+1,所以a2+b2=(n2-1)2+ (2m)2=n4-2m2+1十4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2, c2=(n2+1)2,所以a2十b2=c2, 所以以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 3勾股定理的应用举例 第1课时勾股定理的实际应用（一） 1.C2.153.10 4.解：如图为圆柱的侧面展开图，连接AB,则AB的长度为老 鼠沿圆柱侧面爬行的最短路线长 根据题意，得AC=5m,BC=24×2=12(m). 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=52+122=169, 所以AB=13m, 所以它沿圆柱侧面爬行的最短路线长为13m. 5.解：因为DC⊥AB,CD=50m,BD=130m, 所以BC2=BD2-CD2=1302-502=14400, 所以BC=120m. 又因为AC=30m, 所以AB=AC+BC=30+120=150(m), 所以这段公路的总长度AB为150m. 6.A7.114 8.解：在Rt△ABD中，因为∠ABD=90°， 所以BD2=AD2-AB2=92-62=45. 在△BCD中，因为BC2+CD2=32+62=45, 所以BC2+CD2=BD2, 所以∠BCD=90°， 所以BC⊥CD. 故该车符合安全标准。 9.解：将长方形ACDF与长方形FDBG在同一平面上展开， 如图1，连接AB. 在Rt△ACB中，根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=122+(5+9)2=340. 将长方形ACDF与长方形DCEB在同一平面上展开，如图 2,连接AB. 在Rt△AEB中，根据勾股定理，得 AB2=BE2+AE2=52+(12+9)2=466. 将长方形AHGF与长方形FDBG在同一平面上展开，如图 3,连接AB. 在Rt△ADB中，根据勾股定理，得 AB2=AD2+BD2=(5+12)2+92=370. 因为340<370<466， 所以点A到点B的表面最短距离是如图1所示的情况. 此时AB≈18cm. 故点A到点B的表面最短距离约为18cm B 图1 图2 图3 说明：将立体图形在同一平面上展开时，需分情况讨论， 般确定最长边为一直角边，余下两边的和作为另一条直角 边，求出的斜边才是最短距离」 10.A11.C12.5 13.解：如图，过点B作BD LAC,交AC B 北 的延长线于点D, 则AD=4一1+3=6(km), BD=4.5+3.5=8(km). 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 3.5 AB2=AD2+BD2=62+82=102, A ---D 所以AB=10km, 所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是10km. 14.解：(1)如图，连接AB,作AB的垂直平分线与OA交于点 C,与AB交于点D,则点C即为所求 B (2)如图，连接BC.由作图可得CD为AB的垂直平分线， 所以CB=CA, 所以OC=36-CA=36-CB. 因为OA⊥OB,所以在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2, 即122+(36一BC)2=BC2,解得BC=20海里， 所以我国海监船的航程BC的长为20海里. 第2课时勾股定理的实际应用（二） 1.C2.C3.A4.84 5.解：(1)在Rt△ABC中，因为∠C=90°，AC=120m,AB= 200m, 所以BC2=AB2-AC2=2002-1202=25600, 所以BC=160m. (2)小汽车超速行驶了.理由如下： 小汽车的速度为0=160 8 =20m/s=20X3.6km/h= 72 km/h. 因为72>70，所以小汽车超速了， 6.解：(1)如图，由题意，得AB=25m,BE A 7m,∠E=90°. 在Rt△AEB中，由勾股定理，得AE2= AB2-BE2=252-72=576, 所以AE=24m. 答：此时梯子顶端离地面24m. (2)因为梯子下滑了4m,所以梯子距离地面的高度CE 24-4=20(m).因为∠E=90°，CD=25m, 所以由勾股定理，得DE2=CD2一CE2=252-202=225, 所以DE=15m, 所以DB=15一7=8(m) 答：梯子底端将向左滑动8m. 7.解：(1)由题意，得DE=1.6米， 在Rt△CDB中，由勾股定理，得 CD2=BC2-BD2=172-82=225=15, 所以CD=15米， 所以CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米) 答：风筝的高度CE为16.6米. (2)如图，设风筝下降至点M处，连接BM. 由题意，得CM=9米，所以DM=6米. 在Rt△BDM中，由勾股定理， 得BM2=BD2+DM2=82+62=100=102, 所以BM=10米，所以BC一BM=7米， D 所以他应该往回收线7米. A 8.B9.9 10.解：(1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90° (2)海港C受台风影响. 理由：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D. 因为△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， 所以AC·BC=CD·AB, 所以300×400=500×CD,所以CD=240km. 因为以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， 所以海港C受台风影响。 AE D F B (3)由题意，得EC=250km,F℃=250km时，正好影响海 港C. 如图，在Rt△CDE中，因为∠CDE=90°，CD=240km, CE=250km,所以ED2=EC2-CD2=4900,所以ED= 70km,同理可得DF=70km,所以EF=140km 因为140÷20=7(h), 所以台风影响该海港持续的时间为7h 11.解：(1)CH是从旅游地C到河边的最近的路线. 理由：在△CHB中，因为CH+BH=42+32=25, BC2=25,所以CH2+BH2=BC2, 所以△HBC是直角三角形，且∠CHB=90°， 所以CH⊥AB, 所以CH是从旅游地C到河边的最近的路线： (2)设AC=AB=x千米，则AH=(x-3)千米. 因为CH⊥AB,所以∠AHC=90°. 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=AH+CH, 即x2=(x-3)2+4, 25 解这个方程，得x=6, 所以原来的路线AC的长为百干米。 培优专题六折叠问题中的勾股定理应用 1.C2.A3.7.5 4.解：(1)由题意，得BP=2t,t=4.5, 所以PC=15-2t=15-2×4.5=6. 在Rt△APC中，因为AC=8,∠ACP=90°， 所以AP2=AC2+PC2=82+62=100, 所以AP=10, 所以AP的长为10. (2)由题意，得BP=2t. 在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，AC=8,BC=15,练测考七年级数学上册LJ 3 勾股定理的应用举例 第1课时 勾股定理的实际应用（一） 基础夯实 5.如图，AB是一段笔直的公路，由于某些原因 》知识点一勾股定理的实际应用（一） 限制，公路上的AC段行人可直接到达，BC 1.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东 段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路 60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别 的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点 是3m/s和4m/s,则10s后他们之间的距 D,经测量得知，DC⊥AB于点C,AC= 离为 () 30m,CD=50m,BD=130m,请你求出这 A.30mB.40m C.50m D.60m 段公路的总长度AB. 北 60° P 309 第1题图 第2题图 2.如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池 可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而 成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半 圆，其边缘AB=CD=16,点E在CD上，CE= 4.一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行 》知识点二勾股定理逆定理的实际应用 的最短路程约为 (π取3). 6.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中 3.如图是一个棱长为6的正方 的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零 体木箱，点Q在上底面的棱 件各边尺寸标注在图中，由此可知() 上，AQ=2,一只蚂蚁从点P A.仅∠A符合要求 出发沿木箱表面爬行到点Q, B.仅∠BDC符合要求 则蚂蚁爬行的最短路程是 C.∠A和∠BDC都符合要求 4.有一圆柱形油罐，底面圆的周长为24m,高 D.∠A和∠BDC都不符合要求 为5m,一只老鼠从圆柱形油罐的底端A处 D 爬行到对角B处吃食物.求它沿圆柱侧面爬 8 A 行的最短路线长 住宅 3 道 B B街道 第6题图 第7题图 7.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努 力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴 影部分).如图，已知AB=9m,BC=12m, CD=17m,AD=8m,技术人员通过测量确 定了∠ABC=90°.则这片绿化地的面积是 m2. 56 第三章勾股定理 8.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示 能力提升 意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测得 10.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽 AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm, 和高分别等于5cm、3cm和1cm,A和B 中AB与BD之间由一个含90固定角的零件连 是这个台阶的两个相对的端点，点A处有 接（即∠ABD=90),通过计算说明该车是否 一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物.请你 符合安全标准。 想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面 爬到点B,最短路线长为 () 图1 图2 A.13 cm B.12 cm C.10 cm D.9 cm 11.桌面上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为 12cm,底面周长为32cm,在杯口内壁离杯 口距离4cm的A处有一滴蜜糖，一只小虫在 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面 4cm的B处时，突然发现了蜜糖，则小虫至少 爬 cm才能到达蜜糖所在的位置 》易错点将长方体展开时，忽视其展开方式 不唯一 9.如图，有一个长方体纸盒，若长方体纸盒的长 为12cm,宽为9cm,高为5cm,求点A到点B 的表面最短距离.（结果精确到1cm.参考数 A.16 B.18 据：21.59≈466,18.44≈340,19.242≈370) C.20 D.25 12.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直 立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而 上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？大意 是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，则该 圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤 自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好 到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 丈.（一丈=十尺） 57 练测考七年级数学上册L小 13.如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先 素养培优 往东走4km,又往北走3.5km,遇到障碍后 14.如图，我国海监船在钓鱼岛海域巡航，OA⊥ 又往西走1km,再转向北走到4.5km处往 OB,OA=36海里，OB=12海里，我国海监 东一拐，仅走3km就找到了宝藏.问登陆点 船在点B处发现，有一不明国籍的渔船自 A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？ A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所 北1 在地点O处，我国海监船立即从B处出发 4.5, 以相同的速度沿某直线去拦截这渔船，结 果在点C处截住了渔船. (1)请用直尺和圆规作出C处的位置.（不写 3.5 作法，保留作图痕迹) 4 (2)求我国海监船的航程BC的长。 58