3.3勾股定理的应用举例（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

3.3 勾股定理的应用举例 第三章 勾股定理 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握在立体图形中求“最短距离”的问题. 会根据勾股定理的逆定理解决实际问题. 利用数学中的建模思想构造直角三角形解决实际问题. 什么是勾股定理? 知识回顾 判断三角形是直角三角形的方法有哪些? 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 1.利用角：求出一个角等于90°或两个内角互余； 2.利用边：求出两条边的平方和等于第三条边的平方. 如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm. 在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 新课导入 可以画自己做一个圆柱，画出几条路线试一试！ 新知探究 这条曲线怎么求呢？ 12 18 路程=12+9=21 路程=12+≈17.7 沿着直径走 能不能展开量呢？ 新知探究 想一想，为什么B点在这个位置？ A B B A 两点之间，线段最短，所以最短 距离应该是AB的长度. 12 9 ∵AB2=122+92 ∴AB=15(cm) ∴蚂蚁爬行的最短路程是15cm. 立体图形中求最短距离： 立体图形 平面图形 新知探究 李叔叔想要检测雕塑（如图 ）底座正面的边 AD和边 BC 是否分别垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺．你能替他想办法完成任务吗？ 连接AC和BD，利用卷尺量出AB、AD、BC 的长度，判断AB2+AD2 与BD2 的大小关系. 新知探究 李叔叔量得边 AD 长是 30 cm，边 AB 长是 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm．边 AD 垂直于边 AB 吗？ 解：∵ AD = 30 cm, AB =cm， BD =50cm ∴AB2+AD2 =BD2 ∴ AD ⊥AB 若卷尺的长度不够， 还能判断吗？ 分别取两条线段的一部分，构造三角形测量边长，进行判断. 典例1.求立体图形中的最短距离问题 典例分析 解题思路 将立体图形展开成平面图形 构造直角三角形 利用勾股定理求边长 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为 8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点 A 爬到盒顶的点 B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 解 析 本题中，长方体的展开图有两种形式： 向上展开和向右展开，分别两种展 开图形求出的最短距离. 典例分析 解：如图1所示， AB2=82 +202 =464（cm2） 如图2所示， AB2=122 +162 =400（cm2） ∵464＞400，∴蚂蚁爬行的最短距离是20cm. A 12 B 8 8 图1 A 12 B 8 8 图2 注意分情况讨论哦！ 变式训练 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三 尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是 如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到 达点 处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 展开图中有几个长方形呢？ A B 绕一周： A B 绕五周： 变式训练 解：如图所示，线段AB 的长度即为最短长度. 由题意可知，AC=3×5=15（尺） ∴AB2= ， ∴AB=25，即葛藤的最短长度为25尺. A B 蔓藤绕树问题求最短长度: 蔓藤绕树n周，三角形底边长度=周长的n倍 C 典例2.利用勾股定理求杆长问题 典例分析 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题 的意思是：如图 ，有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形.在水池 正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺. 如果把这根芦苇沿与一边垂直 的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面. 这个水池的水深和这 根芦苇的长度各是多少？ 解 析 本题中要找到直角三角形中OA和OB之间 的关系.芦苇在拉动的过程中长度没有变化， OC=OB,∴OA=OC-1=OB-1. 芦苇在拉动的过程中长度有变化吗？ 典例分析 解：设水深OA为x尺，则芦苇长OB=OC=x+1（尺）. ∵水池水面BD长为10尺，∴AB=BD=5（尺）. 在Rt△OAB中，根据勾股定理，有OA2+AB2=OB2， 即x2+52=（x+1）2.解得 x = 12. OC=12+1=13（尺）. ∴水池的水深 12 尺，芦苇长 13 尺. 总结：在求杆（梯子）的长度类型题中， 要注意杆（梯子）的长度始终保持不变！ 变式训练 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索 的长度为5米，若木马 从点运行到 点，上升的高度为1米，且绳索保持拉直的状态，求此时 木马沿水平方向向前推进的距离. B C A F 实际问题 勾股定理解决问题 建模 数学问题 （米）. 在 中， , 米. 答：此时木马沿水平方向向前推进的距离为3米. B C A F 典例分析 典例3 卡车能否通过隧道问题 如图 ，某隧道的截面是一个半径为 4.2 m的半圆形，一辆高 3.6 m、宽 3 m 的卡车能通过该隧道吗？ 截面示意图 解 析 如图是卡车从隧道的正中间通过时，截面的示意图. 长方形ABCD表示卡车，车宽AB=3m，车高BC=3.6m， AB的中点恰好是隧道截面半圆的圆心.通过比较OC的长 与半圆的半径r的大小即可. 典例分析 解：如图所示，长方形 ABCD 是卡车横截面的示意图， AB 的中点 O 是隧道的截面半圆的圆心. OB =×3=1.5（m），BC = 3.6（m），∠B = 90°. 在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，有OC2 = OB2 + BC2， 即 OC2 = 1.52 + 3.62 = 15.21. ∵隧道的截面半径 r = 4.2 m，4.22 = 17.64 > 15.21. ∴卡车可以沿着隧道中间顺利通过. 课堂练习 构造直角三角形是解决此类问题的法宝！ 1.将一个边长为 4 的正方形截去一个角，剩下的四边形如图所示. 求这个四边形的周长. F . 在 中， , 5, 四边形的周长=AB+BC+EC+AE=4+4+5+1=22. 课堂练习 2.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险. 某日早晨8:00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走. 1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走. 上午10:00，甲、乙二人相距多远？ 解：根据题意，可知点A是甲、乙的出发点， 10:00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）, 乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）. 在Rt△ABC中， BC2=AC2+AB2=52+122=169=132， 所以BC=13千米. 即甲、乙二人相距13千米. 方向角类型题中， 判断直角是解题的核心哦！ 课堂练习 3.小英想用一条 36 cm 米长的绳子围成一个直角三角形，其中一条边 的长度为 12 cm，求另外两条边的长度. 解：如图所示，由题意可知：36cm是三角形的周长， 直角三角形的一条直角边为12cm ； 设另一条直角边为xcm，则斜边为（36-12-x）cm . 由勾股定理得：（36-12-x）2 = 122 + x2，解得x=9. ∴另外两条边分别为9cm和15cm. 36cm 12cm 这是三角形的什么呢？ 课堂练习 4.如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m.若斜靠在墙上， 当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐. 求梯 子的长度. 解：设梯子的长度为x m，则窗户的高度为x-1（m）. 在直角三角形中，根据勾股定理， 可得：x2=（x-1）2+42.解得 x = . ∴梯子的长度为 m. 梯子在斜靠或直立过程中，长度始终不变！ 课堂练习 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=90˚，AB=4cm，AD=2cm，BC=CD，E是AB 上的一点. 若沿CE折叠，则B，D两点重合，求△AED的面积. 折叠可以得到哪些隐含的条件呢？ 解 析 沿CE折叠，B，D两点重合,可以得到 ≌ , 根据BE=ED，找到AE与ED的关系，利用勾股定理求解即可. 课堂练习 解：∵沿CE折叠得到 ∴ ≌ , ∴BE=ED， 设BE=x，则ED=x，AE=AB-BE=4-x, 在 勾股定理可得：x2=22+（4-x）2. 解得x=，∴AE=；∴S=×2×= 勾股定理中的折叠问题: ①利用折叠得到全等三角形； ②找到边之间的关系； ③利用勾股定理求解. 一、求立体图形中的最短距离问题 课堂小结 ①将立体图形展开成平面图形； ②构造直角三角形; ③利用勾股定理求边长 二、利用勾股定理求杆长、梯子长度问题 注意杆（梯子）的长度始终保持不变. 三、卡车能否通过隧道问题 课堂小结 ①将卡车的宽和高构造直角三角形； ②利用勾股定理求斜边的长度; ③判断斜边与隧道半径的大小 四、利用勾股定理中解决折叠问题 ①利用折叠得到全等三角形； ②找到边之间的关系；③利用勾股定理求解. $