2.3 利用轴对称进行设计&培优专题5 应用轴对称图形的性质解决问题&问题解决策略：转化-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

练测考七年级数学上册LJ 3利用轴对 基础夯实 1.中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩. 下面的四幅简笔画是从我国地方文化活动中 抽象出来的，其中利用轴对称设计的是() 0 Q C 0 2.如图，将一张正方形纸对折两次，剪出小洞后 展开，得到的图形是 () A B D 3.如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中 的两种拼接而成的，这两种基本图形是( ① ② ④ ⑤ 图1 图2 A.①②B.①③C.①④ D.③⑤ 4.如图所示，点A,B,C都在方格纸的格点上，请 你再找一个格点D,使点A,B,C,D组成一个 轴对称图形，满足条件的点D共有() 17-7--T-T-r- A.1个 B.2个C.3个 D.4个 5.如图1，正方形被划分成16个全等的三角形，将 其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： (1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半， (2)涂黑部分成轴对称图形. 44 称进行设计 如图2是一种涂法，请在图4一6中分别设计 另外三种涂法.（在所设计的图案中，若涂黑部 分全等，则认为是同一种涂法，如图2与图3) 图1 图2 图3 图4 图5 图6 能力提升 6.一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要 求整个图案关于正方形的某条对角线对称， 那么下列图案中不符合要求的是 8 A B C D 7.(2025·东营河口区期中)下列四个图都是由 16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其 中的两个小正方形被涂黑.请在各图中再将 两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分 组成的图形成为轴对称图形（另两个被涂黑 的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其 对称轴. 素养培优 8.请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与 格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为 顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影. (注：所画的四个图不能重复) 图1 图2 图3 图4 培优专题五 应用轴对 类型一（作图）选取最佳位置问题 1.如图，直线11，l2,l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公 路的距离相等，则可供选择的地址有() A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 2.如图，某游乐园有海盗船、摩天轮、碰碰车三 个娱乐项目，现要在游乐园内建一个售票中 心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心 的距离都相等，请在图中确定售票中心的 位置. 小摩天轮 B海盗船 ·碰碰车 3.如图，校园有两条路OA,OB,在交叉口附近有 两块宣传牌C,D,学校准备在这里安装一盏 路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样 远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺 规作出灯柱的位置点P.(请保留作图痕迹) C. .D B 类型二轴对称中的光线反射问题 4.如图是光的反射示意图，其中PO是入射光 线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN.若 ∠1=50°，则∠2的度数为 () K P 反射面777777 M 0 A.40° B.50° C.45° D.90° 第二章轴对称 称图形的性质解决问题 5.图1是光的反射规律示意图，其中，PO是入射 光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN,∠POK 是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ= ∠POK.图2中，光线自点P射入，经镜面EF 反射后经过的点是 () A BC D 反射面 0 图1 图2 A.点AB.点BC.点CD.点D 6.如图，DA,CB是平面镜前同一发光点S发 出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画 图确定发光点S的位置，并将光路图补充 完整. 类型三折叠（翻折）问题 7.如图，在△ABC中，点D是BC上的点，若 ∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻 折得到△AED,则∠CDE的度数为() A.20° B.40° C.30° D.10° B---- D 第7题图 第8题图 8.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3,点E 在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B 恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC= ∠ECA,则AC的长是 () A.7 B.6 C.4 D.5 45 练测考七年级数学上册LJ 9.点O,E分别是长方形纸片ABCD的边AB, AD上的点，沿OE,OC翻折，点A落在点 A'处，点B落在点B'处 D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点B'恰好落在线段OA'上时， 求∠COE的度数， (2)如图2，当点B'落在∠EOA'的内部时，若 ∠AOE=36°，∠BOC=64°，求∠A'OB'的 度数 (3)如图3，当点A',B'落在∠COE的内部且 点B'在∠A'OE外部时，若∠COE=a,求 ∠A'OB'的度数.（用含α的代数式表示） 46 类型四剪纸中的轴对称问题 10.剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，如 图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然 后再剪，展开即得到图案)： 下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是 D 11.将一张正方形纸片按如图步骤①②沿虚线 对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪 去一个角，展开铺平后的图形是 () B C D 12.剪纸是我国传统的民间艺术.将一张纸片按 图1、图2的方式沿虚线依次对折后，再沿 图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打 开铺平，所得图案应该是 图2 图3 图4 女问题解决 【问题呈现】如图1，某工厂计划在一条笔直的道 路上设立一个储物点，工作人员每天进人工厂 大门后，先到储物点取物品，然后再到车间.你 认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人 员所走的路程最短？ 大门 车间 A .B D道路 图1 图2 【数学理解】如果把大门、车间和储物点所在的 位置都看作点，把道路看作一条直线，那么就可 以把上述问题抽象成数学问题，如图2. 【回顾思考】 (1)你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”， 你已有的认识是 (2)相信你能解决以下问题：如图3，直线1的两 侧分别有A,B两点，在直线1上确定一个点C, 使AC十BC最短.请在图3中标注点C,并尝 试利用图4解决上述问题，保留作图痕迹， A· A. B 图3 图4 【能力迁移】如图5，四边形EFGH是一个长方 形的台球桌，有黑、白两球分别位于A,B两点. 怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH,反弹 后再碰撞台边EF,最后击中白球.请你认真思 考，将黑球移动的路线画在图上（保留作图痕 迹) 图5 第二章轴对称 策略：转化 一跟踪训练一 1.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4， 面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交 AC,AB边于点E,F.若D为BC边的中点， M为线段EF上一动点，则△CDM周长的 最小值为 () B A.10 B.11 C.12 D.13 2.如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的 直尺按要求完成以下作图.（只保留作图痕 迹) (1)在图1中的线段AB上作点Q,使PQ 最短 (2)在图2中的线段AB上画出点M,使 PM十NM的值最小. D 图1 图2 3.如图，已知∠AOB=30°，其内部有一点P, OP=12,在∠AOB的两边分别有C,D两点 (不同于点O),使△PCD的周长最小，请画 出草图，并求出△PCD周长的最小值. 3 47又因为∠DBE=60°-10°-10°=40°， 所以∠BDE=218-∠DBE)=70, 所以∠CDE=∠BDC-∠BDE=80° 70°=10°. B 图2 微专题6等腰三角形的存在性问题 1.40°或70°或100°2.180°-2a或150°-a 第4课时等腰（边）三角形的判定及 含30°角的直角三角形的性质 1.D2.①②③ 3.解：△ABC是等腰三角形.理由如下： 因为将该纸片沿AB折叠，点E,F的对应点分别为点 E1,F1, 所以∠FAB=∠CAB. 根据题意，得MFEN, 所以∠FAB=∠ABC,所以∠ABC=∠BAC, 所以AC=BC,所以△ABC是等腰三角形. 4.D5.A 6.解：如图，因为CD平分∠ACB, ∠ACB=120°， 所以∠1=∠2=号∠ACB=2× 1 120°=60°，∠4=60°， 因为AEDC, 所以∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°， 所以∠4=∠3=∠E=60°， 所以△ACE是等边三角形. 7.D8.1009.D10.2 11.解：(1)因为AB=AC,∠BAC=120°， 所以∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°」 因为DE垂直平分线段AB, 所以DB=DA,所以∠BAD=∠B=30°， (2)因为∠BAC=120°，∠BAD=30°， 所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°， 又因为DB=DA=2cm,∠C=∠B=30°， 所以DC=2DA=4cm. 12.解：(1)因为DC∥AB,所以∠CDB=∠ABD. 又因为BD平分∠ABC, 所以∠CBD=∠ABD, 所以∠CDB=∠CBD,所以BC=DC. 又因为AD=BC,所以AD=DC. (2)△DEF为等边三角形.理由如下： 因为BC=DC,CF⊥BD, 所以点F是BD的中点，所以FD=号DB。 因为BD平分∠ABC,∠ABC=60°， 所以∠DBE=号∠ABC=2X60=30 因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°， 所以∠BDE=60,DE=合DB=DF, 所以△DEF为等边三角形. 微专题7直角三角形的存在性问题 1.2或82.4或8 培优专题四等腰三角形中的分类讨论 1.B2.22cm或26cm3.7 4.解：①如果n+2=3m, 解得n=1, 此时三角形三边的长为3,3,7. 因为3十3<7，所以不满足三角形三边关系。 ②如果n+6=3n,解得n=3, 此时三角形三边的长为5,9,9，满足三角形三边关系 综上所述，它的三边的长为5,9,9. 5.解：如图，要使△OAB为等腰三角形分四种情况讨论： B/月 B A B42 ①当OB1=AB1时，∠OAB=∠1=50°. ②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×50°=80° ③当OA=OB3时， ∠0AB=∠0BA=2180-50')=65 1 ④当OA=OB4时， ∠0AB=∠0BA=2(180°-∠A0B)=2∠1=25 综上所述，∠OAB的度数是50或80或65°或25°. 6.C7.36或90°8.B9.65°或25°10.135或45°11.B 12.B 3利用轴对称进行设计 1.C2.D3.B4.B 5.解：此题答案不唯一，按照要求设计即可.如图 6.D 7.解：如图.（答案不唯一） 8.解：如图所示.（答案不唯一） 图1 图2 图3 图4 培优专题五应用轴对称图形的性质解决问题 1.D 2.解：如图，连接AB,AC,分别作线段AB,AC的垂直平分 线，两条垂直平分线相交于点P,则点P就是售票中心的位 置（方法不唯一）. 摩天轮 B 海盗船 C藏车 3.解：连接CD,作CD的垂直平分线，作∠AOB的平分线，两 线交于点P,此时点P为所求灯柱位置，如图所示. C.--D A -B 4.B5.B 6.解：如图所示 B 77777777 7.A8.B 9.解：(1)由折叠的性质， 得∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC 因为∠AOE+∠A'OE+∠BOC+∠B'OC=180°， 所以∠A'OE+∠B'OC=90°， 所以∠COE=∠A'OE+∠B'OC=90°， (2)由折叠的性质， 得∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC. 因为∠AOE=36°，∠BO℃=64°， 所以∠A'OE+∠B'OC=∠AOE+∠BOC=100°， ∠COE=180°-（∠AOE+∠BOC)=80. 因为∠COE=∠A'OE+∠A'OC=∠A'OE+∠B'OC- ∠A'OB', 所以∠A'OB'=∠A'OE+∠B'OC-∠COE=100°-80°=20°. (3)因为∠COE=a, 所以∠AOE+∠BOC=180°-∠COE=180°-&. 由折叠的性质， 得∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC 因为∠A'OB'=∠COE-(∠A'OE+∠B'OC), 所以∠A'OB'=a-(180°-a)=2a-180°， 所以∠A'OB'的度数为2a一180°. 10.C11.A12.A ★问题解决策略：转化 解：【回顾思考】(1)利用轴对称解决最短问题 (2)如图所示，点C即为所求 A A B 【能力迁移】如图所示，黑球移动的路线为AM→NB. 跟踪训练 1.B 2.解：(1)如图1，点Q即为所求. P B Q A 图1 (2)如图2，点M即为所求. N B $$a _ { 1 } ^ { 1 }$$ N' A 图2 3.解：分别作点P关于 OA，OB 的对称点 M，N， ，连接MN，分 别交 OA，OB 于点 C，D， 则 △PCD 的周长最小. 连接 OM，ON， ，如图. M A 由轴对称的性质，可知 OM=OP=12， C p ON=OP=12，CP=CM，DP=DN， $$\angle M O N = 2 \angle A O B = 6 0 ^ { \circ } ，$$ D B 所以 λ△MON 为等边三角形， N 所以 MN=12， 所以 △PCD 的周长 =PC+CD+DP=CM+CD+DN= MN=12. 章末复习 核心考点练真题 1.A 2.C 3.A或 $$C \quad 4 . A \quad 5 . D \quad 6 \quad . 6 . 8 0 ^ { \circ } 7 . D B .$$ 9.解：等腰直角 △ABC 如图所示 B -l ￥ 10.解：因为 △ABC 是等边三角形， 所以 $$A B = B C ， \angle A B D = \angle B C E = 6 0 ^ { \circ } .$$ 又因为 BD=CE， 所以 △ABD≅△BCE(SAS)， 所以 AD=BE. 11.解：(1)在 △ABC 和 △DFE 中， |AB=DF， AC=DE， BC=FE， 所以 △ABC≅△DFE(SSS)， 所以 ∠ACB=∠DEF， 所以 EG=CG， 所以 △GEC 是等腰三角形. (2)因为 AC=DE，EG=CG， 所以 AC-CG=DE-EG， 所以 AG=DG， 所以 $$\angle G A D = \angle G D A = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A G D \right) .$$