2.2 第3课时 等腰(边)三角形的性质-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第3课时 等腰（辶 基础夯实 》知识点一等腰三角形的性质 角度1等腰三角形的对称性 1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 A.过顶点的直线 B.腰上的中线所在的直线 C.腰上的高所在的直线 D.顶角的平分线所在的直线 2.如图所示的三角形中是轴对称图形的个数为 角度2等腰三角形的“三线合一” 3.如图，在△ABC中，AC=BC,CD平分 ∠ACB.若AC=5,AD=4,则△ABC的周 长为 A.11 B.14 C.16 D.18 B E 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，BC=AC,CE⊥AB于点 E,BD⊥AC于点D,交CE于点F,且BD= CD.若CF=4,则BE的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 角度3等边对等角 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，三角板DEF按如图方式放置，点B落 在DF上，DE,AC在同一直线上，则∠1= B A.15° B.20° C.30° D.36° 第二章轴对称 边)三角形的性质 6.如果等腰三角形的两个内角的度数之比为 1:4,那么这个三角形三个内角各是多少度？ 》知识点二等边三角形的性质 7.如图，在等边三角形ABC中，AB=5,点D 在AB上，且BD=1,点E,F分别是BC,AC 上的点，连接DE,EF,如果∠DEF=60°， DE=EF,那么BE的长是 () A.3 B.3.5C.4 D.4.5 A C E B 第7题图 第8题图 8.如图，已知△ABC是等边三角形，且边长为 3,点D,E分别在边AC,BC上，将△CDE 沿DE所在的直线折叠.若点C落在点C 处，DC,EC分别交边AB于点F,H,则阴 影部分图形的周长等于 9.如图，△ABC是等边三角形，D,E在直线 BC上，DB=EC.试说明：∠D=∠E 39 练测考七年级数学上册LJ 》易错点考虑不周，忽略分类讨论 10.若等腰三角形的一个角是80°，则它底角的大 小为 A.80° B.50° C.80°或50 D.80°或20 能力提升 11.如图，AB=AC=BD,AC⊥BD,则 ∠ABC+∠ADB的值为 () A.90°B.105° C.120° D.135° ￥Q 第11题图 第12题图 12.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家 具的设计图，如图为某蝶几设计图，其中 △ABD和△CBD为“大三斜”组件（大三斜 组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知 某人位于点P处，点P与点A关于直线 DQ对称，连接CP,DP.若∠ADQ=25°，则 ∠DCP的度数为 ( A.20°B.21 C.24° D.25 13.[几何推理]如图，在△ABC中，AB=AC, AD是△ABC的角平分线. (1)求∠ADC的度数， (2)E是边AC上的一点，DE∥AB,作AC 边上的高BF,判断∠CBF和∠ADE的数 量关系，并说明理由 微专题6几何直观 等腰三角形 【模型解读】 已知，点A和点B,求作第三，点C,使得△ABC 是等腰三角形，则有三种情况： (1)AB=AC:以点A为圆心，AB的长为半 径作孤； (2)BC=BA:以点B为圆心，BA的长为半 径作孤； (3)CA=CB:作AB的垂直平分线： 【模型应用】 1.如图，已知点P是射线ON上一动点（即点 P可在射线ON上运动)，∠O=40°，当 ∠A= 时，△AOP为等腰三角形. 40 素养培优 14.【数学理解】(1)如图1，在等边三角形ABC 内，作DB=DC,且∠BDC=80°，E是 △DBC内一点，且∠CBE=10°，BE=BD, 求∠BCE的度数. 【联系拓展】(2)联系图1的特点，解决下列 问题：如图2，在△DBC中，DB=DC, ∠BDC=80°，E是△DBC内一点，且 ∠CBE=10°，∠BCE=30°，连接DE,请直 接写出∠CDE的度数. 的存在性问题 A B P N 第1题图 第2题图 2.如图，已知∠AOB=a(30°<a<60),射线 OA上一点M,以OM为边在OA下方作等 边三角形OMN,点P为射线OB上一点（不 包括点O),若△MNP是等腰三角形，则 ∠OMP=(1)连接MN,分别以点M,N为圆心，以大于2MN的长 度为半径画弧，两弧相交于点D,E,连接DE,则DE即为 线段MN的垂直平分线. (2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA,OB 于点G,H,再分别以点G,H为圆心，以大于2GH的长度 为半径画弧，两弧相交于点F,连接OF,则OF即为∠AOB 的平分线，如图1所示.（或作AO,BO的另一夹角（即 ∠AOB的补角)∠AOC的平分线，如图2所示) (3)DE与OF相交于点P,则点P即为所求. 8 7.D8.C9.C10.7 11.1 12.解：如图，连接AD. 在△ABD和△ACD中， 因为AB=AC,BD=CD,AD=AD, 所以△ABD≌△ACD(SSS), 所以∠BAD=∠CAD, 即AD是∠EAF的平分线： 又因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以DE=DF. 13.解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下： AD-AE, 在△ADF和△AEF中，FD=FE, AF=AF, 所以△ADF≌△AEF(SSS), 所以∠DAF=∠EAF 所以AP平分∠BAC. (2)如图，过点P作PG⊥AC于点G. P 因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB, 所以PG=PQ=6. 因为SA=SAe+SM-台AB.PQ+号AC.PG, 所以号AB×6+号×9X6=60, 所以AB=11. 第3课时等腰（边）三角形的性质 1.D2.23.D4.B5.C 6解：①当较小角为底角时，设较小角为x°， 则x十x十4x=180, 解得x=30,则4x=120, 故三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°. ②当较大角为底角时，设较小角为x°， 则x+4x+4x=180, 解得x=20,则4x=80, 故三角形三个内角的度数分别为20°，80°，80° 综上所述，三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°或 20°，80°，80° 7.C8.9 9.解：因为△ABC是等边三角形， 所以AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°， 所以∠ABD=∠ACE=180°-60°=120° (AB=AC, 在△ABD和△ACE中， ∠ABD=∠ACE, BD-CE, 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以∠D=∠E. 10.C11.D12.A 13.解：(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 所以AD⊥BC, 所以∠ADC=90° (2)∠CBF=∠ADE,理由如下： 如图，BF为AC边上的高， 所以∠BFC=90°， 所以∠CBF+∠ACB=90°. 因为∠ADC=90°， 所以∠EDC+∠ADE=90°， 因为DE∥AB, 所以/ABC=∠EDC. 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB, 所以∠EDC=∠ACB,所以∠CBF=∠ADE, 14.解：(1)如图1，连接AD. 因为△ABC是等边三角形， 所以AB=AC=BC, ∠BAC=∠ABC=60°. 又因为DB=DC,AD=AD 图1 所以△ABD≌△ACD(SSS),所以∠BAD=∠CAD=30°. 因为∠BDC=80°，BD=DC, 所以∠DBC=∠DCB=50°， 所以∠ABD=60°-50°=10°=∠CBE. 又因为AB=BC,BD=BE, 所以△ABD≌△CBE(SAS), 所以∠BCE=∠BAD=30°， (2)∠CDE=10°. 提示：如图2，作等边三角形ABC,连接AD 易知∠ABD=I0°，△ABD≌△CBE,所以BD=BE, 所以∠BDE=∠BED. 又因为∠DBE=60°-10°-10°=40°， 所以∠BDE=218-∠DBE)=70, 所以∠CDE=∠BDC-∠BDE=80° 70°=10°. B 图2 微专题6等腰三角形的存在性问题 1.40°或70°或100°2.180°-2a或150°-a 第4课时等腰（边）三角形的判定及 含30°角的直角三角形的性质 1.D2.①②③ 3.解：△ABC是等腰三角形.理由如下： 因为将该纸片沿AB折叠，点E,F的对应点分别为点 E1,F1, 所以∠FAB=∠CAB. 根据题意，得MFEN, 所以∠FAB=∠ABC,所以∠ABC=∠BAC, 所以AC=BC,所以△ABC是等腰三角形. 4.D5.A 6.解：如图，因为CD平分∠ACB, ∠ACB=120°， 所以∠1=∠2=号∠ACB=2× 1 120°=60°，∠4=60°， 因为AEDC, 所以∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°， 所以∠4=∠3=∠E=60°， 所以△ACE是等边三角形. 7.D8.1009.D10.2 11.解：(1)因为AB=AC,∠BAC=120°， 所以∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°」 因为DE垂直平分线段AB, 所以DB=DA,所以∠BAD=∠B=30°， (2)因为∠BAC=120°，∠BAD=30°， 所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°， 又因为DB=DA=2cm,∠C=∠B=30°， 所以DC=2DA=4cm. 12.解：(1)因为DC∥AB,所以∠CDB=∠ABD. 又因为BD平分∠ABC, 所以∠CBD=∠ABD, 所以∠CDB=∠CBD,所以BC=DC. 又因为AD=BC,所以AD=DC. (2)△DEF为等边三角形.理由如下： 因为BC=DC,CF⊥BD, 所以点F是BD的中点，所以FD=号DB。 因为BD平分∠ABC,∠ABC=60°， 所以∠DBE=号∠ABC=2X60=30 因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°， 所以∠BDE=60,DE=合DB=DF, 所以△DEF为等边三角形. 微专题7直角三角形的存在性问题 1.2或82.4或8 培优专题四等腰三角形中的分类讨论 1.B2.22cm或26cm3.7 4.解：①如果n+2=3m, 解得n=1, 此时三角形三边的长为3,3,7. 因为3十3<7，所以不满足三角形三边关系。 ②如果n+6=3n,解得n=3, 此时三角形三边的长为5,9,9，满足三角形三边关系 综上所述，它的三边的长为5,9,9. 5.解：如图，要使△OAB为等腰三角形分四种情况讨论： B/月 B A B42 ①当OB1=AB1时，∠OAB=∠1=50°. ②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×50°=80° ③当OA=OB3时， ∠0AB=∠0BA=2180-50')=65 1 ④当OA=OB4时， ∠0AB=∠0BA=2(180°-∠A0B)=2∠1=25 综上所述，∠OAB的度数是50或80或65°或25°. 6.C7.36或90°8.B9.65°或25°10.135或45°11.B 12.B 3利用轴对称进行设计 1.C2.D3.B4.B 5.解：此题答案不唯一，按照要求设计即可.如图 6.D 7.解：如图.（答案不唯一） 8.解：如图所示.（答案不唯一） 图1 图2 图3 图4 培优专题五应用轴对称图形的性质解决问题 1.D 2.解：如图，连接AB,AC,分别作线段AB,AC的垂直平分 线，两条垂直平分线相交于点P,则点P就是售票中心的位 置（方法不唯一）.