1.4 培优专题3 三角形“三条重要线段”的灵活应用&问题解决策略：特殊化-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

培优专题三 三角形“三 类型一三角形中线的应用 角度1加倍延长中线，构造全等 1.如图，已知点D在△ABC的边BC上，BD= CD,AD平分∠BAC,试说明：AB=AC. 角度2与中线有关的周长问题 2.在△ABC中，若AC<AB,AD为△ABC的 中线，AB=12cm,△ABD和△ADC的周长 差是4cm,求△ABC的边AC的长. 角度3与中线有关的面积问题 3.（东莞中考)如图，△ABC三边的中线AD, BE,CF的公共点为G,且AG:GD=2:1. 若S△ABc=12,则图中阴影部分的面积 是 B 4.【探索】在图1至图3中，已知△ABC的面积 为a. (1)如图1，延长△ABC的边BC到点D,使 CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为S1, 则S1= .(用含a的代数式表示) (2)如图2，延长△ABC的边BC到点D,延 长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连 接DE.若△DEC的面积为S2,则S2= .(用含a的代数式表示) 第一章三角形 条重要线段”的灵活应用 (3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF= AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图3).若 阴影部分的面积为S3,则S3= (用含a的代数式表示) 图1 图2 图3 【发现】像上面那样，将△ABC各边均顺次延 长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图 3),此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可 以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是 原来△ABC面积的 倍. 【应用】要在一块足够大的空地上栽种花卉， 工程人员进行了如下图案设计：首先在 △ABC的空地上种红花，然后将△ABC向 外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图 案).在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩 展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花. 如果种红花的区域（即△ABC)的面积是 10m2,请你运用上述结论求出： ①种紫花区域的面积， ②种蓝花区域的面积. 紫 黄 紫 图4 27 练测考七年级数学上册LJ 类型二三角形高线的应用 角度1利用高线，构造全等 5.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是高. 试说明：AC=BD-CD. 角度2与高线有关的面积问题 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是 AB边上的高，AB=10cm,BC=8cm,AC= 6 cm, (1)求CD的长， (2)若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积. 角度3有关高线位置的分类讨论 7.若AD是△ABC的高，且BD=5,CD=2,则 边BC的长为 28 类型三三角形角平分线的应用 角度1角平分线十垂直一构造全等 8.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC 于点E,AD⊥BE,垂足为点D.试说明： ∠2=∠1+∠C. E 角度2角平分线十平行线一等角转化 9.如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥ AC交AB于点E,若点F为AC上一点且 ∠FDA=∠EDA,DF与AB有怎样的位置 关系？请说明理由， B 第一章三角形 ★问题解决策略：特殊化 1.如图所示，在△ABC中，已知 5.“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过 AB=9,AC=6,AD⊥BC于 程本身，它们是获得发现的伟大源泉”—乔 点D,点M为AD上任一点， 治·波利亚， 则MB2-MC2的值为() B (1)观察猜想 A.9 B.35 如图1，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°. C.45 D.无法计算 点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE, 2.已知：a,b在数轴上的位置如图所示，则下列 则BE与AD的数量关系是 ,直线 结论中正确的是 ) BE与直线AD的位置关系是 (2)拓展探究 如图2，在△ABC和△CDE中，CA=CB, A.a<-a<b B.a>b>-a CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，则BE与 C.-a>a>b D.1al>|-1|>lb AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD 3设a+6十c=0,ac>0,则日+6+ 的位置关系怎样？请说明理由 cT的值是 a+b A.-3 B.1 C.3或-1 D.-3或-1 图 图2 4.已知：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD, ∠B+∠D=180. (1)如图1，当∠B=90时，试说明：CD=CB. (2)如图2，当∠B<90时，试说明：CD=CB. D 图2 29(2)因为∠A=100°，∠C=50°， 所以∠ABC=30°. 因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=2∠ABC=15 在△ABE中， ∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°. 7.解：(1)因为BD⊥DE,CE⊥DE, 所以∠BDA=∠CEA=90°， 因为∠BAC=90°， 所以∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°， 所以∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC, 因为{∠ABD=∠CAE, AB=CA, 所以△ABD≌△CAE(AAS), 所以BD=AE,CE=DA, 所以DE=AE+DA=BD十CE. (2)成立.理由如下： 因为∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 所以∠BAD+∠CAE=180°-a,∠DBA十∠BAD=180°-a, 所以∠DBA=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， I∠BDA=∠AEC, 因为{∠ABD=∠CAE, AB=CA, 所以△ABD≌△CAE(AAS), 所以BD=AE,DA=CE, 所以DE=AE+DA=BD十CE. 培优专题三三角形“三条重要线段”的灵活应用 1.解：如图，延长AD至E,使AD=DE,连接BE. 在△ADC和△EDB中， AD=ED 因为∠ADC=∠EDB, CD-BD. 所以△ADC≌△EDB(SAS), B D 所以AC=BE,∠CAD=∠BED. 因为AD平分∠BAC, 所以∠CAD=∠BAD, 所以∠BAD=∠BED. 作BF⊥AE,垂足为F, 由∠BFA=∠BFE=90°，∠BAD=∠BED,BF=BF, 得△BAF≌△BEF(AAS), 所以AB=BE,所以AB=AC. 2.解：因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD. 因为△ABD和△ADC的周长差是4cm,AC<AB, 所以AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD AC-AD-BD=AB-AC=4 cm. 因为AB=12cm, 所以AC=AB-4=8(cm). 3.4 4.解：【探索】(1)a(2)2a(3)6a 【发现】7 【应用】①(72-7)×10=420(m2). ②(73-72)×10=2940(m). 5.解：如图，在线段DB上取一点E,使 DE=CD,连接AE. 因为AD是高， 所以∠ADE=∠ADC=90°. E D 因为DE=DC,AD=AD, 所以△ACD2△AED(SAS), 所以AE=AC,∠AED=∠C. 因为∠C=2∠B,∠AED=180°-∠AEB=180°-(180° ∠B-∠BAE)=∠B+∠BAE,所以∠B=∠BAE, 作EF⊥AB,垂足为F,由∠AFE=∠BFE=90°， ∠FAE=-∠B,EF=EF,得△EAF≌△EBF(AAS), 所以AE=BE,所以BE=AC. 因为BE=BD-DE,所以AC=BD-CD. 6.解：(1)因为CD是AB边上的高， 所以△ABC的面积=号AC·BC=AB·CD, 所以cD=-AC:BC_6X8=4.8(cm). AB 10 (2②)由题意，知△ABC的面积=号AC·BC=号×6×8= 24(cm). 因为AE是BC边上的中线，所以BE=CE, 所以△ABE的面积=合S=12cm。 7.7或3 8.解：如图，延长AD交BC于点F. 因为BE平分∠ABC,所以∠3=∠4， 因为AD⊥BE, 所以∠ADB=∠FDB=90°. D 又因为BD=BD, 所以△ADB≌△FDB(ASA),所以∠2=∠AFB. 因为∠AFB+∠AFC=180°，∠C+∠AFC+∠1=180°， 所以∠AFB=∠1+∠C,所以∠2=∠1+∠C. 9.解：DF∥AB.理由如下： 因为AD是△ABC的一条角平分线， 所以∠BAD=∠CAD. 因为DEAC,所以∠EDA=∠CAD, 所以∠BAD=∠EDA. 因为∠FDA=∠EDA,所以∠FDA=∠BAD, 所以DF∥AB. ★问题解决策略：特殊化 1.C2.D3.B 4.解：(1)因为∠B+∠D=180°，∠B=90°， 所以∠D=90°，所以∠B=∠D. 因为AC平分∠BAD,所以∠DAC=∠BAC 又因为AC=AC, 所以△ADC≌△ABC(AAS), 所以CD=CB. (2)如图，过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延 长线于点F.由(I)可得CF=CE. 因为∠B+∠ADC=180°， ∠ADC+∠FDC=180°， 所以∠B=∠FDC. 又因为∠F=∠CEB=90°， 所以△CDF≌△CBE(AAS), 所以CD=CB. 5.解：(1)因为CA=CB,CD=CE, 所以CA-CD=CB-CE, 所以BE=AD. 因为直线BE与直线AD的夹角∠ACB=90°， 所以BE⊥AD. 答案：BE=ADBE⊥AD (2)BE=AD,BE⊥AD.理由如下： 如图，设直线BE,AD交于点F, 因为∠ACB=∠DCE=90°， 所以∠DCA=∠ECB. 因为AC=BC,CD=CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS), 所以BE=AD,∠CAD=∠CBE. 因为∠CAF+∠AFB=∠CBE+∠ACB, 所以∠AFB=∠ACB=90°， 即BE⊥AD. 章末复习 核心考点练真题 1.C2.B3.100°4.B5.56.B7.100°8.C9.A 10.AD=CE或∠ACD=∠B11.100° 12.解：因为∠BAE=∠CAD, 所以∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC, 即∠BAC=∠EAD. (AB=AE, 在△ABC和△AED中，{∠BAC=∠EAD, AC=AD, 所以△ABC≌△AED(SAS), 13.解：因为AB平分∠CAD, 所以∠CAB=∠DAB. (AC-AD, 在△CAB和△DAB中，∠CAB=∠DAB, AB-AB, 所以△CAB≌△DAB(SAS),所以∠C=∠D. 14.解：可选取①或②（只选一个即可）， 当选取①时， (AB=CD, 在△ABF与△CDE中，{AF=CE, BF=DE. 所以△ABF≌△CDE(SSS),所以∠B=∠D! 因为BF=DE, 所以BF十EF=DE十EF,所以BE=DF. AB=CD, 在△ABE与△CDF中，∠B=∠D, BE=DF, 所以△ABE≌△CDF(SAS), 所以∠AEB=∠CFD,所以AECF 当选取②时， AB=CD, 在△ABF与△CDE中，{∠BAF=∠DCE, AF=CE, 所以△ABF≌△CDE(SAS), 所以∠B=∠D,BF=DE, 所以BF十EF=DE十EF,所以BE=DF, AB=CD, 在△ABE与△CDF中，{∠B=∠D, BE=DF, 所以△ABE2△CDF(SAS), 所以∠AEB=∠CFD,所以AECF. 新中考新考法 1.B 2.解：感悟 因为AB=AE,所以△ABE是等腰三角形， 所以∠B=∠E. 在△ABC和△AED中， (AB-AE, ∠B=∠E,所以△ABC≌△AED(SAS), BC=ED, 所以∠BAC=∠EAD 应用 (I)以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线BC于一 点，该点即为点E,以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交 直线BC于一点，该点即为点D,连接AD,AE,图形如图 所示 (2)以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线 于一点，该点即为点D,以点C为圆心，以BC长为半径作 弧，交直线BC于一点，该点即为点E,连接DE,图形如图 所示 D 第二章轴对称 1 轴对称及其性质 1.B2.A3.①② 4.解：所画对称轴如图所示. N 5.解：对应点是点A和点D,点B和点E,点C和点F; 对应角是∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F; 对应线段是AB和DE,AC和DF,BC和EF」