1.4 培优专题2 全等三角形的几种常见模型应用-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第一章三角形 培优专题二全等三角形的几种常见模型应用 类型一平移模型 类型二 旋转模型 图示： 图示： 平移模型是基本模型之一，找准平移前后的对应角 旋转模型是几种模型中比较难的一种，经常在解答 和对应边是解题的关键。 题中出现.解题的关键是找出图中的公共角、对顶 1.（宜宾中考)已知：如图，点A,D,C,F在同一 角、平行线等， 直线上，AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.试 3.如图，点B为AC上一点，AD∥CE,∠DBC+ 说明：AD=CF. ∠BEC=180°，BD=EB.试说明：AD=BC 0 4.在△ABC中，AB=AC,D是射线BC上一 点，点E在AD的右侧，线段AE=AD,且 ∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图1，点D在线段BC上，试说明： 2.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点， ∠BAC+∠DCE=180°. AD∥EC,∠AED=∠B, (2)如图2，点D在线段BC的延长线上，判 (1)试说明：△AED≌△EBC. 断∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明 (2)当AB=6时，求CD的长. 理由. 图2 25 练测考七年级数学上册L小 类型三对称模型 类型四一线三等角模型 图示： 图示： 令闪风凶△ 对称模型有公共边模型、公共角模型和对顶角模型， 锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 可以通过翻折得到两个三角形全等，解决此类题目 “一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直 的关键是找出公共边、对应边和对应角， 线上构成的全等图形.这个角可以是直角，也可以是 5.如图所示，已知CD=BD,点E,F分别是 锐角或者钝角，解决此类题目的关键是找出两组对 CD,BD的中点，∠CAF=∠BAE,∠B= 应角，在“一线三等角”模型中，若有任意一组边对应 ∠C.试说明：AE=AF. 相等，则可得到全等三角形. 7.(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D,E.试说明： DE=BD+CE. (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上， 并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=Q,其中 α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD十 CE是否成立？请说明理由. 6.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点， AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点 m 图1 图2 E,连接DE. (1)试说明：△ABE≌△DBE, (2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的 度数. 26又因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°， 所以∠ABO=90°，即BO⊥AB. 因为AB//OH//CD,相邻两平行线间的距离相等， 所以OB=OD. 在△ABO和△CDO中， 因为∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠AOB=∠COD, 所以△ABO≌△CDO(ASA), 所以CD=AB=20m. 即标语CD的长度为20m. 4.D5.D6.能 7.解：(1)因为∠DCB=100°，∠BEC=15°，所以∠CBE= 180°-∠DCB-∠BEC=180°-100°-15°=65. (2)因为∠ADC=65°， 所以∠CBE=∠ADC=65° 在△DCA和△BCE中， |∠ACD=∠ECB, 因为CD=CB, I∠ADC=∠CBE, 所以△DCA≌△BCE(ASA), 所以CA=CE=32m, 所以AB=AC-BC=32-5=27(m) 所以这两个电线塔之间的距离是27m. 8.解：(1)将测量方案示意图补充完整如图所示. --18 (2)①8 ②由题意，可知AC=20m,CD=20m,DE=8m,∠A= 90°，∠D=90°， 所以AC=DC,∠A=∠D. |∠A=∠D, 在△ABC和△DEC中，AC=DC, ∠ACB=∠DCE, 所以△ABC≌△DEC(ASA), 所以AB=DE=8m, 所以小明的方案是正确的. 培优专题二全等三角形的几种常见模型应用 1.解：因为ABDE,所以∠A=∠EDF |∠A=∠EDF, 在△ABC和△DEF中，因为{∠B=∠E, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(AAS), 所以AC=DF,所以AC一DC=DF一DC, 即AD=CF, 2.解：(1)因为ADEC,所以∠A=∠BEC. 因为E是AB的中点，所以AE=EB=)AB, |∠A=∠BEC, 在△AED和△EBC中，AE=EB, ∠AED=∠B, 所以△AED2△EBC(ASA). (2)因为△AED≌△EBC,所以AD=EC. 因为AD∥EC,所以∠ADE=∠CED. (AD=CE, 在△ADE和△CED中，{∠ADE=∠CED, DE=ED, 所以△ADE≌△CED(SAS), 所以AE=CD. 因为AB=6,所以AE=号AB=3, 所以CD=3. 3.解：因为ADCE,所以∠A=∠C 因为∠DBC+∠ABD=180°，∠DBC+∠BEC=180°， 所以∠ABD=∠CEB. 又因为BD=EB,所以△ADB≌△CBE(AAS), 所以AD=BC. 4.解：(1)因为∠DAE=∠BAC, 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△BAD与△CAE中， ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 所以△BAD≌△CAE(SAS), 所以∠ABD=∠ACE, 所以∠BAC+∠DCE=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°. (2)∠BAC=∠DCE.理由如下： 因为∠DAE=∠BAC, 所以∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△BAD与△CAE中， ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 所以△BAD≌△CAE(SAS), 所以∠ACE=∠ABD. 因为∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°， ∠ACE+∠ACB+∠DCE=180°， 所以∠BAC=∠DCE. 5.解：因为CD=BD,点E,F分别是CD,BD的中点， 所以CE=BF 因为∠CAF=∠BAE, 所以∠CAF-∠EAF=∠BAE-∠EAF, 所以∠CAE=∠BAF. 在△ACE和△ABF中， I∠C=∠B, ∠CAE=∠BAF, CE=BF, 所以△ACE≌△ABF(AAS),所以AE=AF 6.解：(1)因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠DBE. 在△ABE和△DBE中， AB-DB, 因为{∠ABE=∠DBE, BE=BE, 所以△ABE2△DBE(SAS). (2)因为∠A=100°，∠C=50°， 所以∠ABC=30°. 因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=2∠ABC=15 在△ABE中， ∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°. 7.解：(1)因为BD⊥DE,CE⊥DE, 所以∠BDA=∠CEA=90°， 因为∠BAC=90°， 所以∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°， 所以∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC, 因为{∠ABD=∠CAE, AB=CA, 所以△ABD≌△CAE(AAS), 所以BD=AE,CE=DA, 所以DE=AE+DA=BD十CE. (2)成立.理由如下： 因为∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 所以∠BAD+∠CAE=180°-a,∠DBA十∠BAD=180°-a, 所以∠DBA=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， I∠BDA=∠AEC, 因为{∠ABD=∠CAE, AB=CA, 所以△ABD≌△CAE(AAS), 所以BD=AE,DA=CE, 所以DE=AE+DA=BD十CE. 培优专题三三角形“三条重要线段”的灵活应用 1.解：如图，延长AD至E,使AD=DE,连接BE. 在△ADC和△EDB中， AD=ED 因为∠ADC=∠EDB, CD-BD. 所以△ADC≌△EDB(SAS), B D 所以AC=BE,∠CAD=∠BED. 因为AD平分∠BAC, 所以∠CAD=∠BAD, 所以∠BAD=∠BED. 作BF⊥AE,垂足为F, 由∠BFA=∠BFE=90°，∠BAD=∠BED,BF=BF, 得△BAF≌△BEF(AAS), 所以AB=BE,所以AB=AC. 2.解：因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD. 因为△ABD和△ADC的周长差是4cm,AC<AB, 所以AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD AC-AD-BD=AB-AC=4 cm. 因为AB=12cm, 所以AC=AB-4=8(cm). 3.4 4.解：【探索】(1)a(2)2a(3)6a 【发现】7 【应用】①(72-7)×10=420(m2). ②(73-72)×10=2940(m). 5.解：如图，在线段DB上取一点E,使 DE=CD,连接AE. 因为AD是高， 所以∠ADE=∠ADC=90°. E D 因为DE=DC,AD=AD, 所以△ACD2△AED(SAS), 所以AE=AC,∠AED=∠C. 因为∠C=2∠B,∠AED=180°-∠AEB=180°-(180° ∠B-∠BAE)=∠B+∠BAE,所以∠B=∠BAE, 作EF⊥AB,垂足为F,由∠AFE=∠BFE=90°， ∠FAE=-∠B,EF=EF,得△EAF≌△EBF(AAS), 所以AE=BE,所以BE=AC. 因为BE=BD-DE,所以AC=BD-CD. 6.解：(1)因为CD是AB边上的高， 所以△ABC的面积=号AC·BC=AB·CD, 所以cD=-AC:BC_6X8=4.8(cm). AB 10 (2②)由题意，知△ABC的面积=号AC·BC=号×6×8= 24(cm). 因为AE是BC边上的中线，所以BE=CE, 所以△ABE的面积=合S=12cm。 7.7或3 8.解：如图，延长AD交BC于点F. 因为BE平分∠ABC,所以∠3=∠4， 因为AD⊥BE, 所以∠ADB=∠FDB=90°. D 又因为BD=BD, 所以△ADB≌△FDB(ASA),所以∠2=∠AFB. 因为∠AFB+∠AFC=180°，∠C+∠AFC+∠1=180°， 所以∠AFB=∠1+∠C,所以∠2=∠1+∠C. 9.解：DF∥AB.理由如下： 因为AD是△ABC的一条角平分线， 所以∠BAD=∠CAD. 因为DEAC,所以∠EDA=∠CAD, 所以∠BAD=∠EDA. 因为∠FDA=∠EDA,所以∠FDA=∠BAD, 所以DF∥AB. ★问题解决策略：特殊化 1.C2.D3.B 4.解：(1)因为∠B+∠D=180°，∠B=90°， 所以∠D=90°，所以∠B=∠D. 因为AC平分∠BAD,所以∠DAC=∠BAC 又因为AC=AC, 所以△ADC≌△ABC(AAS), 所以CD=CB.