1.1 培优专题1 与三角形角平分线有关的内角和问题-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第一章三角形 培优专题一 与三角形角平分线有关的内角和问题 类型一一条角平分线求度数 类型二两条角平分线求度数 1,如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE平 点，DE平分∠CDB.若∠C=50°，∠BDE= 分∠ADC,∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE= 60°，则∠A= () A.70° B.100° C.110° D.120° B D A.50° B.55° C.60 D.62.5° 第1题图 变式图 4.在△ABC中， 【变式】如图，AD平分∠CAE,∠B=30°， (1)如图1所示，如果∠A=60°，∠ABC和 ∠ACD=80°，则∠EAD= ∠ACB的平分线相交于点P,那么∠BPC= 2.在△ABC中，AE平分∠BAC,∠C>∠B (2)如图2所示，∠ABC和∠ACD的平分线 B 相交于点P,试说明∠BPC=∠A。 (3)如图3所示，∠CBD和∠BCE的平分线 图1 图2 图3 相交于点P,猜想∠BPC与∠A的关系并说 (1)如图1，若AD⊥BC于点D,∠C=68°， 明理由. ∠B=32°，求∠DAE的度数. (2)如图2,3，若点P是射线AE上一动点， 过点P作PG⊥BC于点G,直接写出∠EPG 与∠C,∠B之间的数量关系： 图2 图3 11 练测考七年级数学上册L小 【变式1】如图，在△ABC中，AD,BE分别平 7.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB= 分∠BAC和∠ABC,且相交于点O,若 40°，BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F. ∠AOB=130°，则∠C的度数是 。() (1)求∠ABE的度数. A.70° B.80° C.100° D.110° (2)若AD平分∠BAC,DG平分∠ADC,试 说明：DG∥BE. B M B D 变式1图 变式2图 【变式2】如图，BP是△ABC中∠ABC的平 分线，CP是∠ACM的平分线，若∠ABP= 20°，∠ACP=60°，则∠A-∠P=() A.70°B.60°C.50° D.40° 类型三角平分线与平行结合求度数 5.如图，已知EF∥GH,Rt△ABC的两个顶点 A,B分别在直线GH,EF上，∠C=90°，AC 交EF于点D,若BD平分∠ABC, ∠BAH=32°，则∠BAC的度数为() G H A.32° B.26 C.34° D.28 6.如图所示，在△ABC中，∠A=62°，∠B= 74°，CD是∠ACB的平分线，点E在AC上， 且DE∥BC,求∠CDE的度数. 128.A9.A10.D11.3或712.A13.9 14.解：因为AB/∥EC,∠B=65°，所以∠ECD=∠B=65°. 因为∠E=70°， 所以∠CDE=180°-∠E-∠ECD=180°-70°一 65°=45°. 因为DA平分∠CDE, 所以∠ADC=2∠CDE=2×45=2.5 因为∠ADC+∠CAD+∠ACD=18O°，∠ACB+∠ACD= 180°，所以∠ACB=∠ADC+∠CAD, 所以∠CAD=∠ACB-∠ADC=45°-22.5°=22.5° 15.解：(1)由题意，知BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∠ABC=40°，∠ACB=80°， 所以∠CB0=2∠ABC=20,∠B00=2∠ACB=40, 所以∠B0C=180°-∠CB0-∠BC0=120°. (2)因为∠A=60°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°. 因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CB0=∠ABC,∠B0-=∠ACB, 所以∠CBO+∠BD-=2(ZABC+∠ACB)=60, 所以∠BOC=180°-（∠CB0+∠BCO)=120°. (3)∠B0C=90+2∠A,理由如下： 因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,且BO平分∠ABC, CO平分∠ACB, 所以∠CB0=2∠ABC,∠B00=2∠ACB, 所以∠CB0+∠B0号（∠ABC+∠ACB)=90-2∠A, 所以∠B0C=180-(ZCB0+∠B0D)=90+2∠A 第5课时三角形的中线、高线和角平分线（二） 1.B2.A3.D4.C5.A6.C7.38.10°9.D 10.A11.C12.B13.2.4≤BM≤4 14.解：因为CD为△ABC的高，所以∠ADC=90°. 因为∠B=30°，∠ACB=75°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-75°=75°. 因为AE为△ABC的角平分线， 所以∠BAE=7∠BAC=37.5, 所以∠AFD=180°-∠ADC-∠BAE=52.5°， 所以∠AFC=180°-∠AFD=127.5° 15.解：(1)画AC边上的高BG如图1所示. DE,DF,BG之间的数量关系为BG= DE十DF,理由如下： 因为S AABC=S△ABD+S△ACD,DE⊥AB, DF⊥AC,BG⊥AC,AB=AC, 所以号AC·BG=号AB·DE十 AC·DF, 所以BG=DE十DF, (2)如图2所示，过点B作BG⊥AC交 AC于点G. 因为S△AB=S△ABD十S△ACD,DE⊥AB, DF⊥AC,AB=AC, 所以令AC·BG=2AB·DE十 ☒2 号Ac.Dr. 所以BG=DE+DF. 因为AB=AC,点D为BC的中点， 所以SAABD=S△CD, 即3AB.DE=AC·DP, 所以DE=DF, 所以BG=DE十DF=DE+DE=2DE. 答案：BG=2DE (3)如图3所示，过点B作BG⊥AC交 AC于点G 因为SAACD=SABD+SAABC,DE⊥ AB,DF⊥AC,AB=AC, D B 所以合AC·DF-合AB·DE+ 图3 2AC·BG, 所以DF=DE+BG. 答案：DF=DE十BG 培优专题一与三角形角平分线 有关的内角和问题 1.A【变式】65° 2.解：(1)因为∠C=68°，∠B=32°， 所以∠CAB=180°-（∠B+∠C)=80°. 因为AE平分∠BAC, 所以∠EAC=7∠BAC=2×80=40 因为AD⊥BC, 所以∠ADC=90° 因为∠C=68°， 所以∠DAC=180°-90°-68°=22°， 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-22°-18， (2)如图1，过点A作AD⊥BC于 点D. 因为PG⊥BC, 所以∠ADE=∠PGE=90°， B EGD C 所以ADPG, 图1 所以∠DAE=∠GPE: 因为∠CAB=180°-（∠B+∠C),AE平分∠BAC, 所以∠EAC=号∠BAC=号I80-(ZB+∠C】= 90°-∠B-2∠c 因为ADL⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠DAC=90°-∠C, 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=S0°-合∠B-合∠C (90-∠c)=3∠C-2∠B, 所以∠EPG=∠C-合∠B=∠C-∠B), 如图2，过点A作AD⊥BC于点D. 因为PG⊥BC, 所以∠PGE=∠ADE=90°， 所以ADPG, 所以∠DAE=∠GPE. 图2 因为∠CAB=180°-（∠B+∠C), AE平分∠BAC, 所以∠EAC=2∠BAC=[180-(☑B+∠C]=90 名B-合C 因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠DAC=90°-∠C, 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-合∠B-合∠C (90-∠C)=3∠C-2∠B, 所以∠EPG=∠C-∠B=(☑C-∠B. 综上所述，∠EPG=号（∠C-∠B. 答案：∠EPG=(∠C-∠B) 3.A 4.解：(1)因为BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， 所以∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB. 因为∠A=180°-（∠ABC+∠ACB), 所以∠A=180°-2（∠PBC+∠PCB), 所以∠A=180°-2(180°-∠BPC), 所以∠A=-180°+2∠BPC, 所以2∠BPC=180°+∠A, 所以∠BPC=90+号∠A=90+号×60°=120， 答案：120 (2)因为BP,CP分别为∠ABC,∠ACD的平分线， 所i以∠PBC=∠ABC,∠PCD=号∠ACD, 因为∠ABC+∠A+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACD=180°， 所以∠ACD=∠A+∠ABC. 因为∠PBC+∠BPC+∠PCB=180°，∠PCB+∠PCD=180°， 所以∠PCD=∠BPC+∠PBC, 所以∠BPC+∠PBC=2(∠A+∠ABC), 所以∠BPC=号∠A. (3)∠BPC=90-∠A.理由如下： 由题意，知∠CBD=180°-∠ABC=∠A+∠ACB, ∠BCE=180°-∠ACB=∠A+∠ABC,∠A+∠ABC+ ∠ACB=180° 因为∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P, 所以∠CBP=}∠CBD,∠BCP=∠BCE, 所以∠CBP+∠BCP =∠CBD+号∠BCE -2(ZCBD+∠BE) =∠A+ZACB+∠A+∠ABC =2a80+∠A. 所以∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP) =180°-2(180+∠A) =90-3∠A 【变式1】B【变式2D5.B 6.解：因为∠A=62°，∠B=74°， 所以∠ACB=180°-62°-74°=44°. 因为CD平分∠ACB, 所以∠ACD=∠DCB=2∠ACB=2 因为DEBC, 所以∠CDE=∠DCB=22°. 7.解：(1)因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， 所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60° 40°=80°. 因为BE⊥AC, 所以∠AEB=90°， 所以∠ABE=180°-∠BEA-∠BAC=180°-90° 80°=10. (2)因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=2∠BAC=号X80°=40， 所以∠ADC=180°-∠ADB=180°-(180°-∠ABC- ∠BAD)=∠ABC+∠BAD=60°+40°=100°. 因为DG平分∠ADC, 所以∠GDC=7∠ADC=2×10°=50 因为∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-10°=50°， 所以∠EBC=∠GDC. 所以DGBE. 2图形的全等 1.C2.B3.C4.D5.C 6.解：因为△ABD≌△CAE, 所以BD=AE,AD=CE. 因为DE=AE+AD, 所以BD十CE=DE. 7.解：(1)因为△ACE≌△DBF,所以AC=DB, 所以AC-BC=DB-BC,即AB=CD, 又因为AD=AB+BC+CD=AB+BC+AB=2AB+