1.1 第4课时 三角形的中线、高线和角平分线(一)-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第一章 三角形 1认识三角形 第1课时三角形的内角和 1.C2.A 3.△CDF,△BCD△BEF∠BCE CE △ABD,△ACE,△ABC 4.C5.A6.757.100 8.解：因为∠BAC=95°，∠B=25°， 所以∠C=180°-95°-25°=60°， 因为∠CAD=75°， 所以∠ADC=180°-60°-75°=45. 9.C10.54°或99°11.a=B+y 12.解：(1)因为∠A=50°， 所以∠ABC+∠ACB=130°， 因为∠P=90°， 所以∠PBC+∠PCB=90°， 所以∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°. 答案：9040 (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A.理由如下： 因为（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A= 180°，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=90°， 所以90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， 所以∠ABP+∠ACP+∠A=90°， 所以∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由如下： 设AB交PC于点O,如图. 因为∠AOC=∠POB, 所以∠ACO+∠A=∠P+∠PBO, B 即∠ACP+∠A=90°+∠ABP, 所以∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 微专题1三角形个数问题 【典例】解：根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数 AC上线段的个数，所以当上面有3个分点时，有6十4=10个 三角形；有4个分点时，有10+5=15个三角形；有5个分点 时，有15十6=21个三角形；有6个分点时，有21+7=28个 三角形；有7个分点时，有28十8=36个三角形；若出现45个 三角形，根据上述规律，则有8个分点。 (1)填表如下： 连接点的个数 123 456 出现三角形个数3610152128 (2)8 (3)2(n+1)(m+2) 【跟踪训练】 1.92.(1)1024(2)330 第2课时三角形分类及直角三角形的性质 1.C2.C3.锐角4.B5.C6.D7.52°8.48° 9.(1)90或60°(2)大于90°或小于60°10.B11.A 12.20°或60°13.50° 14.解：因为∠A=60°，∠F=45°，∠B=∠D=90°， 所以∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，∠DEF=90°-∠F= 90°-45°=45°. 因为DE⊥BC,所以∠CED=90°， 所以∠CEH=∠CED+∠DEF=90°+45°=135°. 在△CEH中，因为∠C=30°，∠CEH=135°， 所以∠CHE=180°-∠C-∠CEH=180°-30°-135°=15°. 15.解：在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF, 在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE. 因为AF平分∠CAB, 所以∠CAF=∠DAE， 所以∠AED=∠CFE. 又因为∠CEF=∠AED, 所以∠CEF=∠CFE. 16.解：(1)有.理由如下： 因为CD⊥AB,所以∠B+∠BCD=90°. 因为∠ACB=90°，所以∠B+∠A=90°， 所以∠BCD=∠A. (2)有.理由如下： 因为ED⊥AB,所以∠B+∠BED=90°. 因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°， 所以∠BED=∠A. (3)有.理由如下： 因为ED⊥AB,所以∠B+∠E=90° 因为∠ACB=90°，所以∠B+∠A=90° 所以∠E=∠A. 第3课时三角形的三边关系 1.D2.8cm,12cm,12cm等腰3.C4.D5.D6.7 7.解：(1)由题意，知9-2<x<9十2，即7<x<11. (2)因为AB=9,BC=2,AC=x,△ABC的周长为偶数， 所以x取奇数. 因为7<x<11,所以x的值是9， 所以△ABC的周长为9+2+9=20. 8.1.5或49.C10.A11.1612.2 13.解：(1)设第三根木棒长xm, 由三角形的三边关系，得5-3<x<5十3，即2<x<8. 故有规格为3m,4m,5m,6m的四种木棒可供小明的爷 爷选择 (2)由表及第(1)问可知，当第三根木棒长为3m时，最 省钱. 14.解：(1)BD PC BD+PCBP+PC (2)在△AMN中，AM+AN>MN=MP+PN, 在△MPB中，MB+MP>BP, 在△NPC中，PN+NC>PC, 将三个不等式左边、右边分别相加，得AM+AN十MB十 MP+PN+NC>MP+PN+BP+PC,AB+AC> BP+PC. 微专题2等腰三角形中的分类讨论思想 1.C2.C3.3 第4课时三角形的中线、高线和角平分线（一） 1.B2.B3.A4.55.A6.B7.ADBE2 9 8.A9.A10.D11.3或712.A13.9 14.解：因为AB/∥EC,∠B=65°，所以∠ECD=∠B=65°. 因为∠E=70°， 所以∠CDE=180°-∠E-∠ECD=180°-70°一 65°=45°. 因为DA平分∠CDE, 所以∠ADC=2∠CDE=2×45=2.5 因为∠ADC+∠CAD+∠ACD=18O°，∠ACB+∠ACD= 180°，所以∠ACB=∠ADC+∠CAD, 所以∠CAD=∠ACB-∠ADC=45°-22.5°=22.5° 15.解：(1)由题意，知BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∠ABC=40°，∠ACB=80°， 所以∠CB0=2∠ABC=20,∠B00=2∠ACB=40, 所以∠B0C=180°-∠CB0-∠BC0=120°. (2)因为∠A=60°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°. 因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CB0=∠ABC,∠B0-=∠ACB, 所以∠CBO+∠BD-=2(ZABC+∠ACB)=60, 所以∠BOC=180°-（∠CB0+∠BCO)=120°. (3)∠B0C=90+2∠A,理由如下： 因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,且BO平分∠ABC, CO平分∠ACB, 所以∠CB0=2∠ABC,∠B00=2∠ACB, 所以∠CB0+∠B0号（∠ABC+∠ACB)=90-2∠A, 所以∠B0C=180-(ZCB0+∠B0D)=90+2∠A 第5课时三角形的中线、高线和角平分线（二） 1.B2.A3.D4.C5.A6.C7.38.10°9.D 10.A11.C12.B13.2.4≤BM≤4 14.解：因为CD为△ABC的高，所以∠ADC=90°. 因为∠B=30°，∠ACB=75°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-75°=75°. 因为AE为△ABC的角平分线， 所以∠BAE=7∠BAC=37.5, 所以∠AFD=180°-∠ADC-∠BAE=52.5°， 所以∠AFC=180°-∠AFD=127.5° 15.解：(1)画AC边上的高BG如图1所示. DE,DF,BG之间的数量关系为BG= DE十DF,理由如下： 因为S AABC=S△ABD+S△ACD,DE⊥AB, DF⊥AC,BG⊥AC,AB=AC, 所以号AC·BG=号AB·DE十 AC·DF, 所以BG=DE十DF, (2)如图2所示，过点B作BG⊥AC交 AC于点G. 因为S△AB=S△ABD十S△ACD,DE⊥AB, DF⊥AC,AB=AC, 所以令AC·BG=2AB·DE十 ☒2 号Ac.Dr. 所以BG=DE+DF. 因为AB=AC,点D为BC的中点， 所以SAABD=S△CD, 即3AB.DE=AC·DP, 所以DE=DF, 所以BG=DE十DF=DE+DE=2DE. 答案：BG=2DE (3)如图3所示，过点B作BG⊥AC交 AC于点G 因为SAACD=SABD+SAABC,DE⊥ AB,DF⊥AC,AB=AC, D B 所以合AC·DF-合AB·DE+ 图3 2AC·BG, 所以DF=DE+BG. 答案：DF=DE十BG 培优专题一与三角形角平分线 有关的内角和问题 1.A【变式】65° 2.解：(1)因为∠C=68°，∠B=32°， 所以∠CAB=180°-（∠B+∠C)=80°. 因为AE平分∠BAC, 所以∠EAC=7∠BAC=2×80=40 因为AD⊥BC, 所以∠ADC=90° 因为∠C=68°， 所以∠DAC=180°-90°-68°=22°， 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-22°-18， (2)如图1，过点A作AD⊥BC于 点D. 因为PG⊥BC, 所以∠ADE=∠PGE=90°， B EGD C 所以ADPG, 图1 所以∠DAE=∠GPE: 因为∠CAB=180°-（∠B+∠C),AE平分∠BAC, 所以∠EAC=号∠BAC=号I80-(ZB+∠C】= 90°-∠B-2∠c 因为ADL⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠DAC=90°-∠C,第4课时 三角形的中线 基础夯实 》知识点一三角形的中线及重心 1.如图，在锐角三角形ABC中，AD为BC边 上的中线，则 () A.BD-AD B.BD=CD C.AD=AC D.AB=BC D B D 第1题图 第2题图 2.已知△ABC在正方形网格中的位置如图所 示，点A,B,C,P均在格点上，则点P是 △ABC的 A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高线的交点 D.无法确定 3.如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线， 已知BC=8,AB=5,△BCD的周长为20， 则△ABD的周长为 ( A.17 B.23 C.25 D.28 B 第3题图 第4题图 4.(2024·泰安期中)如图，点O是△ABC的重 心，延长AO交BC于点D,延长BO交AC 于点E.若BC=6,AC=4,则BD十AE= 》知识点二三角形的高 5.用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三 角尺的摆放位置正确的是 ( ) 第一章三角形 高线和角平分线（一） C D 6.如图，△ABC中BC边上的高、△BCE中BE 边上的高、△ACD中AC边上的高分别是 ( A.AF,CD,CE B.AF,CE,CD C.AC,CE,CD D.AC.CD,CE D B E 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，∠ACB>90°，AD⊥BC, BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为D,E,F,则 △ABC的边BC上的高为线段 ,边 AC上的高为线段 ;若AC=5, BC=4,BE=号则SaA8c 9 》知识点三三角形的角平分线 8.关于三角形的角平分线，下列说法正确的是 () A.线段 B.射线 C.直线 D.射线或线段 9.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是 △ABD的角平分线，若∠BAC=100°，则 ∠EAD的度数是 () A.25° B.45° C.50° D.75° b P C 第9题图 第10题图 10.如图，直线a,b被直线c所截，交点分别为 B,C,且直线a∥b,BP平分∠ABC,若 ∠1=120°，则∠2的度数是 () A.105° B.108° C.135° D.120° 7 练测考七年级数学上册LJ 》易错点考虑不周导致漏解 11.在△ABC中，BC边上的中线把三角形分割 为两部分，若分割的这两部分周长之差为2， AB=5,则AC= 能力提升 12.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的 中点，延长BG交AC于点E,点F为AB上 的一点，CF⊥AD于点H,则下列判断正确 的有 ①AD是△ABE的角平分线； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③CH为△ACD边AD上的高， A.1个B.2个 C.3个 D.0个 G H D D 第12题图 第13题图 13.如图，AD为△ABC的中线，DE,DF分别 为△ABD,△ACD的一条高，若AB=6, DE=4,DF三，则AC马 14.△ABC与△CDE的位置如图所示，BC, CD在同一条直线上，AB∥EC,连接AD, 若∠B=65°，∠ACB=45°，∠E=70°，DA 平分∠CDE,求∠CAD的度数. 8 素养培优 15.[运算能力]如图，在△ABC中，BO,CO是 △ABC的内角平分线且BO,CO相交于 点O. (1)若∠ACB=80°，∠ABC=40°，求∠BOC 的度数 (2)若∠A=60°，求∠BOC的度数 (3)试写出∠A与∠BOC满足的数量关系 式，并说明理由.