专题6.5-6.6 角与角的度量、角的大小比较（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

本初中数学讲义聚焦“角与角的度量、角的大小比较”核心知识点，系统梳理角的两种定义、四种表示方法、度分秒度量单位及换算、度量法与叠合法两种大小比较方法，通过易错点拨构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料以10个考点讲练为核心，涵盖钟面角、方向角等现实情境问题，典例结合变式训练培养数学眼光与运算能力，中考真题与基础、培优分层练习适配不同学情，助力教师课堂教学增效，学生课后查漏补缺，强化知识应用与思维发展。

专题6.5-6.6 角与角的度量、角的大小比较 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共54题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角的概念 1 知识点梳理02：角的表示方法 2 知识点梳理03：角的度量 3 知识点梳理04：角的大小比较 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：角的概念理解 4 考点2：角的表示方法 5 考点3：角的分类 7 考点4：钟面角 8 考点5：角的单位与角度制 9 考点6：角度的四则运算 10 考点7：方向角的表示 11 考点8：与方向角有关的计算题 13 考点9：角的比较 15 考点10：角的度数大小比较 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 26 知识点梳理01：角的概念 1.角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【易错点拨】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 知识点梳理02：角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 【易错点拨】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理03：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理04：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 考点1：角的概念理解 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【答案】(1)， (2)，， (3)有7个：，，，，，，． 【思路引导】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【规范解答】（1）解：能用一个字母表示的角有2个：； （2）解：以为顶点的角有3个：； （3）解：图中小于平角的角有7个：． 【考点剖析】本题主要考查了角的概念，熟练掌握是解决本题的关键． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画 条射线，图中共有 个角；画条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 3 10 【思路引导】本题考查了已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；根据规律求解即可. 【规范解答】解：由图可知，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有 个角． 故答案为：3；6；3；10；. 考点2：角的表示方法 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·期中）已知四点，，，，按照下列语句完成图形． (1)画直线，射线，射线； (2)连接交于点； (3)请用适当的方法表示以为顶点的所有角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，（不唯一，表示正确即可） 【思路点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的画法及角的表示方法，熟练掌握直线、射线、线段的定义和角的表示规则是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义，分别画出直线（向两端无限延伸）、射线（以为端点向延伸）、射线（以为端点向延伸）． （2）连接线段，找到其与的交点并标记为． （3）识别以为顶点的角，通过观察图形中以为端点的射线组成的角来表示． 【规范解答】（1）解：如图为所求； （2）解：如图为所求； （3）解：以为顶点的角：，，（不唯一，表示正确即可）． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请将图形中标有弧线的角表示出来． 【答案】，，，， 【思路点拨】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，先找到图中有弧线的角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可． 【规范解答】解：图形中标有弧线的角有，，，，. 【变式训练2】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【规范解答】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 考点3：角的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【思路点拨】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【规范解答】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【答案】B 【思路点拨】本题考查钝角的定义，以及周角、平角的度数，通过计算各选项的角度，结合钝角定义判断． 【规范解答】解：A、周角，计算得：，是直角，不符合题意； B、平角，计算得：，是钝角，符合题意； C、平角，计算得：，是直角，不符合题意； D、平角，计算得：，是锐角，不符合题意． 故选：B． 【变式训练2（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有 个锐角． 【答案】10/十 【思路点拨】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【规范解答】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 考点4：钟面角 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为 度． 【答案】160 【思路点拨】本题考查了钟面角，首先求出时针每分钟移动度，然后计算9时20分时时针和分针的位置，再求夹角． 【规范解答】∵钟表一圈为360度，平均分为12部分， ∴每部分为度， ∴时针每分钟移动度， ∵9时整，时针在数字9处，分针在数字12处， ∴9时20分时，时针转过的角度为度，此时分针在数字4处， ∴时针与分针所成的夹角为度． 故答案为：160． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查钟面角；钟面被12小时等分，每小时对应，下午3时整，分针指向12，时针指向3，两针相隔3小时，列式计算即可． 【规范解答】解：∵钟面一周，被12小时等分， ∴每小时对应角度为， ∵下午3时整，分针指向12，时针指向3， ∴两针相差3小时， ∴夹角为． 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是 ， ， ， ．（均小于） 【答案】 【思路点拨】此题考查的是角的运算的应用，读出钟表所显示的时间，明确钟表上每个大格是解题的关键． 根据钟面角的特点即可依次求解． 【规范解答】解：钟表上12个大格把一个周角12等分，每个大格， 巴黎的时间是1点，时针与分针之间共1个大格，故时针与分针所成的角是； 伦敦的时间是12点，故时针与分针所成的角是； 北京的时间是8点，时针与分针之间共4个大格，故时针与分针所成的角是； 东京的时间是9点，时针与分针之间共3个大格，故时针与分针所成的角是； 所以，四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别为，，，． 故答案为：，，，． 考点5：角的单位与角度制 【典例精讲】（25-26七年级上·山西临汾·月考）计算：（结果用度、分、秒表示） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）用度来表示 ． 【答案】38.49 【思路点拨】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键． 先将秒转换为分，再将分转换为度，最后与原始度部分相加即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了度和分之间的换算，根据进行求解即可． 【规范解答】解：，， 故答案为：；． 考点6：角度的四则运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山西晋城·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，角度的混合运算． （1）先计算乘方、绝对值，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除即可； （3）根据角度的加减运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了角度的计算，分别计算度、分、秒，单位间进率为60，不够减时借位． 【规范解答】． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·月考）化简： ； ． 【答案】 【思路点拨】本题考查角度的四则运算及角度的换算，根据角度的运算法则及进行换算即可求解． 【规范解答】解：； ． 故答案为：；． 考点7：方向角的表示 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是 ． 【答案】南偏东 【思路点拨】本题考查方向角，角的计算，熟练掌握方向角的概念是解决问题的关键． 由题中所给条件，利用射线与射线所夹的角是，求出即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示： ∵是北偏东方向的一条射线， ∴， ∵若射线与射线所夹的角是， ∴， ∴，即的方向角是南偏东． 故答案为：南偏东． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南新乡·月考）小豫在绘制开封古城文旅地图时，结合龙亭与山陕甘会馆的实际地理位置，下列说法正确的是（   ） A．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 B．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 C．山陕甘会馆在龙亭的北偏西方向上 D．山陕甘会馆在龙亭的南偏西方向上 【答案】A 【思路点拨】本题考查方位角，根据图示及方位角的表示方法即可求解． 【规范解答】解：由图可知，山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上． 故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【答案】D 【思路点拨】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 考点8：与方向角有关的计算题 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向角是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【思路点拨】本题考查了方向角的定义，理解题意是解题的关键． 根据角的和差求出的度数，再根据方向角的定义即可求解． 【规范解答】解：如图， 由题意得， ∴， ∴的方向角是北偏西． 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，若射线的方向是南偏东，，则射线的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【思路点拨】本题考查了方向角；根据题意得到，求出，即可解答． 【规范解答】解：如图， ∵射线的方向是南偏东， ∴， ∵， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，方向是北偏东 ， ． 【答案】 /60度 /105度 【思路点拨】本题考查方向角及平角的概念，熟练掌握方向角的概念及平角为是解题的关键． 根据图中所给角即方向的概念可得出方向是北偏东，利用平角为求即可． 【规范解答】解：由图知，与正东方向夹角为， 所以方向是北偏东； 又，所以． 故答案为：；． 考点9：角的比较 【典例精讲】（24-25七年级上·河南周口·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位进制是解题关键．根据，将转化为，由此即可得． 【规范解答】解：， ， 故， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【规范解答】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 【答案】＜ 【思路点拨】本题利用正方形网格的特点，通过观察角的两边张开程度或结合网格构造特殊角，来比较两个角的大小. 【规范解答】解：在正方形网格中，观察,其两边所在线段可形成等腰直角三角形的角，故； 再观察,其两边的张开程度小于等腰直角三角形的角的张开程度，因此, 所以. 故答案为：. 考点10：角的度数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角度制，角的大小比较，将的单位统一为度分形式，再进行比较大小，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）比较大小： （填“”“ ”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查度分秒的换算，关键是掌握度、分、秒相邻单位之间是60进制．将转换为度分形式，再与比较． 【规范解答】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【规范解答】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 1．（2024·全国·中考真题）比较大小： （填“”“ ”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是角度的大小比较，角的单位换算，掌握“角的进位制以及大化小用乘法”是解本题的关键； 先把化为，比较大小，从而可得答案； 【规范解答】解： ， ； 故答案为：． 2．（2024·广东佛山·中考真题）如图，钟面上的时间是，则时针与分针的夹角为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了钟面角，计算某一时刻时针和分针之间所成的角度，理解时针和分针运动规律是解题的关键．钟表一圈为，被分成12个大格，每个大格对应的圆心角为，分针走60分钟转一圈，时针转1个大格，以此规律计算即可． 【规范解答】解：时，分针正好指向6，即时针从12点方向到6点方向，分针转动了30分钟，此时时针转动了半个大格， 所以时针和分针的夹角为． 故答案为：． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）某快艇先向正北方向航行一段时间，再沿北偏西40°方向航行，最后再向右转60°继续航行，此时快艇航行的方向为（   ） A．北偏东60° B．北偏西60° C．北偏东20° D．北偏西20° 【答案】C 【思路点拨】本题需根据快艇航行过程中方向的转动情况，结合角度运算确定最终航行方向，关键是理清每次方向转动与原方向的角度关系． 【规范解答】解：某快艇先向正北方向航行一段时间，再沿北偏西方向航行，最后再向右转继续航行，此时，向东转与原来向西偏的作差，可得，即最终航行方向为北偏东 A、北偏东与计算得出的 北偏东不符，不符合题意； B、北偏西，最终方向应为北偏东，不符合题意； C、北偏东，与推导结果一致，符合题意； D、北偏西，最终方向应为北偏东，不符合题意． 故选：C ． 4．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】由作图可知：，推出射线是的角平分线，由此即可判断； 【规范解答】解：由作图可知：， ∴射线是的角平分线， 故A、C、D正确， 故选：B． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 【答案】问题一：（1）  （2） 或 问题二：（1）6， （2） 【思路点拨】本题考查了行程问题中的追及与距离计算、分类讨论思想，以及钟表问题中的角度运动规律，解题的关键是根据题意建立等量关系（如追及路程、角度差），并对多情况问题（如距离）进行分类讨论． 问题一（1）：利用“甲路程乙路程初始间距"列方程； 问题一（2）：分“追上前后”两种情况，列距离为 的方程； 问题二（1）：根据钟表总角度和时间计算每分钟转动角度； 问题二（2）：确定初始夹角，利用速度差（分针比时针快的角度）计算追及时间． 【规范解答】问题一 （1）当甲追上乙时，甲行驶的路程乙行驶的路程间距（）． 列方程：，即，解得． 故答案为：． （2）分两种情况： 甲未追上乙时，距离为 ： 列方程：， 即，解得； 甲追上乙后，距离为 ： 列方程：，即，解得． （验证：甲到C需，乙到C需，两解均合理） 问题二 （1）分针60分钟转，故每分钟转； 时针12小时（720分钟）转，故每分钟转． 故答案为：与． （2）2点时，时针与分针夹角为，设t分钟后重合，分针比时针多转： ，即 ， ∴ ． 基础夯实 1．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船的北偏东方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了方向角，掌握根据题意作出图形进行求解是解题的关键． 根据题意作出对应图形，得到，根据角的和差即可求解． 【规范解答】解：根据题意，作出图形如下， 可知， ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南红河·期末）某轮船在O处，测得灯塔A在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东的方向上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键．方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可求解． 【规范解答】解：∵轮船在O处，测得灯塔A在北偏东35的方向上，测得灯塔B在南偏东的方向上， ∴． 故选：B． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角度单位的换算，角度的大小比较．将∠1和∠3的度分秒转换为十进制度，再与∠2比较． 【规范解答】∵，，， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级上·陕西西安·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查角的度数大小比较，需要统一单位后比较．根据，将转换为度分形式，再与比较． 【规范解答】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【思路点拨】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【规范解答】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在A，B两处观测到C处的方向分别是 、 ． 【答案】 北偏东 北偏西 【思路点拨】本题考查的是方位角的含义，掌握方位角是解题的关键． 根据方位角的含义即可判断． 【规范解答】解：由图可知，在A，B两处观测到C处的方向分别是北偏东，北偏西． 故答案为：北偏东，北偏西 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考） ． 【答案】 90 5400 【思路点拨】本题考查了角度单位换算关系． 根据角度单位换算关系，1度分，1分秒，因此将度转换为分需乘以60，将分转换为秒需乘以60． 【规范解答】解：，． 故答案为：90，5400． 8．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请分别表示出图中的各角．当两个或两个以上的角有同一个顶点时，你还能用表示顶点的一个大写字母表示角吗？ 【答案】见详解 【思路点拨】本题主要考查角用符号表示，角的表示有：一个大写英文字母；三个大写英文字母；一个阿拉伯数字；一个希腊字母．根据题干选择三个大写英文字母表示，当两个或两个以上的角有同一个顶点时，用表示顶点的一个大写字母表示角时不知表示哪个角． 【规范解答】解：，，， 当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用表示顶点的一个大写字母表示角． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 【答案】(1)，，，；，；，，， (2)，，，；， 【思路点拨】本题主要考查角度的测量及大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． （1）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可； （2）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可． 【规范解答】（1）解：经测量得，，，，， 相等的角：，， 不相等的角：，，，． （2）解：经测量得，，，，， ，． 培优拔高 11．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）故宫在人民大会堂的北偏东方向上，那么人民大会堂在故宫的（    ）方向上 A．东偏北 B．东偏北 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【思路点拨】本题考查了方向角，根据方向的相对性，若点A在点B的北偏东方向，则点B在点A的南偏西方向，且角度不变，据此求解即可． 【规范解答】解：∵故宫在人民大会堂的北偏东方向上， ∴人民大会堂在故宫的南偏西方向上， 故选：C． 12．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）． A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了方向角的表示、方向角的计算等知识点，掌握方向角的表示方法是解题的关键． 用的度数减去，再结合图形即可解答． 【规范解答】解：∵点B在点O的北偏东方向上，， ∴． ∴点C在点O的北偏西方向上． 故选：B． 13．（24-25七年级上·云南楚雄·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点30分，时针与分针的夹角为90度 【答案】C 【思路点拨】本题考查了单项式的系数，精确度和近似数，度数大小比较 ，正确掌握单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小是解题的关键； 根据单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小比较方法逐项判断即可． 【规范解答】解：A、单项式的系数是，故该选项说法错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，精确到十分位，精确度不同，故该选项说法错误，不符合题意； C、，故该选项说法正确，符合题意； D、钟面上3时30分，时针与分针的夹角为75度，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 14．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【规范解答】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·天津·期末）比较大小： ；若，， 则 ；若 ，，则 （填“”、“”或“”号）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的大小比较，角的度数大小比较，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据“两个负数，绝对值大的反而小”可比较与的大小；统一单位后可比较与的大小；利用作差法可比较与的大小． 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：，，． 16．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了钟面角问题，钟表上有12个大格，每个大格，分针每分钟走，则时针每分钟走，据此即可求解． 【规范解答】解：由钟表可得，每个大格为，分针每分钟走，时针每分钟走， ∴夹角为：， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·宁夏银川·月考）每天下午14点20分上课铃都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【答案】/50度 【思路点拨】本题考查钟面角问题．时针每分钟移动0.5度，分针每分钟移动6度，通过计算时针和分针在2点20分时的位置角度差来求解． 【规范解答】解：下午14点整时，时针指向2，分针指向12，角度为， 经过20分钟，时针顺时针旋转，分针顺时针旋转， 故此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为：， 故答案为：． 18．（22-23七年级上·广东江门·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，角度的运算，熟练掌握有理数的运算法则，度分秒的进制是解题的关键． （1）先算乘方，再算除法，最后再算减法． （2）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（25-26七年级上·湖南·期末）在一个圆形时钟的表面，表示秒针，表示分针(为两针的旋转中心)． (1)若现在时间恰好是点整，问经过多少秒后，的面积第一次达到最大? (2)钟面上从点到点有几次时针与分针成角?分别是几点几分? 【答案】(1) (2)次，点整，分，点分，点分 【思路点拨】本题主要考查了钟面上的路程问题，解决本题的关键是弄清秒针与分针之间的速度关系； （）通过钟表秒针与分针所成三角形的面积的最值考查了它们的夹角， 面积由秒针和分针的夹角决定，夹角为时面积最大； （）将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来：时针转动的速度为分，分针为分，秒针为分；根据时针、分针转动的速度可知分针比时针每分钟转动的快，时针与分针的夹角为，依此列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设经过时 ，与第一次垂直，即的面积最大， 又因为分针旋转，秒针旋转， 于是 有， 解得； （2）解：第一次正好为点整； 第二次设为两点分时，时针与分针的夹角为， 则有， 解得(分) 第三次设为三点 分时， 时针与分针夹角为， 则， 解得(分) 第四次设为点分， 时针与分针夹角为，则，          解得(分) 故钟面上从点到点时针与分针的夹角为，分别是点整，点分，点分，点分． 20．（24-25七年级上·广东佛山·月考）（1）画出下列方向的射线，并标出角度．①：北偏东；②：西南方向． 根据画图填空： ． （2）已知，用尺规作（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 【思路点拨】（1）根据方向角的定义分别画图即可，由图即可得出的度数； （2）根据“尺规作一个角等于已知角”的方法先作，再作，则即为所求作． 【规范解答】解：（1）①如图，射线即为所求作； ②如图，射线即为所求作； 由图可得：， 故答案为：； （2）如图，即为所求作． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5-6.6 角与角的度量、角的大小比较 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共54题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角的概念 1 知识点梳理02：角的表示方法 2 知识点梳理03：角的度量 3 知识点梳理04：角的大小比较 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：角的概念理解 4 考点2：角的表示方法 4 考点3：角的分类 5 考点4：钟面角 5 考点5：角的单位与角度制 6 考点6：角度的四则运算 6 考点7：方向角的表示 7 考点8：与方向角有关的计算题 8 考点9：角的比较 8 考点10：角的度数大小比较 9 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 13 知识点梳理01：角的概念 1.角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【易错点拨】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 知识点梳理02：角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 【易错点拨】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理03：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理04：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 考点1：角的概念理解 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画 条射线，图中共有 个角；画条射线，图中共有 个角． 考点2：角的表示方法 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·期中）已知四点，，，，按照下列语句完成图形． (1)画直线，射线，射线； (2)连接交于点； (3)请用适当的方法表示以为顶点的所有角． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请将图形中标有弧线的角表示出来． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 考点3：角的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【变式训练2（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有 个锐角． 考点4：钟面角 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为 度． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是 ， ， ， ．（均小于） 考点5：角的单位与角度制 【典例精讲】（25-26七年级上·山西临汾·月考）计算：（结果用度、分、秒表示） (1)； (2)． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）用度来表示 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 考点6：角度的四则运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山西晋城·月考）计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式训练1】（24-25七年级上·上海·月考）计算： ． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·月考）化简： ； ． 考点7：方向角的表示 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南新乡·月考）小豫在绘制开封古城文旅地图时，结合龙亭与山陕甘会馆的实际地理位置，下列说法正确的是（   ） A．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 B．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 C．山陕甘会馆在龙亭的北偏西方向上 D．山陕甘会馆在龙亭的南偏西方向上 【变式训练2】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 考点8：与方向角有关的计算题 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向角是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【变式训练1】（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，若射线的方向是南偏东，，则射线的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，方向是北偏东 ， ． 考点9：角的比较 【典例精讲】（24-25七年级上·河南周口·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 考点10：角的度数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【变式训练1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）比较大小： （填“”“ ”或“”） 【变式训练2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 1．（2024·全国·中考真题）比较大小： （填“”“ ”或“”）． 2．（2024·广东佛山·中考真题）如图，钟面上的时间是，则时针与分针的夹角为 ． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）某快艇先向正北方向航行一段时间，再沿北偏西40°方向航行，最后再向右转60°继续航行，此时快艇航行的方向为（   ） A．北偏东60° B．北偏西60° C．北偏东20° D．北偏西20° 4．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（　　）    A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 基础夯实 1．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船的北偏东方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南红河·期末）某轮船在O处，测得灯塔A在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东的方向上，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西西安·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在A，B两处观测到C处的方向分别是 、 ． 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考） ． 8．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请分别表示出图中的各角．当两个或两个以上的角有同一个顶点时，你还能用表示顶点的一个大写字母表示角吗？ 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 培优拔高 11．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）故宫在人民大会堂的北偏东方向上，那么人民大会堂在故宫的（    ）方向上 A．东偏北 B．东偏北 C．南偏西 D．南偏西 12．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）． A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 13．（24-25七年级上·云南楚雄·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点30分，时针与分针的夹角为90度 14．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 15．（24-25七年级上·天津·期末）比较大小： ；若，， 则 ；若 ，，则 （填“”、“”或“”号）． 16．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是 ． 17．（25-26七年级上·宁夏银川·月考）每天下午14点20分上课铃都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 18．（22-23七年级上·广东江门·期末）计算： (1) (2) 19．（25-26七年级上·湖南·期末）在一个圆形时钟的表面，表示秒针，表示分针(为两针的旋转中心)． (1)若现在时间恰好是点整，问经过多少秒后，的面积第一次达到最大? (2)钟面上从点到点有几次时针与分针成角?分别是几点几分? 20．（24-25七年级上·广东佛山·月考）（1）画出下列方向的射线，并标出角度．①：北偏东；②：西南方向． 根据画图填空： ． （2）已知，用尺规作（保留作图痕迹） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $