期末冲刺大题分类训练：培优之动角问题压轴题 2025-2026学年浙教版七年级数学上册

期末冲刺大题分类训练：培优之动角问题压轴题 1．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　 　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 2．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N、Q分别在AB、AC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠NCB． （1）若∠A＝60°， ①∠BDC的度数为　 　 ． ②求∠BEC的度数． （2）如图，若在∠EBC内部作∠EBF，使∠EBC，在∠ECQ内部作∠ECF，使∠ECQ，则∠BEC和∠BFC有什么样的数量关系？请简述理由． 3．【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动． 【解决问题】 （1）在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系 　 　 ； （2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由； （3）当∠AOC、∠BOD中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直接写出所有满足条件的t值． 4．将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题： （1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数． （2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好使OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？ （3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由． 5．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为　 　 度； （2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角三角板从图1开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间t，若不存在，说明理由． 6．已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°． （1）如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD＝95°，求∠BOC的度数； （2）如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE∠AOC，∠DOF∠BOD，求∠EOF的度数． 7．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE的长为 　 　 cm． ②设AC＝acm，则线段DE的长为 　 　 cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示） 8．已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB′C′，旋转角记为∠α． （1）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB′C′． （3）当0°＜∠α＜90°时， ①若∠BAC′＝3∠BAB′，求∠α的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为BC上一点．．在旋转过程中，若∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值． 9．【综合与实践】：【实践操作】三角尺中的数学：数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】： （1）①填空：如图1，若∠ACB＝150°，则∠ACE的度数是 　 　 ，∠DCB的度数是 　 　 ，∠ECD的度数是 　 　 ； ②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论； 【类比探究】：（2）如图2，当△ACD与△BCE与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 10．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如30°，45°，60°，90°． ①小明利用三角尺作出了一个120°的角； ②小乐利用三角尺作出了一个15°的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角板作出多少度的角？（写出2种即可） 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题，∠AOB＝∠DCO＝90°，∠A＝45°，∠DOC＝30°，在∠BOD，∠AOC（∠BOD≤180°，∠AOC≤180°）内作射线OP，OQ，且∠POB＝2∠DOP，∠QOA＝2∠QOC，请求出∠POQ的度数； 【学以致用】 （3）小亮忘了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，他将这两个三角形放置在一起，如图2所示，∠AOB＝α，∠COD＝β，且，3∠QOC＝∠AOC，请你帮小亮用含α，β的式子表示∠POQ的度数（直接写出结果）． 11．【问题发现】 如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处． （1）①∠AOD与∠BOC的数量关系是 　 　 ． ②∠AOC与∠BOD的数量关系是 　 　 ． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处． ①∠AOD和∠BOC有怎样的数量关系？说明理由． ②∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系？说明理由． 12．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数； （2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角； （3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数． 13．已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　 　 ； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数． 14．定义：如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线“． （1）如图①，若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数＝　 　 ； （2）如图②，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN第一次成100°角时，射线PQ和射线PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“巧分线“？ 15．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，求∠MON； （2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转；n°（0＜n＜60），则∠MOC＝ 　 　 ，∠NOD＝ 　 　 ．（用n的代数式表示） （3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），则∠MON＝ 　 　 ． 16．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线． （1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　 °； （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线． ①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　 °； ②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数． 17．如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）∠ACE　 　 ∠BCD（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）当∠DCE＝15°时，求∠ACB的度数； （3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； （4）将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周，请直接写出此时∠ACE为多少度时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系． 18．在数学活动课上，张老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究∠AOD与∠BOC的数量关系． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，已知∠AOB＝∠COD＝90°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　 　 ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　 　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝∠COD＝45°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　 　 ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　 　 ． 【特例启发，解答题目】 （3）如图③，若∠AOB＝∠COD＝α，∠AOD＝β，则∠BOC＝　 　 （用含α和β的式子表示）． （4）如图④，已知∠AOB＝50°，∠COD＝100°，则∠AOD+∠BOC＝　 　 ． 19．如图1所示，三角板OCD的直角边OC靠在直线AB上，其中∠DCO为直角，∠COD为30°，将三角板OCD以O为中心顺时针旋转x°，射线OE，射线OF分别为∠AOC，∠BOD的角平分线． （1）如图2所示，当0＜x＜150°，∠AOE+∠BOF＝　 　 ； （2）如图3所示，在第（1）问的基础上，OG，OP分别为∠AOE，∠EOC内的射线，且∠POG＝50°，试证明：（∠AOG+∠POC）＝∠POG﹣∠BOF； （3）当0＜x＜360°，试猜想∠AOE与∠BOF的数量关系（直接写出所有情况）． 20．阅读材料： （1）【特例感知】 如图1，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，点C和点D分别是AM，BN的中点．若AM＝16cm，则CD＝　 　 cm； （2）【知识迁移】 我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON． ①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数．（写解答过程） ②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．（写解答过程） （3）【类比探究】 如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，则∠COD的度数为 　 　 ．（用含有k的式子直接表示计算结果） 参考答案 1．解：（1）∵是三角板， ∴∠ABC＝45°，∠ABD＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°， 故答案为：105°； （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°． 理由：如图①， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝60°+45°﹣90°＝15°； 如图②， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）＝360°﹣（60°+45°+90°）＝165°； （3）当边BE在边AB右侧时， 如图③，设∠ABE＝x， 则有2x＝x+60°， 解得x＝60°， 即此时∠ABE＝60°， 当边BE在边AB左侧时，如图④， 设∠ABE＝x， 则有x+2x＝60°， 解得x＝20°， 即此时∠ABE＝20°； 综上所述，∠ABE的度数为20°或60°． 2．解：（1）①如图，在△ABC中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝60°， 在△BDC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°， 故答案为：120°． ②如图，∠MBC和∠NCB是△ABC的外角， ∴∠MBC＝∠A+∠ACB，∠NCB＝∠A+∠ABC， ∴∠MBC+∠NCB＝180°+∠A， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠NCB． ∴∠EBC+∠ECB（∠MBC+∠NCB）＝90°∠A， ∴∠BEC＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A， ∵∠A＝60°， ∴∠BEC＝60°． （2）如图， ∵∠EBC，∠ECQ， ∴∠FBC∠EBC，∠FCQ∠ECQ， ∵∠ECQ是△EBC的一个外角， ∴∠ECQ＝∠BEC+∠EBC，即∠BEC＝∠ECQ﹣∠EBC， ∵∠FCQ是△FBC的一个外角， ∴∠FCQ＝∠BFC+∠FBC， ∴． 3．解：（1）①如图，∠AOC+∠BOD＝180°． 理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC． ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝180°． ②如图，∠AOC+∠BOD＝180°． 理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB． ∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝180°． 综上，∠AOC+∠BOD＝180°． （2）由题意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如图所示， 理由如下：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°． ∵∠COD＝90°， ∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°． ∴∠BOC＝∠BOD＝45°． ∴OB平分∠COD． 又∠BOD＝45°∠AOB， ∴OD平分∠AOB． （3）由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t． 当∠BOD＝2∠AOC时， 又∠AOC+∠BOD＝180°， ∴∠AOC＝60°． ∴15t＝60，解得t＝4． 当2∠BOD＝∠AOC时， 又∠AOC+∠BOD＝180°， ∴∠AOC＝120°． ∴15t＝120，解得t＝8． 综上，t＝4 或8． 4．解：（1）∠AOD＝∠AOB+∠COD＝60°+45°＝105°， （2）∵OB平分∠COD， ∴∠BOD∠COD＝22.5°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60+22.5°＝82.5°； （3）存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍． 令∠BOC＝x°， ∴∠AOC＝60°﹣x°，∠BOD＝45°﹣x°， ∵∠AOC＝3∠BOD， ∴60﹣x＝3（45﹣x）， ∴x＝37.5， ∴∠BOD＝45°﹣37.5°＝7.5°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+7.5°＝67.5°． 5．解：（1）根据旋转的性质可知： 旋转角为∠MON＝90°． 故答案为90． （2）如图3：∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下： ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∠AOC：∠BOC＝1：2， ∴∠AOC+2∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝60°， ∴∠AON+CON＝60°，① ∵∠MON＝90°， ∴∠AOM+∠AON＝90°，② ②﹣①，得∠AOM﹣∠CON＝30°． （3） 如图4，当OM平分∠BOC时，ON所在直线平分∠AOC， ∠BOM＝60°， ∴三角板绕点O逆时针旋转60°， 此时t＝60÷30＝2（秒）； 如图5，当ON平分∠AOC时，OM所在直线平分∠BOC， ∠CON＝30°， ∴三角板绕点O逆时针旋转240°， 此时t＝240÷30＝8（秒）． 当OM旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒． 答：旋转时间为2秒或5秒或8秒． 6．解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOD＝95°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣95°＝25°， ∵∠COD＝60°， ∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝60°+25°＝85°； （2）∠AOD与∠BOC互补，理由： ∵∠AOB+∠COD＝120°+60°＝180°， ∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD， ∴∠AOB+∠COD＝∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD ＝∠AOD+∠BOC＝180°， ∴∠AOD与∠BOC互补； （3）设∠BOC＝n°， 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∵∠AOE∠AOC， ∴∠EOC∠AOC＝40°n°． ∵∠DOF∠BOD， ∴∠DOF（60+n）＝20°n°， ∴∠COF＝∠COD﹣∠DOF＝40°n°， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝40°n°+40°n°＝80°． 7．解：（1）①∵AC＝4cm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm）， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CD＝2cm，CE＝6cm， ∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）； 故答案为：8cm； ②∵AC＝acm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝（16﹣a）cm， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CDacm，CE（14﹣a）cm， ∴DE＝CD+CEa（16﹣a）＝8（cm）； 故答案为：8cm； （2）∵由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC，∠CON∠COB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON（∠AOC+∠COB）∠AOB＝60°， 即∠MON的度数为60°； （3）∵∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON， ∴∠MOD∠AOD，∠CON∠BOC， ∵∠AOB＝α，∠COD＝30°， ∴∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD ∠AOD∠BOC∠COD∠COD （∠AOD+∠BOC+∠COD）∠COD ∠AOB∠COD α+10°， 即∠MON的度数为α+10°． 8．解：（1）∵将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝α＝75°，∠B′AC′＝∠BAC＝60°， ∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠BAC＝15°， ∠BAC′＝∠BAB′+∠B′AC′＝135°； （2）△AB′C′即为所求作； （3）①如图，当旋转方向为逆时针方向时，∠BAC′＝∠α+60°，∠BAB′＝∠α， ∵∠BAC′＝3∠BAB′， ∴∠α+60°＝3∠α， 解得∠α＝30°； 当旋转方向为顺时针方向时，∠BAC′＝60°﹣∠α，∠BAB′＝∠α， ∴∠BAC′＝3∠BAB′， ∴60°﹣∠α＝3∠α， 解得∠α＝15°； 综上，∠α的度数为15°或30°； ②由旋转性质可得，∠C′AC＝∠B′AB＝∠α， ∵，∠CAB＝60°， ∴， ， ∴， ∵∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD+∠BAD为定值， ∴， 解得， ∴常数m的值为． 9．解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ACB＝150°， ∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°， ∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝30°， 故答案为：60°，60°，30°； ②∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠BCD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵∠ACB+∠ECD＝∠ACD+∠BCD+∠ECD＝∠ACD+∠ECB＝90°+90°＝180°， ∴∠ACB+∠ECD＝180°， （2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论，依然成立； ∵∠ACD＝∠ECB＝90°， ∴∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE， ∴∠ACE＝∠DCB， ∵∠ACD＝∠ECB＝90°， ∴∠ACD+∠ECB＝180°， ∵∠ACD+∠ECD+∠ECB+∠ACB＝360°， ∴∠ACB+∠ECD＝180°， ∴∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°． 10．解：（1）用三角板还能作出75°和105°的角； （2）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°， ∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC＝240°， ∵∠POB＝2∠DOP，∠QOA＝2∠QOC， ∴∠DOP∠BOD，∠QOC∠AOC， ∴∠DOP+∠QOC（∠BOD+∠AOC）＝80°， ∵∠POQ＝∠DOP+∠QOC+∠COD，∠COD＝30°， ∴∠POQ＝80°+30°＝110°； （3）∵，3∠QOC＝∠AOC， ∴设∠POD＝x，∠QOC＝y， ∴∠BOD＝3x，∠AOC＝3y， ∵∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC＝360°， ∴α+3x+β+3y＝360°， ∴x+y（360°﹣α﹣β）， ∴∠POQ＝∠POD+∠COD+∠COQ＝x+y+β（360°﹣α﹣β）+β＝120°β． 11．解：（1）①由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOC＝∠COD+∠BOD， ∴∠AOD＝∠BOC； ②由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°， ∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝180°， 故答案为：①∠AOD＝∠BOC；②∠AOC+∠BOD＝180°； （2）由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD， ∴∠AOD＝∠BOC； ②由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD﹣∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°． 12．解：（1）∵∠M＝10°21′， ∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′； （2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD； ∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD； （3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角， 设∠AOB＝α， 则∠AOC＝3α，∠COD＝4α， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α， ∵∠BOD＝90°， ∴6α＝90°， ∴α＝15°， ∴∠BOC＝2α＝30°． 13．解：（1）∵射线OB在∠COD内部， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°， 故答案为：∠AOD+∠BOC＝180°； （2）∵射线OA，射线OB都在∠COD外部， ∴∠AOD+∠BOC＝180°， ∵，，即∠AOF∠AOD， ∴4∠BOE+4∠AOF＝180°，即∠BOE+∠AOF＝45°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE＝135°； （3）设∠GOF＝4x，则∠GOE＝5x， ①当射线OG在∠EOF内部时， 4x+5x＝135°， 解得：x＝15°， 此时∠GOE＝75°， ②当射线OG在∠EOF外部时， 4x+5x＝360°﹣135°， 解得：x＝25°， 此时∠GOE＝125°， ∴∠GOE＝75°或∠GOE＝125°． 14．解：（1）∵∠AOB＝60°，且射线OC在∠AOB的“巧分线”， ∴∠AOC＝3∠BOC或∠BOC＝3∠AOC或∠AOB＝3∠AOC或∠AOB＝3∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°， 故答案为：15°或20°或40°或45°； （2）当∠MPQ＝3∠NPQ时，则60+3t﹣4t＝3×4t， ∴； 当∠MPN＝3∠NPQ时，则60+3t＝3×4t， ∴； 当∠MPN＝3∠MPQ时，则60+3t＝3×（60+3t﹣4t）， ∴t＝20； 当∠NPQ＝3∠MPQ时，则4t＝3（3t+60﹣4t）， ∴． 此时，故不符合题意，舍去； 综上，当t为或或20时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”； 15．解：（1）∵，， ∴∠DON＝60°﹣20°＝40°， ∴∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON ＝120°+60°﹣40°﹣40° ＝100°； （2）如图， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∵，， ∴，， 故答案为：80°n°，40°n°； （3）①当0＜n＜60时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∵，， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON ＝100°； ②当60＜n＜120时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC﹣∠BON ＝100°． 综上所述：∠MON的度数为100°． 故答案为：100°． 16．解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA， ∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°， ∴∠AOP＝20°， ∴∠BOP＝40°， 故答案为：40； （2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）， ∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ， ∵∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°， ∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°， ∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°， 故答案为：135； ②不变， ∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB， ∴，， ∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，，，，，＝135°； ③设∠MOC＝α， ∵∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°﹣α， ∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线， ∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON， ∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°， ∴， ∴α＝67.5°， ∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°， ∴∠AOC＝90°． 17．解：（1）∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 故答案为：“＝”； （2）∵∠DCE＝15°，∠ACE+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝75°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°+90°＝165°； （3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下： ∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°， ∴（∠ACE+∠DCE+∠BCD）+∠DCE＝180°， ∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD， ∴∠ACB+∠DCE＝180°； （4）①当2∠ECD＝∠ACB时， ∵∠ACB+∠DCE＝180°，2∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECD＝60°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ACE为30°，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系； ②当∠ECD＝2∠ACB时， ∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB＝360°， ∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ECD+∠ACB＝180°， ∵∠ECD＝2∠ACB， ∴∠ECD＝60°，∠ACB＝120°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠ECD＝90°+60°＝150°， ∴∠ACE为150°，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系； ③当∠ECD＝2∠ACB时， ∠ECD＝120°，∠ACB＝60°， 综上所述，当∠ACE为30°或150°时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系． 18．解：（1）∵∠AOB＝90°，且∠AOD＝25°， ∴∠AOC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠BOC＝AOC+∠AOB＝65°+90°＝155°． ∴∠AOD+∠BOC＝25°+155°＝180°． 故答案为155°，180°． （2）∵∠AOB＝45°，且∠AOD＝25°， ∴∠BOD＝45°﹣25°＝20°， ∴∠BOC＝∠DOC+∠BOD＝45°+20°＝65°． ∴∠AOD+∠BOC＝25°+65°＝90°． 故答案为65°，90°． （3）∵∠AOB＝α，∠AOD＝β， ∴∠BOD＝α﹣β， ∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝α﹣β+α＝2α﹣β． 故答案为：2α﹣β． （4）设∠AOD＝γ， ∴∠BOD＝50°﹣γ， ∴∠AOD+∠BOC ＝∠AOD+∠BOD+∠COD ＝γ+50°﹣γ+100° ＝150°， 故答案为：150°． 19．解：（1）解：∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝180°，∠COD＝30°， ∴∠AOC+∠BOD＝150°， ∵射线OE，射线OF分别为∠AOC，∠BOD的角平分线， ∴∠AOE∠AOC，∠BOF∠BOD， ∴∠AOE+∠BOF（∠AOC+∠BOD）＝75°． 故答案为：75°． （2）证明：∵∠AOG+∠POG+∠COP＝∠AOC， ∴∠AOG+∠POC＝∠AOC﹣∠POG， 由（1）知，∠AOE∠AOC，∠AOE+∠BOF＝75°， ∴∠AOC＝150°﹣2∠BOF， ∴（∠AOG+∠POC）（∠AOC﹣∠POG）（150°﹣2∠OBF﹣∠POG）＝75°﹣∠BOF∠POG， ∵∠POG＝50°， ∴75°∠POG， ∴75°﹣∠BOF∠POG＝∠POG﹣∠OBF， ∴（∠AOG+∠POC）＝∠POG﹣∠BOF； （3）解：根据（1），得当0°＜x≤150°时， ∴∠AOE+∠BOF＝75°； 当150°＜x≤180°时， ∵∠AOC＝180°﹣∠BOC， ∴∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣∠BOC﹣∠BOD， ∴∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣（∠BOC+∠BOD）＝180°﹣∠DOC＝150°， ∴∠AOC∠BOD＝75°， ∴∠AOE﹣∠BOF＝75°； 当180°＜x≤330°时， ∵∠AOC＝180°﹣∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠BOC+∠BOC+∠DOC， ∴∠AOC+∠BOD＝180°+∠DOC＝210°， ∴∠AOC∠BOD＝105°， ∴∠AOE+∠BOF＝105°； 当330°＜x≤360°时， ∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，∠AOC＝∠DOC﹣∠AOD， ∴∠BOD﹣∠AOC＝180°﹣∠AOD﹣（∠DOC﹣∠AOD）＝180°﹣∠DOC＝150°， ∴∠BOD∠AOC＝75°， ∴∠BOF﹣∠AOE＝75°； 综上所述，当0°＜x≤150°时，∠AOE+∠BOF＝75°； 当150°＜x≤180°时，∠AOE﹣∠BOF＝75°； 当180°＜x≤330°时，∠AOE+∠BOF＝105°； 当330°＜x≤360°时，∠BOF﹣∠AOE＝75°． 20．解：（1）∵MN＝30cm，AB＝2cm，AM＝16cm， ∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝12（cm）， ∵点C和点D分别是AM，BN的中点， ∴ACAM＝8cm，BDBN＝6cm． ∴AC+BD＝14（cm）． ∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）． 故答案为：16． （2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON， ∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON． ∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）． 又∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝∠MON﹣∠AOB＝120°． ∴∠AOC+∠BOD＝60°． ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝60°+30°＝90°． ②∠COD（∠MON+AOB）．理由如下： ∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON， ∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON． ∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）． ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB （∠AOM+∠BON）+∠AOB （∠MON﹣∠AOB）+∠AOB． （∠MON+AOB）． （3）∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝120°， ∵∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，， ∴∠AOM＝∠MOC+∠AOC＝（1+k）∠AOC， ∠BON＝∠NOD+∠BOD＝（1+k）∠BOD， ∴∠AOC+∠BOD， ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB30°， 故答案为：30°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/15 13:45:09；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $