精品解析：云南省昭通市昭阳区部分校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期学生综合素养阶段性评价八年级数学（4）试题卷 （满分100分，时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题2分，共30分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑） 1. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 等腰三角形 2. 有四根长度分别为、、、的小木棍，从中选取三根可以摆成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 3. 如图，在中，，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 4. 如图，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 5. 关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三条角平分线的交点处 10. 已知是方程组的解，则的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 11. 如图，直线，将一块含有45°角直角三角板按如图放置，若∠1＝50°则∠2＝（ ） A. 45° B. 40° C. 50° D. 60° 12. 定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（ ） A. B. C. D. 13. 如果乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A. 2 B. C. 12 D. 1 14. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 15. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为第2025次输出的结果为（ ） A 1 B. 3 C. 9 D. 27 二、填空题（每小题2分，共8分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的撗线上） 16. 已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 17. 不等式的解集为______． 18. 已知等腰三角形的一个内角与其外角之比为，求等腰三角形顶角度数为______． 19. 如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为_______． 三、解答题（共8题，共62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算： （1） （2） 21. 如图，B是线段AC中点，，求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）将先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出，并写出各顶点的坐标； （3）若点与点A关于x轴对称，求a，b的值． 23. 如图，小明和小华参加寻宝游戏，“宝物”藏在点处．小明在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即）；小华在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即），已知小华在小明的正东方向距离处，求小华与“藏宝地”之间的距离（即的长）． 24. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 25. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组思想方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 26. 已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有32吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，且恰好一次运完．请求出所有租车方案． （3）在（2）的条件下，若A型车每辆需租金80元/辆，B型车每辆需租金100元/辆，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 27. 如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． （1）当是等腰三角形时，求出的度数； （2）求证：； （3）当是等腰三角形时，求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学生综合素养阶段性评价八年级数学（4）试题卷 （满分100分，时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题2分，共30分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑） 1. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴数量，分别找出各选项的对称轴数量，选出最多的即可． 【详解】解：圆有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，圆的对称轴最多； 故选A． 2. 有四根长度分别为、、、的小木棍，从中选取三根可以摆成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：A、，不能摆成三角形，不符合题意； B、，不能摆成三角形，不符合题意； C、，不能摆成三角形，不符合题意； D、，能摆成三角形，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，，则（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 直角三角形． 故选：C． 4. 如图，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定， 先根据角平分线的判定得平分，再根据角平分线的定义解答即可. 【详解】解：∵， ∴平分. ∵， ∴. 故选：B. 5. 关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，已知方程的解求参数和代数式的值的知识点；根据一元一次方程的定义，未知数的指数为1，可求出的值；再根据方程的解代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：因为 方程 是关于的一元一次方程， 则， 解得 ， 方程为 ， 又因为 是方程的解， 则， 即 ， 解得 ， 所以， 故选A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方等法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】A：两项的指数不同，不是同类项，无法合并，结果应为，故A错误； B：同底数幂相乘，指数应相加，即，而非，故B错误； C：同底数幂相除，指数应相减，即，而非，故C错误； D：根据积的乘方，，与选项一致，故D正确． 故选：D． 7. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得到，然后根据线段关系求出，即可求出． 【详解】解： 由图可知， 即，解得： 故选：B． 8. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据分解因式把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、等式右边是整式积的形式，故是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D、因为 ，所以该等式不成立，不是正确的变形，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 9. 某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三条角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 10. 已知是方程组的解，则的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程组，可得关于a、b的方程组，继而根据二元一次方程组的解法即可求出答案． 【详解】将代入， 可得：， 两式相加：， 故选A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法. 11. 如图，直线，将一块含有45°角的直角三角板按如图放置，若∠1＝50°则∠2＝（ ） A. 45° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据平行线的性质求得∠3=∠1=50°，再根据∠2+90°+∠3=180°，即可求出∠2度数． 【详解】解：如图， ∵lm， ∴∠3=∠1=50°， ∵∠2+90°+∠3=180°， ∴∠2=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12. 定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法． 根据题意得到，，进而得到，根据定义可知 【详解】解：∵若（其中：，，以下同），则．设，， ∴，， ∴， ∵若（其中：，，以下同），则， ∴ 故选：B． 13. 如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A. 2 B. C. 12 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 14. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 15. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为第2025次输出的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字变化的规律，根据题意，能通过计算发现从第三次输出的结果开始，后面的奇数次输出的结果为3，偶数次输出的结果为1，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当开始输入的x值为81时， 第一次输出的结果为27， 第二次输出的结果为9， 第三次输出的结果为3， 第四次输出的结果为1， 第五次输出的结果为3， 第六次输出的结果为1， …， 由此可见，从第三次输出的结果开始，后面的奇数次输出的结果为3，偶数次输出的结果为1． 因为2025为奇数， 所以第2025次输出的结果为3． 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共8分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的撗线上） 16. 已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 17. 不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解法，熟练掌握一元一次不等式的解法，是解题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1，即可解得一元一次不等式． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 解得：， 故答案为：． 18. 已知等腰三角形的一个内角与其外角之比为，求等腰三角形顶角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等腰三角形的定义，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出与外角相邻的内角的度数，再分“这个内角为顶角” 、“这个角为底角”两种情况讨论，分别求得等腰三角形顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形一个内角与其外角之比为， ∴则这个内角为， 若这个内角为顶角，则等腰三角形顶角度数为， 若这个角为底角，则等腰三角形顶角度数为． 故答案为：或． 19. 如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积，据此可求出的面积． 【详解】解：是边的垂直平分线，, ， 又,, , . 故答案为：12． 三、解答题（共8题，共62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算、实数的混合运算. （1）利用完全平方公式和平方差公式展开合并同类项即可； （2）利用算术平方根、绝对值、零指数幂、立方根进行计算即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 如图，B是线段AC的中点，，求证：． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证． 【详解】证明∵B是AC中点， ∴AB=BC， ∵， ∴∠A=∠EBC， ∵， ∴∠DBA=∠C， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE(ASA)． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）将先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出，并写出各顶点的坐标； （3）若点与点A关于x轴对称，求a，b的值． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，轴对称的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）分别作出点关于y轴对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点平移后的点，再顺次连接即可得到，在坐标系中可直接写出各顶点的坐标； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【小问1详解】 解：如答图所示． 【小问2详解】 解：如答图所示．． 【小问3详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ， ． 23. 如图，小明和小华参加寻宝游戏，“宝物”藏在点处．小明在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即）；小华在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即），已知小华在小明的正东方向距离处，求小华与“藏宝地”之间的距离（即的长）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与方向角有关的角度运算、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，根据方向角及三角形的外角性质求得，根据等角对等边可求得． 【详解】解：， ． ， ， ． 答：小华与“藏宝地”之间的距离为． 24. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 25. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 26. 已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有32吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，且恰好一次运完．请求出所有租车方案． （3）在（2）的条件下，若A型车每辆需租金80元/辆，B型车每辆需租金100元/辆，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨 （2）该物流公司共有2种租车方案：方案1：租4辆A型车，4辆B型车；方案2：租9辆A型车，1辆B型车 （3）租4辆A型车，4辆B型车最少，最少租车费为720元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及列式计算． （1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的车辆可一次运载货物32吨且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各租车方案； （3）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 依题意得：， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨． 【小问2详解】 解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案： 方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 方案2：租9辆A型车，1辆B型车． 【小问3详解】 解：方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 费用为：（元）， 方案2：租9辆A型车，1辆B型车； 费用为：（元）， 答：租4辆A型车，4辆B型车最少，最小费用为元． 27. 如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． （1）当是等腰三角形时，求出的度数； （2）求证：； （3）当是等腰三角形时，求出的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的大小为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形和全等三角形． （1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． 【小问2详解】 证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ； 【小问3详解】 解：的大小为或或； 理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $