精品解析：河南省平顶山市宝丰县2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

2025-2026学年第一学期评估试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是成比例线段，其中，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 5. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当 时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数的图象上，则 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 某学校食堂准备了五种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好都选到A种营养套餐的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边 离地面的高度，则树高 是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点 在边 上，连接 ，将 沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，D是 的边 的中点，F是 上一点，且，连接 并延长，交 于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为________ 12. 如果 和 成反比例关系，当 时， ，那么当 时，_____． 13. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 14. 如图，矩形 的顶点 的坐标为， 是 的中点， 是 上的一点，当三角形 的周长最小时，点 的坐标是___________． 15. 如图，在矩形中，，延长 到点 ，使，连接 ，动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点 运动，设点 的运动时间为 秒，当以为顶点的三角形和 相似时， 的值为___________． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 17. 化学实验课上，老师安排四个常考的实验，让同学们随机抽签选择一个． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小颖从四个实验中随机抽一个，则抽到实验 的概率为___________； （2）若小颖先从这四个实验中随机抽一个实验，小刚再从剩下的三个实验中随机抽一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 18. 如图，已知在 中， ， ，， ，．求 和 的长度． 19. 如图，四边形是一张矩形纸片，，将纸片沿某条直线折叠时，点 恰与点 重合． （1）请你用无刻度的直尺和圆规作出这条直线，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接 ， ，判定四边形 的形状，并说明理由； 20. 如图，一次函数与反比例函数图象交于点． （1）反比例函数解析式：___________，一次函数解析式：___________ （2）点 在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为 ，过点 作 轴的垂线，交 于点，求 的值． 21. 体育是“五育并举”的重要组成部分，助力学生综合素质发展．如今跳绳成为中小学生必备的体育用品，某体育用品商店将进货价为30元的跳绳，以40元售出．经统计，1月份的销售量为256根，3月份的销售量为400根． （1）求这款跳绳1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）进入4月淡季后，商店为了减少库存，以3月份的销量为基础，采用降价促销方式．经调查发现，跳绳的销售价每降低1元，月销售量就会增加20根．该商店要想要使4月销售利润达到3520元，这款跳绳的销售价应为多少元？ 22. 数学来源于生活，服务于生活．同学们利用相似三角形相关知识测距： 【活动1】 （1）如图1，在反射现象中，反射角 等于入射角 ．如图2所示，琪琪将镜子放在地面上，后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端 ，测得脚掌中心位置 到镜面中心 的距离是，镜面中心 距离旗杆底部 的距离为 ，已知琪琪的身高是，眼睛位置 距离琪琪头顶的距离是，则图中相似三角形为___________，旗杆 的高度是___________m． 【活动2】 （2）如图3，小明和小亮去游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.7米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离 为2米，凉亭离城楼底部的距离 为38米，小亮身高为1.8米．求城楼的高度． 23. 【综合与实践】 如图，在 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ，，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点 与点 关于 对称，连接 ，EF， ，如图3．已知 ，，设，求 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期评估试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 2. 已知是成比例线段，其中，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例线段的计算，根据比例线段得出对应比例关系是解题的关键．根据成比例线段的定义，有 ，从而 ，代入已知值计算出的值即可． 【详解】解：∵ ， ，，是成比例线段， ∴，即 . ∵， ∴ , 解得， 即线段d的长度为 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵ ，四边形 是平行四边形， ∴四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形 是矩形， ∴四边形 是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形 是平行四边形，就有 ， ∴加上 条件，不能说明四边形 是菱形． 则C不正确； ∵ ，四边形 是菱形， ∴四边形 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 5. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当 时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当 ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 随 的增大而减小；当 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 随 的增大而增大．根据反比例函数图象上点的坐标特征对B、D进行判断；根据反比例函数的性质对A、C进行判断． 【详解】解：， 图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； 当 时，， 点不在反比例函数的图象上， 故B选项不正确，不符合题意， ， 根据反比例函数的增减性，在每个象限内， 随 的增大而增大， 当 时，y随x的增大而增大 故C选项正确，符合题意； 若点都在函数图象上， ，， ， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据每天遗忘百分比 ，两天后记得的知识量为，以此可列出方程． 【详解】解：设原始知识量为 ， ∵每天遗忘的百分比为x， ∴一天后记得的知识为， 两天后记得的知识为， 又∵两天不练丢一半， ∴， 故选：A． 7. 某学校食堂准备了五种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好都选到A种营养套餐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率计算，掌握简单事件的概率求值是解题的关键．利用乘法原理求出所有情况的种类，再求特定事件的概率． 【详解】解：∵小明有5种选择，小亮有5种选择， ∴总可能结果为种 而两人都选 只有1种情况， ∴概率为． 故选A． 8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边 离地面的高度，则树高 是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出 和相似是解题的关键． 先判定 和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 的长，再加上 即可得解． 【详解】解：在 和中， 即 解得： ， 即树高． 故选：B． 9. 如图，在菱形 中，，点 在边 上，连接 ，将 沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质，根据菱形的性质求出，根据折叠的性质求出， ，解直角三角形求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴ ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，D是 的边 的中点，F是 上一点，且，连接 并延长，交 于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作，交 于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交 于H， 则， 是 的边 的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为________ 【答案】1:9 【解析】 【分析】由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比． 【详解】∵相似△ABC与△DEF的相似比为1:3， ∴△ABC与△DEF的面积比为1:9. 故答案为1:9. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质. 12. 如果 和 成反比例关系，当 时， ，那么当 时，_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例的意义及识别．根据反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 和 成反比例关系，当 时， ， ∴， 故当 时，， 故答案为：6 13. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 如图，矩形 的顶点 的坐标为， 是 的中点， 是 上的一点，当三角形 的周长最小时，点 的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称相关的线段最值问题，根据轴对称性质找出符合要求的最值相关线段是解题的关键． 根据题意，要使的周长最小，即最小，且点 为 上一动点，作 关于 轴的对称点，连接，则线段与 轴交点即为点 的坐标． 【详解】解：∵点 坐标为，结合四边形为矩形， 则， ∵点 是 的中点，故点 的坐标为， 要使的周长最小，即最小， 作 关于 轴的对称点， 则的坐标为，连接， 即当点 为线段与 轴交点时，最小， 假设所在直线表达式为 ， 将点，代入函数表达式， 得 ，解得， 则所在直线表达式为， 当 时，，故点 坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形 中，，延长 到点 ，使，连接 ，动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点 运动，设点 的运动时间为 秒，当以为顶点的三角形和 相似时， 的值为___________． 【答案】1或4或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意可得当点 在 上时，始终满足，故该组角邻边对应成比例即可满足三角形相似，当 在 边上时，始终满足，同样该组角邻边对应成比例即可满足三角形相似，由此进行比例的计算，得出 的值． 【详解】解：当点 在 上，， ∵，故满足或， 均满足以为顶点的三角形和 相似， 即，解得； 或，解得； 当点 在 上，∵，结合，， 由勾股定理可得 则， ∵，故满足或， 均满足以为顶点的三角形和 相似， 即，解得； 或，解得（此时点 不在 上，故舍去）； 综上所述，当 的值为 、 、时，满足以为顶点的三角形和 相似， 故答案为：1或4或． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： ， . 17. 化学实验课上，老师安排四个常考的实验，让同学们随机抽签选择一个． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小颖从四个实验中随机抽一个，则抽到实验 的概率为___________； （2）若小颖先从这四个实验中随机抽一个实验，小刚再从剩下的三个实验中随机抽一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出小颖从四个实验中随机抽一个，即可求出抽到实验 的概率为； （2）先画树状图，得出总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而两个实验均能制取氧气的结果有2种：，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，小颖从四个实验中随机抽一个， ∴抽到实验 的概率为； 【小问2详解】 解：依题意，树状图如下： 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而两个实验均能制取氧气的结果有2种：， 两个实验均能制取氧气的概率为． 18. 如图，已知在 中， ， ，， ，．求 和 的长度． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理；由得，由 得可求出 ，由 得可求出 . 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ， . 19. 如图，四边形 是一张矩形纸片，，将纸片沿某条直线折叠时，点 恰与点 重合． （1）请你用无刻度的直尺和圆规作出这条直线，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接 ， ，判定四边形 的形状，并说明理由； 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用尺规作图，作 的垂直平分线即可； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 如图，直线 即为求作的直线； 【小问2详解】 结论：四边形 为菱形，理由如下： 四边形 是矩形， ， ， 由（1）易得 垂直平分 ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， 又 四边形 为菱形； 20. 如图，一次函数与反比例函数图象交于点． （1）反比例函数解析式：___________，一次函数解析式：___________ （2）点 在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为 ，过点 作 轴的垂线，交 于点，求 的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点距离的计算； （1）设反比例函数解析式为，一次函数解析式为，先将点代入反比例函数解析式求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入一次函数解析式即可求出； （2）由题意得，分类讨论：当D点在C点上方时，，当C点在D点上方时，，分别求出a的值，再根据点 在反比例函数第二象限的图象上，最后确定a的值. 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为，一次函数解析式为， ∵一次函数与反比例函数图象交于点， ∴， 解得： ∴， 代入得：， 解得： ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为 . 故答案为：， . 【小问2详解】 解：轴， 由题意得， ， 当D点在C点上方时，， 化简得： 解得：或， 当C点在D点上方时，， 化简得： 解得：或 ， 点 在第二象限， 或 . 故答案为：或 . 21. 体育是“五育并举”的重要组成部分，助力学生综合素质发展．如今跳绳成为中小学生必备的体育用品，某体育用品商店将进货价为30元的跳绳，以40元售出．经统计，1月份的销售量为256根，3月份的销售量为400根． （1）求这款跳绳1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）进入4月淡季后，商店为了减少库存，以3月份的销量为基础，采用降价促销方式．经调查发现，跳绳的销售价每降低1元，月销售量就会增加20根．该商店要想要使4月销售利润达到3520元，这款跳绳的销售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）38元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题； （1）设这种跳绳销售量的月平均增长率为 ，根据1月份的销售量为256根，3月份的销售量为400根，可列出方程； （2）设每根跳绳降价 元，月销售量，而总利润月销售量 一根跳绳的利润，据此可列出方程． 【小问1详解】 解：设这种跳绳销售量的月平均增长率为 ， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：这种跳绳1月份到3月份销售量的月平均增长率为 【小问2详解】 解：设每根跳绳降价 元，由题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 元， 答：这种跳绳销售价应为38元． 22. 数学来源于生活，服务于生活．同学们利用相似三角形相关知识测距： 【活动1】 （1）如图1，在反射现象中，反射角 等于入射角 ．如图2所示，琪琪将镜子放在地面上，后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端 ，测得脚掌中心位置 到镜面中心 的距离是，镜面中心 距离旗杆底部 的距离为 ，已知琪琪的身高是，眼睛位置 距离琪琪头顶的距离是，则图中相似三角形为___________，旗杆 的高度是___________m． 【活动2】 （2）如图3，小明和小亮去游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.7米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离 为2米，凉亭离城楼底部的距离 为38米，小亮身高为1.8米．求城楼的高度． 【答案】（1） ，9.6；（2）5.9米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． （1）根据题意可证 ，再由相似的性质求解即可； （2）过点 作于点 ，交 于点 ，进而可证，再由相似的性质求线段长即可． 【详解】．解：（1）∵， ， ， ∴ ， ∴即， ∴， 故答案为： ，9.6； （2）过点 作于点 ，交 于点 ， 由题意得， ； ， 由题意易知四边形和四边形都是矩形， ， 由题意得， 则， ， ， ， （米）， 答：城楼的高度为5.9米． 23. 【综合与实践】 如图，在 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ，，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点 与点 关于 对称，连接 ，EF， ，如图3．已知 ，，设，求 的长度． 【答案】（1）， ； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到 ，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接 交 于 ，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1）， ； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接 交 于 点 与点 关于 对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过 作于 ， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $