圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末培优复习

该初中数学期末培优复习讲义通过“考点目录表格+知识点解析框架”系统梳理圆的四大核心考点，垂径定理以“知二推三”条件条目化呈现，圆周角定理结合定义与推论形成逻辑链，点与圆、直线与圆的位置关系用数量关系表格对比，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，例题与变式训练涵盖选择、填空、解答题，融入月亮门、筒车等生活情境题，培养几何直观与应用意识。垂径定理计算结合勾股定理，圆周角证明题强化推理能力，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效支持。

圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系期末培优复习讲义 圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 期末培优复习讲义 考点目录 垂径定理 圆周角定理 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 考点一 垂径定理 【知识点解析】 1.垂径定理 （1）定理内容：垂直于弦的直径，平分这条弦，且平分弦所对的两条弧（劣弧和优弧）. （2）图形与符号语言：中，直径弦于点，则，,. 2.垂径定理的推论 垂径定理的逆定理有多个等价表述，本质是 “知二推三”，只要满足以下 5 个条件中的任意 2 个，就能推出另外 3 个. （1）过圆心（直线是直径 / 半径所在直线）； （2）垂直于弦； （3）平分弦（非直径）； （4）平分弦所对的劣弧； （5）平分弦所对的优弧 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 例2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在菱形中，边长，对角线，交于点E，过B，C，D的圆O交延长线于点F．若O为的中点，则圆O的半径长为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，点、、在圆上，且，垂足为，若，，则的长为 ． 例5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 例6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 例7．（25-26九年级上·福建福州·期中）连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示．小明同学只用了一把1米长的直尺，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺水平放在圆形拱门内，取直尺的中点，定位后测量点到圆的最低点的距离为米，根据圆的相关性质可知圆心，中点，最低点在同一条直线上．请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径． 例8．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（　　） A． B． C．8 D．12 变式2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （    ） A． B．6 C． D．4 变式4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 变式5．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是 ． 变式6．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为多少？ 变式7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 考点二 圆周角定理 【知识点解析】 1.圆心角与圆周角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.几个常见的定理： (1)在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 (2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. (3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 4.圆周角定理的推论： (1)同弧或等弧所对的圆周角相等. (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 5.内接多边形与外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 6.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角对角互补，且内接四边形任意一个角的外角都等于这个角的对角. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °． 例5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 例6．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（  ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 变式5．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知四边形内接于，，则的度数为 ． 变式6．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 考点三 点与圆的位置关系 【知识点解析】 1.点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则 （1）点在圆外. （2）点在圆上. （3）点在圆内. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 例2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知圆O的半径为4，点A在圆内，则的长可能是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 例3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ． 例4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点C与的位置关系是 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角三角形中，，，．若以点为圆心，画一个半径为3.5的圆，下列说法正确的是（   ） A．点在上 B．点在上 C．点在内 D．点在内 变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在中，，，，以点为圆心，以为半径画圆，则点与的位置关系是（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在 ． 变式4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是 ． 考点四 直线与圆的位置关系 【知识点解析】 1.相交、相切与相交： （1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. （2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 2.直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交. （2）直线与圆相切. （3）直线与圆相离. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 例2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ． 例4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 变式2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，若的半径为6，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（   ） A．l1 B． C． D．都不是 变式3．（25-26九年级上·云南·期中）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离”）． 变式4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点 个． 课后提升训练 1．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在内，弦，若，，则的直径为（   ） A．10 B．12 C．9 D．5 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，点，，在圆上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，若的半径为7，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ． 11．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ． 12．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 13．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 14．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为 （度）． 15．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）若的半径为，点与点的距离为，则点在 (填“内”“外”或“上”)． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ． 17．（25-26九年级上·天津红桥·月考）已知为的直径，点，在上，． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，的半径为2，求弦的长． 18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系期末培优复习讲义 圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 期末培优复习讲义 考点目录 垂径定理 圆周角定理 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 考点一 垂径定理 【知识点解析】 1.垂径定理 （1）定理内容：垂直于弦的直径，平分这条弦，且平分弦所对的两条弧（劣弧和优弧）. （2）图形与符号语言：中，直径弦于点，则，,. 2.垂径定理的推论 垂径定理的逆定理有多个等价表述，本质是 “知二推三”，只要满足以下 5 个条件中的任意 2 个，就能推出另外 3 个. （1）过圆心（直线是直径 / 半径所在直线）； （2）垂直于弦； （3）平分弦（非直径）； （4）平分弦所对的劣弧； （5）平分弦所对的优弧 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， 弧的长为． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在菱形中，边长，对角线，交于点E，过B，C，D的圆O交延长线于点F．若O为的中点，则圆O的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解∶连接，设， 因为O为的中点， 所以， 又四边形是菱形，、是对角线， 所以，， 又半径， 所以， 又，， 所以， 所以， 解得：或（舍去）， 所以， 故选：C． 例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，点、、在圆上，且，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，是 半径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 【答案】5 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 例7．（25-26九年级上·福建福州·期中）连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示．小明同学只用了一把1米长的直尺，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺水平放在圆形拱门内，取直尺的中点，定位后测量点到圆的最低点的距离为米，根据圆的相关性质可知圆心，中点，最低点在同一条直线上．请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径． 【答案】圆形拱门的直径为 【详解】解：连接，如图所示： 设为，则， 由，得， 为的中点，， ， 为半径，为弦的中点， ， 在中，根据勾股定理得：， 则， 解得：， ． 答：圆形拱门的直径为． 例8．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴． （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（　　） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【详解】解：∵，圆心角与圆周角所对的弧都为弧， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 变式2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 变式3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （    ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【详解】解：连接OA． 因为，根据垂径定理，， 由圆周角定理， 已知，故． 在中，，， 是等腰直角三角形， 因此， 即圆的半径为． 故选C． 变式4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵是弦的中点，在上，， ∴延长可得在上，， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 变式6．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为多少？ 【答案】截面圆中弦的长为 【详解】解：根据题意可知，， 又∵ ∴ ∴ ∵是半径， ∴ 答：截面圆中弦的长为． 变式7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ； （2）如图，连接， ，， ， ， 设的半径为， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 考点二 圆周角定理 【知识点解析】 1.圆心角与圆周角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.几个常见的定理： (1)在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 (2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. (3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 4.圆周角定理的推论： (1)同弧或等弧所对的圆周角相等. (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 5.内接多边形与外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 6.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角对角互补，且内接四边形任意一个角的外角都等于这个角的对角. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点A，B，C在上，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 例3．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据圆周角定理， 故选：B． 例4．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °． 【答案】45 【详解】解：如图，连接，， ∵正方形内接于， ∴=， ∴． 故答案为45． 例5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【答案】30 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 例6．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【答案】/125度 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式3．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 变式4．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 故答案为：2． 变式5．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知四边形内接于，，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：四边形内接于，， ， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ； 故答案为：． 变式6．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【答案】 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 考点三 点与圆的位置关系 【知识点解析】 1.点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则 （1）点在圆外. （2）点在圆上. （3）点在圆内. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A与的位置关系是点A在圆内， 故选：B． 例2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知圆O的半径为4，点A在圆内，则的长可能是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】解：∵圆的半径为，点在圆内， ∴， 选项中只有， 故选：A． 例3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ． 【答案】外 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ，即的半径为4， ， 点在外， 故答案为：外． 例4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点C与的位置关系是 ． 【答案】点在圆内． 【详解】解：∵，   ∴，   ∴，   ∴点与⊙的位置关系是点在圆内．   故答案为：点在圆内． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角三角形中，，，．若以点为圆心，画一个半径为3.5的圆，下列说法正确的是（   ） A．点在上 B．点在上 C．点在内 D．点在内 【答案】C 【详解】在中，由勾股定理得：． 点到的距离是，因，故点在内； 点到的距离是，因，故点在外． 故选C． 变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在中，，，，以点为圆心，以为半径画圆，则点与的位置关系是（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴点到圆心的距离． ∵的半径，且， ∴点在外， 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在 ． 【答案】圆外 【详解】由的面积是，得，解得． ∵， ∴点在外． 故答案为圆外． 变式4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故答案为：． 考点四 直线与圆的位置关系 【知识点解析】 1.相交、相切与相交： （1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. （2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 2.直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交. （2）直线与圆相切. （3）直线与圆相离. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，， ∴直线和圆相交， 故这条直线可能是； 故选B． 例3．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【详解】∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为， ∴圆心到直线的距离d满足， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相交或相切． 故答案为：相交或相切． 例4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】解：∵方程无实数根， ∴，即． ∵圆心到直线的距离小于半径， ∴直线与相交． 故答案为：相交． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵的直径为6， ∴半径， ∵点O到直线l的距离为4， ∴， ∴直线l与相离； 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，若的半径为6，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（   ） A．l1 B． C． D．都不是 【答案】A 【详解】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为4， ∴与该直线相交， ∴这条直线可能是， 故答案为：A． 变式3．（25-26九年级上·云南·期中）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相离 【详解】解：∵圆的直径为， ∴其半径． ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆相离． 故答案为：相离． 变式4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点 个． 【答案】2 【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离， ∴，故直线l与相交，有两个公共点， 故答案为：2． 课后提升训练 1．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， ∵， ∴， 设圆形框架的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆形框架的半径为， 故选：． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在内，弦，若，，则的直径为（   ） A．10 B．12 C．9 D．5 【答案】A 【详解】解：连接，如图所示： ∵弦， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 即半径的长为5，则直径的长为10， 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，点，，在圆上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ， ，， ， ， ． 故选：C 6．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与所对的弧为同一弧， ∴， 故选：D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，若的半径为7，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的半径为7，圆心到一条直线的距离为4，且， ∴这条直线与相交， 由图可知，只有直线与相交， 故选：B． 9．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 【答案】8 【详解】解：∵的半径为10， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ． 【答案】5 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 11．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 又，， ， ， 是的切线， ， 又， ， ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，， 的度数为， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 【答案】50 【详解】解：连接， 是中点， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 14．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为 （度）． 【答案】110 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴． 故答案为：110 15．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）若的半径为，点与点的距离为，则点在 (填“内”“外”或“上”)． 【答案】内 【详解】解：的半径，点到圆心的距离， ，故点在内． 故答案为：内． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ． 【答案】在圆上 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∴点P到圆心O的距离为5， ∵的半径为5， ∴点P在圆上， 故答案为：在圆上． 17．（25-26九年级上·天津红桥·月考）已知为的直径，点，在上，． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，的半径为2，求弦的长． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 连接， 设，则， 在中，，即， 解得，即； 在中，，即， 解得，即； 在中，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $