第13讲 点和圆的位置关系 （知识清单+12大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第13讲 点和圆的位置关系 （知识清单+12大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断点与圆的位置关系 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 题型三 点与圆上一点的最值问题 题型四 三角形外接圆的概念辨析 题型五 求三角形外心坐标 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 题型七 已知外心的位置判断三角形的形状 题型八 判断三角形外接圆的圆心位置 题型九 判断确定圆的条件 题型十 确定圆心(尺规作图) 题型十一 反证法证明中的假设 题型十二 用反证法证明命题 知识清单 知识点1．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点3．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型练习 【题型一】判断点与圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，，且， ∴点A在内， 故选：B． 【举一反三】 1．（2025九年级·河北·专题练习）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系． 根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，当， 即点到圆心的距离大于半径， ∴点P在圆外， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系、若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，据此可得答案． 【详解】解：∵在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，且， ∴点P与的位置关系是点P在圆外， 故答案为：圆外． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)点在内 【知识点】判断点与圆的位置关系、垂径定理的推论 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； 【详解】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是 故答案为：． （2）圆的半径， 线段， 所以点在内． 【题型二】利用点与圆的位置关系求半径 【例2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知平面上点到的最大距离为，最小距离是，那么⊙O的半径为 ． 【答案】或 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查点与圆的位置关系，分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最大距离加上最小距离等于圆的直径即可求解． 【详解】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：或． 3．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【答案】到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】先根据题意求出的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由， 知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【题型三】点与圆上一点的最值问题 【例3】（23-24九年级·甘肃平凉·开学考试）如图1，点是以点为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点不与点，重合），过点作于．设弦的长为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则的直径为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】点与圆上一点的最值问题、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是要能根据图象确定圆的半径．先根据图象得出当点到点的正上方时，最大为2，可确定的半径为2，即可求解． 【详解】解：当点和点重合时，最大， 由图象得最大为2， 圆的半径为2， 的直径为4， 故选：B 【举一反三】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，中， ， ， ， 点D为斜边上一任意点， 连接， 将点B关于直线作轴对称变换得到点 E， 连接， ， 则面积的最大值为（  ） \ A．18 B．30 C．15 D．24 【答案】A 【知识点】点与圆上一点的最值问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称，根据题意得到，则点E在以A为圆心，6为半径的圆上，然后确定点E到得最大距离最大值计算即可． 【详解】解：∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴点E在以A为圆心，6为半径的圆上， 即当时，点E到得最大距离最大，最大为6， ∴面积的最大值为， 故选A． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）定义：点、点分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．已知和是平面直角坐标系中的两个图形，其中点，，，，半径为1．则和的“远距离”为 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了坐标，圆的性质，“近距离”与“远距离”的定义，解题的关键是理解题意，正确应用新定义解题．结合平面直角坐标系，画出相应的图形，根据“近距离”与“远距离”的定义，得出答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长，交于点， ∵，，，， 根据勾股定理可得， ∴， 和的“远距离”为 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，为等边的外接圆，半径为6，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值； 【答案】(1)见解析 (2)是， (3) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质、圆周角定理、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，圆周角定理可得，可得结论； （2）将绕点C逆时针旋转，得到，可证是等边三角形，可得四边形的面积，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，由轴对称的性质可得，，可得的周长，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，的周长有最小值，即最小值为，由轴对称的性质可求，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，则当为直径时，t有最大值为． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线；． （2）解：四边形的面积S是线段的长x的函数；理由如下： 如图1，将绕点C逆时针旋转，得到， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点D，点B，点H三点共线， ∵， ∴是等边三角形， ∵四边形的面积， ∴； （3）解：如图2，作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F， ∵点D，点E关于直线对称， ∴， 同理， ∵的周长， ∴当E，M，N，F四点共线时，的周长有最小值， 则连接，交于M，交于N，连接，作于P， ∴的周长最小值为， ∵点D，点E关于直线对称， ∴， ∵点D，点F关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最大值，即t有最大值， ∵为的弦， ∴为直径时，有最大值12， ∴t的最大值为． 【题型四】三角形外接圆的概念辨析 【例4】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点O是的外心，若，则 ． 【答案】 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形外心，圆周角定理，熟练掌握三角形的外心，圆周角定理是解题的关键．利用三角形的外心的得出为圆心角，为圆周角，根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：∵点O是的外心，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分，．求的半径． 【答案】 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，连接，根据角平分线的定义得到，再由圆周角定理得，，进而得，得到，根据圆周角定理得到，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【题型五】求三角形外心坐标 【例5】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求三角形外心坐标 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 【题型六】求特殊三角形外接圆的半径 【例6】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理，先由勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边分别为6和8， ∴斜边为， ∴直角三角形外接圆的半径为， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【答案】A 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆 即外接圆圆心的坐标为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、求三角形外心坐标 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)面积的最大值为． 【知识点】圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】（）由角平分线的定义得，然后根据圆周角定理得，通过三角形的内角和定理得，最后由等边三角形的判定即可求解证； （）延长至，使，证明是等边三角形，所以，，证明，则，然后由线段和差即可求证； （）设的外心为，连接，，所以，又，则，所以点为定点，从而可得点在以为圆心，为半径的圆上，当点，，三点共线时，的面积最大，然后由面积公式求解即可； 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明： ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：延长至，使， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由（）知，，， ∴, 即， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设的外心为，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴点为定点， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示， 在等腰直角三角形中，于点，则有， 当点，，三点共线时，的面积最大， ∴， ∴， ∴． 【题型七】已知外心的位置判断三角形的形状 【例7】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 【举一反三】 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 2．（上海·三模）三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ． 【答案】直角三角形 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形． 【详解】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部； 由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点． 3．（九年级上·江苏扬州·阶段练习）对于一个三角形，设其三个内角度数分别为，和，若x，y，z满足，我们定义这个三角形为美好三角形. (1)△ABC中，若，，则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形; (2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，，，⊙O直径为，求证：△ABC为美好三角形; (3)已知△ABC为美好三角形，，求的度数. 【答案】（1）不是；（2）见解析；（3）∠C＝78°或72° 【知识点】圆周角定理、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】（1）利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案； （3）利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数． 【详解】（1）解：∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠C＝60° ∵402+602≠802， ∴△ABC不是美好三角形； 故答案为不是； （2）证明：连接OA、OC， ∵AC＝2，OA＝OC＝， ∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°， ∴∠B＝45°， ∵∠C＝60°， ∴∠A＝75°， ∵即三个内角满足关系：452+602＝5625＝752， ∴△ABC是美好三角形； （3）解：设∠C＝x°，则∠B＝（150﹣x）°， 若∠C为最大角，则x2＝（150﹣x）2+302， 解得x＝78， 若∠B最大角，则（150﹣x）2＝x2+302， 解得x＝72， 综上可知，∠C＝78°或72° 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形. 【题型八】判断三角形外接圆的圆心位置 【例8】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键． 【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点， ∴点F是 的外心． 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段的垂直平分线，与的垂线平分线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图： 作线段的垂直平分线，与的垂线平分线交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知O是的外心，，则 ． 【答案】或 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 分两种情况：①当点O在内部时，②当点O在外部时，根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图， 是的外心， ①当点O在内部时， 或， ， ， ， ②当点O在外部时， ， ， 综上，的大小是或． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)圆心位置见解析， (2)图见解析 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、画旋转图形 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆． （1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作出两边的垂直平分线，交点即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后对应点、的位置，再与点顺次连接即可． 【详解】（1）解：圆心位置如图所示，； （2）如图所示，为所求三角形． 【题型九】判断确定圆的条件 【例9】（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】判断确定圆的条件、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题关键是熟练掌握等圆、等弧等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：①能够互相重合的两个圆叫作等圆，说法正确； ②能够互相重合的弧是等弧，原说法错误； ③以2cm长的半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，原说法错误； 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）下列命题中，真命题的个数是（　） ①同弧所对的圆周角相等；②圆内接平行四边形必为矩形；③的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】判断确定圆的条件、90度的圆周角所对的弦是直径、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的有关知识：圆周角的知识、圆内接四边形及圆的确定等知识，掌握这些知识是关键；根据圆周角的相关知识、圆内接四边形及圆的确定知识逐项判断即可． 【详解】解：①同弧所对的圆周角相等是真命题； ②圆内接平行四边形必为矩形是真命题； 由于平行四边形的对角相等，圆内接四边形对角互补，则得对角为直角，从而平行四边形为矩形； ③的圆周角所对的弦是直径是真命题； ④任意三个点确定一个圆是假命题；任意不在同一直线上三个点确定一个圆， 故真命题有3个； 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 【答案】2 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、判断确定圆的条件 【分析】本题考查隐圆问题，直角三角形斜边中线的性质．取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 3．（九年级上·广东深圳·期末）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】（1）先根据等边三角形的边长为8，计算等边△ABC的面积，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得△PBC的面积； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC，当B'、P、H共线时，△ACB′的面积最大，求出PH的长即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， ∵等边△ABC的边长为8， ∴等边△ABC的面积=， ∵PB=3AP， ∴△BPC的面积为； 故答案为：12； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O， ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB=5，且B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′=2OB， ∴∠PBO=30°， ∴OP=PB=，OB=， ∴BB′=5； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC， 由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动， 当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大， 在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6， ∵PA=2， ∵∠PAH=60°， ∴AH=1，PH=， ∴BH=6+， ∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 【题型十】确定圆心(尺规作图) 【例10】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【举一反三】 1．（九年级上·北京海淀·阶段练习）小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 2．（九年级上·北京·期中）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：圆心O如图． 【题型十一】反证法证明中的假设 【例11】．（2024九年级上·全国·专题练习）用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（   ） A．至少有一个内角是直角 B．没有一个内角是直角 C．至多有—个内角是直角 D．至少有两个内角是直角 【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】此题主要考查了反证法，反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”． 【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确， ∴应假设：至少有两个内角是直角． 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）用反证法证明：“a与b不平行”，第一步假设为 ． 【答案】a与b平行 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法的第一步假设结论的对立面成立，作答即可． 【详解】解：用反证法证明：“a与b不平行”，第一步假设为a与b平行； 故答案为：a与b平行． 【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的第一步为假设结论的对立面成立，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设 ． 【答案】在同一直线上的三点能确定一个圆 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查反证法，根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，作答即可． 【详解】解：用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设在同一直线上的三点能确定一个圆； 故答案为：在同一直线上的三点能确定一个圆 【题型十二】用反证法证明命题 【例12】（24-25九年级上·全国·课后作业）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于，则三角形的三个内角的和大于．这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 【答案】A 【知识点】用反证法证明命题 【解析】略 【举一反三】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）反证法的一般步骤 （1）假设命题的结论 ； （2）从这个假设出发，经过推理，得出 ； （3）由矛盾判定假设 ，从而得到原命题 ． 【答案】 不成立 矛盾 不正确 成立 【知识点】用反证法证明命题 【分析】依据反证法的定义解答即可． 【详解】反证法的一般步骤为： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立， 故答案为：不成立，矛盾，不正确，成立 【点睛】此题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解答此题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 【答案】③①②⑤④ 【知识点】用反证法证明命题 【分析】反证法：先假设的结论的反面成立，再通过推论说明假设不成立，从而可得原来结论成立，根据反证法的步骤可得答案． 【详解】证明：③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． ④∴； 故答案为：③①②⑤④ 【点睛】本题考查的是反证法的含义，掌握反证法的步骤是解本题的关键． 3．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算： （1）根据定义进行判断即可； （2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证． 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的， ∴假设不成立， ∴原结论正确． 好题必刷 一、单选题 1．的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与的位置关系是    A．无法确定 B．点P在外 C．点P在上 D．点P在内 【答案】D 【分析】根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，r即圆的半径，进行判断即可． 【详解】解：， 点P与的位置关系是点在圆内． 故选D． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 2．以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C关于的位置关系是（    ） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论． 【详解】 如图所示， ∵正方形ABCD的边长为1， ∴AC==， ∵圆A的半径为， ∴点C在A上． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的3种位置关系是解答此题的关键． 3．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系即可判断得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∴ ， ∴点A在圆上，B在圆外，C在园内，D是圆心， 故选B． 【点睛】本题考查矩形性质及点与圆的位置关系：在圆上，在园内，在圆外． 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　） A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定 【答案】C 【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点． 【详解】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点， ∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 5．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或． 故选：B 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键 6．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【答案】A 【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除． 【详解】解：∵OA=， ∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内， OF=2＜OA，所以点F在⊙O内， OG=1＜OA，所以点G在⊙O内， OH=＞OA，所以点H在⊙O外， 故选：A． 【点睛】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内． 7．⊙O外一点到该圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是(　　) A．2.5cm B．3.5cm C．4.5cm D．5cm 【答案】A 【分析】根据点A到圆的最大距离与最小距离的差可得出圆的直径，进而得出半径的长． 【详解】如图所示， 半径OB=（PB-PA）÷2=2.5cm； 故圆的半径为2.5cm. 故选A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知圆外一点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解答此题的关键． 8．下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 9．如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与圆的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， 即， ， ， ，， 点在内、点在外， 故选：． 10．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解. 【详解】如图， ∵A（-1，0），B（-3，0）， ∴AB=2， ∵∠APB=30°， ∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧； 易得圆心坐标为， ， . 故选 【点睛】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点． 二、填空题 11．已知的半径是，当时，点在 ；当时，点在 ；当时，点在 ． 【答案】 内 上 外 【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径的关系，即可求得答案． 【详解】时，，所以点在内． 时，，所以点在上． 时，，所以点在外． 故答案为：内   上    外 【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系，牢记判断点和圆的位置关系的方法是解题的关键． 12．已知内接于⊙，连接，若，则 ． 【答案】45或30． 【分析】此题分锐角三角形和钝角三角形，结合同圆内半径相等及三角形内角和列方程求解 【详解】解：此题分为两种情况： （1）如图1所示，当为锐角三角形时： ，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°， ∵OA=OB=OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°， ∴∠BAC＝5x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝4x°， ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴5x°＋7x°＋4x°＝180°， 则x＝ ∴∠ACB＝4x°＝45° （2）如图2所示，当为钝角三角形时： ，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°，∵OA=OB=OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°， ∴∠BAC＝3x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝2x°， ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180° ∴3x°＋7x°＋2x°＝180°， 则x＝15 ∴∠ACB＝2x°＝30°． 故答案为：45；30． 图1 图2 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形． 13．如图所示，外接圆的圆心坐标是 . 【答案】 【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可． 【详解】解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心， ∵ P点坐标是P（5，2）， ∴ 外接圆的圆心坐标是（5，2）． 故答案为（5，2）． 【点睛】本题考查三角形外接圆．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质． 14．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截； ． 求证：直线与 ． 证明：假设 ， 则 ． 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 【答案】 不平行 （两直线平行，同旁内角互补） 假设 直线与不平行 【分析】先作出假设，根据平行线的性质得到这与矛盾，则假设不成立即可得到结论． 【详解】解；已知：如图，直线，被直线所截；． 求证：直线与不平行． 证明：假设， 则（两直线平行，同旁内角互补）． 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 故答案为：；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行． 【点睛】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 15．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 【答案】或 【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设的半径为 当点在外时，根据题意得： ∴ 当点在内时，根据题意得： ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程． 已知：．                                           求作：所在的圆． 作法：如图，       (1)在上任取三个点D，C，E； (2)连接DC，EC；                       （3）分别作DC和EC的垂直平分线， 两垂直平分线的交点为点O． （4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上． 【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得． 【详解】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O． ∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上）， 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上． 【点睛】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念． 17．菱形ABCD的对角线相交于O点，AC=5cm，DB=8cm，以O为圆心，以3cm的长为半径作⊙O，则点A在⊙O , 点B在⊙O ． 【答案】 内、 外 【详解】试题解析：∵在菱形ABCD中，AC=5cm，DB=8cm， ∴OA=2.5cm，OB=4cm, ∴OA<3cm，OB>3cm, ∴点A在⊙O内, 点B在⊙O外． 故答案为内；外. 18．如图，，一直角三角尺的两个顶点C、A分别在，上移动，若，则点O到距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，过点P作与Q，延长交于，连接、．当点在圆周上运动到点O，即点与O重合，即 O、P、Q三点共线时，点O到距离最大，据此列式计算即可求解． 【详解】解：如图，作的外接圆，过点P作与Q，延长交于，连接、． 当点在圆周上运动到点O，即点与O重合时，即 O、P、Q三点共线时点O到AC距离最大． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 由勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段最大值，垂直定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作的外接圆是解题的关键． 三、解答题 19．以矩形ABCD的顶点A为圆心画⊙A，使得B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，若BC=12，CD=5.求⊙A的半径r的取值范围. 【答案】5＜r＜13． 【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B，C，D与⊙A的位置，确定⊙A的半径的取值范围． 【详解】解：根据题意画出图形如下所示： ∵AB=CD=5，AD=BC=12， 根据矩形的性质和勾股定理得到：AC==13． ∵AB=5，AD=12，AC=13， 而A，C，D中至少有一个点在⊙A内，且至少有一个点在⊙A外， ∴点B在⊙A内，点C在⊙A外． ∴5＜r＜13． 故答案为5＜r＜13． 【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质，能正确运用点和圆的位置关系分析问题是解题的关键． 20．小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为五个区域：以内，以外．小明投了，小华投了，他们投的球分别落在哪个区域内？ 【答案】小明投的球落在5~6m区域内，小华投的球落在6~7m区域内． 【分析】小明投球的距离，小华投球的距离分别与铅球场地区域进行比较即可得． 【详解】解：∵5m<5.2m<6m， ∴小明投的球落在5~6m区域内， ∵6m<6.7m<7m， ∴小华投的球落在6~7m区域内， 综上，小明投的球落在5~6m区域内，小华投的球落在6~7m区域内． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握其知识点． 21．如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理： （1）如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）连接，由垂径定理得到，再由，即可利用勾股定理得到． 【详解】（1）解：如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，，圆心O到的距离为4， ∴， ∴， ∴的半径为． 22．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛． 【答案】见解析 【分析】作∠A的角平分线AD交BC于点O，以点O为圆心，点O到AC的距离OD为半径画半圆，此时半圆和AC，AB都相切，则该半圆面积最大． 【详解】如图所示：该半圆即为所求． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，解决此类题目的一般思路是首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 23．请你举出一个反例，说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）． 【答案】见解析 【详解】如图，，但是与不是对顶角． 故“相等的角是对顶角”是假命题 24．如图，⊙O是的外接圆，且，求⊙O的半径． 【答案】16.9 【详解】试题分析：连接OA,交BC于D， ⊙O是的外接圆，所以OABC,且OA平分BC,则BD=12，所以可求得AD=5，所以在直角三角形BOD中根据勾股定理可得：BO2=BD2+OD2，OD=BO-5，所以可求得BO=16. 连接OA交BC于D点，连接BO 因为AB=AC，所以弧AB＝弧AC， 则OA垂直平分BC（垂径定理），BD= 12， 在直角三角形ABC中根据勾股定理AD＝5， 在直角三角形OBD中，设半径OB＝x， 则有：，解方程得：x＝16.9， 答：⊙O的半径为16.9. 25．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=16cm，CD=4cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）见解析；（2）10 【详解】试题解析： 作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图． 连接，如图所示 设 则根据勾股定理列方程： 解得： 答：圆的半径为 26．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P． （1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围； （2）当点M在圆P上时，求CD的长； （3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）取CD的中点P，连接MP，则MP是梯形ABCD的中位线．求出MP长，由于点M在圆P外，则MP>PC，即可得出答案； （2）根据点M在圆P上，则MP=PC，即可得出答案； （3）根据点M在圆P内，则MP< PC，即可得出答案. 【详解】（1）取CD的中点P，连接MP， ∵M为AB的中点， ∴MP是梯形ABCD的中位线． ∵，， ∴， ∵点M在圆P外， ∴，即， ∴； （2）∵点M在圆P上， ∴，即， ∴； （3）∵点M在圆P内， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.求出梯形的中位线的长是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 点和圆的位置关系 （知识清单+12大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断点与圆的位置关系 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 题型三 点与圆上一点的最值问题 题型四 三角形外接圆的概念辨析 题型五 求三角形外心坐标 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 题型七 已知外心的位置判断三角形的形状 题型八 判断三角形外接圆的圆心位置 题型九 判断确定圆的条件 题型十 确定圆心(尺规作图) 题型十一 反证法证明中的假设 题型十二 用反证法证明命题 知识清单 知识点1．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点3．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型练习 【题型一】判断点与圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【举一反三】 1．（2025九年级·河北·专题练习）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【题型二】利用点与圆的位置关系求半径 【例2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知平面上点到的最大距离为，最小距离是，那么⊙O的半径为 ． 3．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【题型三】点与圆上一点的最值问题 【例3】（23-24九年级·甘肃平凉·开学考试）如图1，点是以点为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点不与点，重合），过点作于．设弦的长为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则的直径为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【举一反三】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，中， ， ， ， 点D为斜边上一任意点， 连接， 将点B关于直线作轴对称变换得到点 E， 连接， ， 则面积的最大值为（  ） \ A．18 B．30 C．15 D．24 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）定义：点、点分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．已知和是平面直角坐标系中的两个图形，其中点，，，，半径为1．则和的“远距离”为 ． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，为等边的外接圆，半径为6，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值； 【题型四】三角形外接圆的概念辨析 【例4】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点O是的外心，若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分，．求的半径． 【题型五】求三角形外心坐标 【例5】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【题型六】求特殊三角形外接圆的半径 【例6】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【举一反三】 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，求面积的最大值． 【题型七】已知外心的位置判断三角形的形状 【例7】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【举一反三】 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．（上海·三模）三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ． 3．（九年级上·江苏扬州·阶段练习）对于一个三角形，设其三个内角度数分别为，和，若x，y，z满足，我们定义这个三角形为美好三角形. (1)△ABC中，若，，则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形; (2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，，，⊙O直径为，求证：△ABC为美好三角形; (3)已知△ABC为美好三角形，，求的度数. 【题型八】判断三角形外接圆的圆心位置 【例8】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知O是的外心，，则 ． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【题型九】判断确定圆的条件 【例9】（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【举一反三】 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）下列命题中，真命题的个数是（　） ①同弧所对的圆周角相等；②圆内接平行四边形必为矩形；③的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 3．（九年级上·广东深圳·期末）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 【题型十】确定圆心(尺规作图) 【例10】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·北京海淀·阶段练习）小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 2．（九年级上·北京·期中）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型十一】反证法证明中的假设 【例11】．（2024九年级上·全国·专题练习）用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（   ） A．至少有一个内角是直角 B．没有一个内角是直角 C．至多有—个内角是直角 D．至少有两个内角是直角 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）用反证法证明：“a与b不平行”，第一步假设为 ． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设 ． 【题型十二】用反证法证明命题 【例12】（24-25九年级上·全国·课后作业）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于，则三角形的三个内角的和大于．这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 【举一反三】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）反证法的一般步骤 （1）假设命题的结论 ； （2）从这个假设出发，经过推理，得出 ； （3）由矛盾判定假设 ，从而得到原命题 ． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 3．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 好题必刷 一、单选题 1．的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与的位置关系是    A．无法确定 B．点P在外 C．点P在上 D．点P在内 2．以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C关于的位置关系是（    ） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．不能确定 3．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　） A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定 5．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 6．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 7．⊙O外一点到该圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是(　　) A．2.5cm B．3.5cm C．4.5cm D．5cm 8．下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 10．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 二、填空题 11．已知的半径是，当时，点在 ；当时，点在 ；当时，点在 ． 12．已知内接于⊙，连接，若，则 ． 13．如图所示，外接圆的圆心坐标是 . 14．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截； ． 求证：直线与 ． 证明：假设 ， 则 ． 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 15．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程． 已知：．                                           求作：所在的圆． 作法：如图，       (1)在上任取三个点D，C，E； (2)连接DC，EC；                       （3）分别作DC和EC的垂直平分线， 两垂直平分线的交点为点O． （4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 17．菱形ABCD的对角线相交于O点，AC=5cm，DB=8cm，以O为圆心，以3cm的长为半径作⊙O，则点A在⊙O , 点B在⊙O ． 18．如图，，一直角三角尺的两个顶点C、A分别在，上移动，若，则点O到距离的最大值为 ． 三、解答题 19．以矩形ABCD的顶点A为圆心画⊙A，使得B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，若BC=12，CD=5.求⊙A的半径r的取值范围. 20．小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为五个区域：以内，以外．小明投了，小华投了，他们投的球分别落在哪个区域内？ 21．如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 22．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛． 23．请你举出一个反例，说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）． 24．如图，⊙O是的外接圆，且，求⊙O的半径． 25．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=16cm，CD=4cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 26．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P． （1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围； （2）当点M在圆P上时，求CD的长； （3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$