精品解析：河北省沧州市河间市2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

河北省沧州市河间市2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列成语描述的事件为必然事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 塞翁失马 C. 瓜熟蒂落 D. 拔苗助长 2. 二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 2025年春节档有五部影片上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这五部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图， 是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与 的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图， 与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（ ） A. 点A与点D是对称点 B. C. D. 6. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以 为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“ ”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A. 无实数根 B. 时，有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 有一个根是 8. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（ ） A. B. C. D. 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与 轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（ 为任意实数）．其中正确的有（　） A. ②③④ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ①②③④⑤ 11. 如图， 是 的直径，C是 上一点，D是 外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使 切 于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A. B. C. 是的平分线 D. 12. 某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求 与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到 的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到 的距离为．则下列说法正确的是（　　） A. 甲对乙错 B. 甲乙都对 C. 甲错乙对 D. 甲乙都错 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 14. 抛物线与 轴有两个交点，则的取值范围是_____． 15. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 16. 暑假期间，某商场购进一批价格为 元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少 件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的 倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 关于x的一元二次方程的一个整数解满足． （1）求m的值； （2）求的另一个解． 18. 如图，，点C在上，，点M在上，，以点M为旋转中心，将逆时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）在射线上截取，连接，求证：． 19. 【新情境•二十四节气】 二十四节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．河北某大学举行以节气为主题的演讲活动，将学生分为5个小组，5个小组派代表依次从“立春A”“雨水B”“惊蛰C”“春分D”“清明E”五张主题卡片中随机摸出一张（不放回），根据所抽到的主题进行比赛． （1）第一组抽到“雨水B”的概率为 ； （2）第一组和第二组都擅长“雨水B”和“清明E”主题的题目，请用画树状图或列表的方法，求第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长主题的概率． 20. 【新情境•传统文化】瓷板画图1是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，， 为 上的两点，连接、 ，（桌面），，分别垂直直线 于 ， 两点，过点 作于点 ，交 于点．已知，，． （1）求 的长； （2）求图2中阴影部分的周长． 21. 已知二次函数为常数，且 （1）若函数图象过点，求a的值． （2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 22. 已知为 的直径，C为 上一点，过点C作 的切线交的延长线于点P，D为弧 上一点，连接 ，， ． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接 ，若，，求 的半径． 23. 如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设 的长为． （1）如图1，用含 的代数式表示 的长． （2）如图1，当长方形花园的面积为时，求 的值． （3）如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中， ， 和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出 的值；如果不能，请说明理由． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接 ，点是线段上一点（不含端点），作射线轴交于点D，交 于点E． （1）求抛物线的函数解析式． （2）嘉嘉和淇淇分别提出一个问题． 嘉嘉：m为何值时，使得 的长最大？ 淇淇：m为何值时，使得点E是的中点？ 请选择其中一人的问题进行解答． （3）将抛物线向上平移n个单位长度，再向左平移 个单位长度，使其经过点得到抛物线点D也相应地平移到上的点F处，设直线的解析式为．点P在线段上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市河间市2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列成语描述的事件为必然事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 塞翁失马 C. 瓜熟蒂落 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断， 必然事件是指一定会发生的事件，选项A、B是随机事件，D是不可能事件，只有C描述的是自然规律下的必然事件． 【详解】解：∵A守株待兔是随机事件，不符合题意； B塞翁失马是福祸相依的随机事件，不符合题意； D拔苗助长是不可能事件，不符合题意； C瓜熟蒂落是自然规律下的必然事件，符合题意． 故选：C． 2. 二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点， 求二次函数与y轴的交点，即令，计算y的值． 【详解】解：∵二次函数与y轴的交点的横坐标为0， ∴令，代入函数解析式：， ∴交点坐标为． 故选：D． 3. 2025年春节档有五部影片上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这五部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据总共有5部影片，每部影片被选中的可能性相等，且《哪吒之魔童闹海》是其中1部，求出选到《哪吒之魔童闹海》的概率为，即可作答． 【详解】解：∵总共有5部影片，每部影片被选中的可能性相等，且《哪吒之魔童闹海》是其中1部， ∴ 选到《哪吒之魔童闹海》的概率为， 故选：A． 4. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 5. 如图， 与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（ ） A. 点A与点D是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵ 与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 故选：D． 6. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以 为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由扇形面积公式求角度，熟记扇形面积公式是解决问题的关键； 利用，再由扇形面积公式代值计算即可求解． 【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为， 则，， ∵， ∴， 解得， 即扇面宣传板所对的圆心角为， 故选：C． 7. 小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“ ”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A. 无实数根 B. 时，有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 有一个根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根， 通过错误方程求出，再计算原方程的判别式，故总有实数根，从而判断选项． 【详解】解：∵小明抄错一次项符号，得方程，且为其根， ∴代入得，即， ∴． 对于原方程，即， 判别式 ∴原方程总有实数根，故A错误； 当时，，有两个相等实数根，故B正确； ，总有实数根，故C正确； 将代入，，故恒为根，D正确． 故选：A． 8. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径 ，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ，交于 点， ∵ ， ∴ 是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是， 故选：C． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为 ， 则， 解得：． 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象与 轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（ 为任意实数）．其中正确的有（　） A. ②③④ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键． 根据所给函数图象，得出， ，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由函数图象和已知条件可知，，，， ∴， ∴，故①错误； ∴，即，故②正确； 由函数图象可知，当时，， 即，故③正确； ∵的图象与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，故④正确； ∵， ∴当时，，故⑤错误． 故正确的有：②③④． 故选：A． 11. 如图， 是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使 切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A. B. C. 是的平分线 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆切线判定．熟练掌握圆切线判定的方法，是解题的关键．根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则， 即， 根据切线的判定， 切于点C， 该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， 即， 根据切线的判定， 切于点C， 该选项正确，不符合题意； C、∵， ∴，则， ∵， ∴， 若 是的平分线， 即时， 则， 即， 根据切线的判定， 切于点C， 该选项正确，不符合题意； D、当时， 由得到， 则是等边三角形， 无法确定， 不能得到 切于点C， 该选项不正确，符合题意． 故选：D． 12. 某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求 与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到 的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到 的距离为．则下列说法正确的是（　　） A. 甲对乙错 B. 甲乙都对 C. 甲错乙对 D. 甲乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式求解及点与点之间的距离计算，解题关键是通过建立合适的平面直角坐标系，利用抛物线的顶点式结合已知条件确定解析式，再据此分析点的位置关系． 建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点D的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到 的距离为，，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为，点D的横坐标为2， ∴点E的坐标为， 设抛物线的解析式为，将点E的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为．故甲不对； ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为， ∴点C到 的距离为．故乙对． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，即概率为，根据概率公式计算总球数，再求白球数n，即可作答． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为，红球有4个， 因此袋中球的总个数约为（个）， ∴袋中白球的个数． 故答案为：16． 14. 抛物线与 轴有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，该抛物线与 轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与 轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 15. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和求圆锥的高，理解题意是解决本题的关键． 根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 故答案为：16． 16. 暑假期间，某商场购进一批价格为 元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少 件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的 倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润 每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的 倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设每件文化衫应定价为 元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的 倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为元， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 关于x的一元二次方程的一个整数解满足． （1）求m的值； （2）求的另一个解． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据不等式组的整数解得，再把代入方程，求出，即可作答． （2）将代入，则，化简得，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意满足的整数是 ， 将代入方程， 得， ∴ 解得； 【小问2详解】 解：将代入， 得方程为， 则， ∴， 故， ∴； ∴方程的另一个解为2． 18. 如图，，点C在上，，点M在上，，以点M为旋转中心，将逆时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）在射线上截取，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了外角的性质，旋转的知识，全等三角形的判定和性质和等量代换，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）易得，再利用角的和差即可得证； （2）先由（1）得，再结合旋转性质，证明，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵是的外角， ∴， 由旋转的性质可知， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵旋转， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 【新情境•二十四节气】 二十四节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．河北某大学举行以节气为主题的演讲活动，将学生分为5个小组，5个小组派代表依次从“立春A”“雨水B”“惊蛰C”“春分D”“清明E”五张主题卡片中随机摸出一张（不放回），根据所抽到的主题进行比赛． （1）第一组抽到“雨水B”的概率为 ； （2）第一组和第二组都擅长“雨水B”和“清明E”主题的题目，请用画树状图或列表的方法，求第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中第一组抽到“雨水B”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长主题的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中第一组抽到“雨水B”的结果有1种， ∴第一组抽到“雨水B”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长主题的结果共有14种， ∴第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长主题的概率为． 20. 【新情境•传统文化】瓷板画图1是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，， 为 上的两点，连接、，（桌面），，分别垂直直线 于 ， 两点，过点 作于点 ，交于点．已知，，． （1）求 的长； （2）求图2中阴影部分的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、垂径定理求出，，再根据平行四边形的判定与性质求解即可； （2）证明是等边三角形得，根据弧长公式求出，再根据阴影部分的周长为求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 如图2，连接 ， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、平行四边形的判定与性质、弧长公式、等边三角形的判定与性质，利用垂径定理结合勾股定理求出弦长，再结合图形性质分析各部分长度关系是解题的关键． 21. 已知二次函数为常数，且 （1）若函数图象过点，求a的值． （2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． （1）把点代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点， ， 【小问2详解】 解：由题意，， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， 当时，当时，，， ， ， 的值为或 22. 已知为 的直径，C为 上一点，过点C作 的切线交的延长线于点P，D为弧上一点，连接 ，， ． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接 ，若，，求 的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆的基本性质、勾股定理等性质，准确添加辅助线是解题的关键． （1）连接 ，根据切线的性质，得到，，求出，根据，求出，根据圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接 、， 与 交于点E，求出，根据勾股定理求出，设 的半径为 ，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接 ，如图： ∵是 的切线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为 的内接四边形， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接 、， 与 交于点E，如图： ∵， ∴， ∵， ∴ ，， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， 设 的半径为r， 在 中，， ∴， 解得：． 23. 如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设 的长为． （1）如图1，用含 的代数式表示 的长． （2）如图1，当长方形花园的面积为时，求 的值． （3）如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中， ， 和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出 的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到 的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中 的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求 的值为 ； 【小问3详解】 解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接 ，点是线段上一点（不含端点），作射线轴交于点D，交 于点E． （1）求抛物线的函数解析式． （2）嘉嘉和淇淇分别提出一个问题． 嘉嘉：m为何值时，使得 的长最大？ 淇淇：m为何值时，使得点E是的中点？ 请选择其中一人的问题进行解答． （3）将抛物线向上平移n个单位长度，再向左平移 个单位长度，使其经过点得到抛物线点D也相应地平移到上的点F处，设直线的解析式为．点P在线段上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律． 【答案】（1） （2） 设直线 表达式为， 则代入点坐标得：， 解得：， ∴ 所在直线的解析式为， 选嘉嘉的问题：由题意得，，， ∴ 的长为， ∴当时， 的长最大． 选淇淇的问题：由题意得，，， 若点E是的中点，则， 解得或 （舍去）， ∴当时，点E是的中点； （3）k的值不变，为 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数、二次函数的性质、平移，核心素养表现为几何直观和运算能力． （1）运用待定系数法即可求解； （2）先求出 所在直线的解析式为，由题意得，，，则，再利用二次函数的性质求最值；由点E是的中点，得到，解一元二次方程即可； （3）：可得顶点为，求出的解析式为，顶点为，可得直线的解析式为，由于点 的对应点为点 ，点 的对应点为点，则，故． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得 ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：整理，得，顶点为． 由题意得，， ∵经过点， 则， 解得 或（舍去）， 的解析式为，顶点为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为． ∵点 的对应点为点 ，点 的对应点为点， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $