精品解析：江苏苏州昆山葛江中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆上 B. 点A在圆内 C. 点A在圆外 D. 不能确定 2. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的切线，切点为，连接与交于点，点为上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A. （0，0） B. （2，3） C. （5，2） D. （1，4） 5. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E．连接OD，OE，若∠DOE＝130°，则∠A的度数为（　　） A. 45° B. 40° C. 35° D. 25° 6. 如图，正五边形的半径为，则这个正五边形的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷相应的位置上．） 9. 计算：________． 10. 一个圆锥形零件，底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为_______． 11. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点都在格点上，则的值是______． 13. 如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 _____． 14. 如图，在中，是的中点，，若，则________． 15. 如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝_____． 16. 如图，在矩形ABCD中，，动点P在矩形ABCD内且，连接，则长度的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求； （2）已知，，求和． 19. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 21. 如图，从灯塔处观测轮船的位置，测得轮船在灯塔北偏西的方向，轮船在灯塔北偏东的方向，且海里，海里，已知，求、两艘轮船之间的距离.(结果保留根号） 22. 如图，的直径，弦，连接，以为圆心，长为半径画弧与交于点，连接，，与交于点． （1）请直接写出图中与相等的所有角_______； （2）求的长． 23. 如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，，延长到，使得，连接. （1）求证： （2）若为的切线，且，求的长度. 24. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一 一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°＝　　，若canB＝1，则∠B＝　　°． （2）如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长． 25. 如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE． （1）若，求证：△ACE∽△EBD； （2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径． 26. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆上 B. 点A在圆内 C. 点A在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外．本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A与的位置关系是点A在圆内， 故选：B． 2. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数定义得出答案． 【详解】如图， ∵在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，正确掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 3. 如图，是的切线，切点为，连接与交于点，点为上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连接，由切线的性质得出，由圆周角定理可得出答案． 【分析】解：连接， 为的切线， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，切线的性质等知识点，能求出是解此题的关键． 4. 如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A. （0，0） B. （2，3） C. （5，2） D. （1，4） 【答案】C 【解析】 【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心． 【详解】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 5. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E．连接OD，OE，若∠DOE＝130°，则∠A的度数为（　　） A. 45° B. 40° C. 35° D. 25° 【答案】D 【解析】 【分析】连接DC，根据圆周角定理求出∠ACD＝∠EOD＝65°，根据圆周角定理求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可． 【详解】解：连接DC， ∵∠DOE＝130°， ∴∠ACD＝∠EOD＝65°， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；直角三角形两锐角互余；熟记定理并应用是解题的关键． 6. 如图，正五边形的半径为，则这个正五边形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，根据正五边形的性质得出，解，即可求解． 【详解】如图所示，设正五边形的中心为点O，过点作． ∵，正五边形的半径为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，掌握正多边形的性质是解题的关键． 7. 如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、解直角三角形，扇形面积的计算，连接，，作于，根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：如图，连接，，作于， ， 正六边形是的内接正六边形， ，， 的半径为2， ， 为等边三角形， ， 正六边形的面积是：， 图中阴影部分的面积是：， 故选：B． 8. 已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得到是等边三角形，设，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出．由，求出，得到，因此，推出，得到，设圆的半径是r， ，代入有关数据即可求出的长，得到，的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，，， ∵弦于点E，， ， ， ∴是等边三角形， ， 设， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵直径， ， ， 设圆的半径是r，， ，， ， ， ， ，， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明，求出与半径的数量关系，从而解决问题． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷相应的位置上．） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得到正确的结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 10. 一个圆锥形零件，底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可． 【详解】解：底面半径为，母线长为， 侧面积 ， 故答案为：． 11. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点都在格点上，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出是解此题的关键根据已知图形得出，再求解即可 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，， ∴， ， ∴， ∴ 故答案为： 13. 如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠ACD，再利用三角形的外角可知∠CDB＝2α，然后在Rt△CDB中利用勾股定理先求出BD即可解答． 【详解】解：∵CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD， ∵∠CDB是△ACD的外角， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α， 在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x， ∵BC2+BD2＝CD2， ∴32+x2＝（5﹣x）2， ∴x＝1.6， ∴BD＝1.6， ∴tan∠CDB＝， ∴tan2α＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，掌握等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义解题关键． 14. 如图，在中，是的中点，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，根据相似三角形的性质得出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 又∵是的中点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝_____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接OE,设OD＝m,证明∠OCE＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接OE．设OD＝m． ∵CD⊥OB， ∴∠CDO＝90°， ∵∠COD＝60°， ∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°， ∴OC＝2OD＝2m，CD＝m， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE＝m，∠DCE＝60°， ∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°， ∴OC2+CE2＝OE2， ∴4m2+3m2＝42， ∴m＝（负根舍去）， ∴CD＝m＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 16. 如图，在矩形ABCD中，，动点P在矩形ABCD内且，连接，则长度的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为底边向下作等腰三角形，使得，以点O为圆心，以为半径作圆，则点P在劣弧上，连接交劣弧于点，连接，分析得到当点P与点重合时，最小，再求解即可． 【详解】解：以为底边向下作等腰三角形，使得，以点O为圆心，以为半径作圆，则点P在劣弧上，连接交劣弧于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点重合时，最小， 过点分别作交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ， ∵, ∴在中，， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题考查了垂径定理、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆的基础知识等，添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质与化简代入计算，再加减即可解答． 【详解】解：原式=2×+∣-1∣- =+-1- =-1 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．正确的利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 18. 已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求； （2）已知，，求和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知正弦、正切的定义及勾股定理是解题的关键． （1）借助于的正弦即可解决问题； （2）先利用勾股定理求出，再结合的正切即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴． 19. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2．； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）略 （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 21. 如图，从灯塔处观测轮船的位置，测得轮船在灯塔北偏西的方向，轮船在灯塔北偏东的方向，且海里，海里，已知，求、两艘轮船之间的距离.(结果保留根号） 【答案】A、B两艘轮船之间的距离为海里. 【解析】 【分析】过A点和B点分别作AD⊥MN,BE⊥MN,过B点作BF⊥AD,垂足为D,先求出AD=DC=2，BE=1,CE=3,再求AF,BF的长，由勾股定理即可求出答案. 【详解】解：如图，过A点和B点分别作AD⊥MN,BE⊥MN,过B点作BF⊥AD,垂足为D,∴∠ACD=45°，∠CBE=α, ∵, ∴AD=DC=2, ∵,,设BE=x,则CE=3x, ∴x2+(3x)2=()2, ∴BE=1,CE=3, ∴AF=AD-FD=2,BF=CE+CD=5, ∴AB==, ∴A、B两艘轮船之间的距离为海里. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−−方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图，的直径，弦，连接，以为圆心，长为半径画弧与交于点，连接，，与交于点． （1）请直接写出图中与相等的所有角_______； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图得出，进而根据等弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）连接，则，，根据勾股定理得出，由，求得，进而得出，然后根据三角形中位线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵以为圆心，长为半径画弧与交于点 ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，连接，交于点， 则，， ∴， ∵的直径，弦， ∴， ∴， ∴， 即，又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，求正弦值，垂径定理，中位线定理的应用， 运用以上知识是解题的关键． 23. 如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，，延长到，使得，连接. （1）求证： （2）若为的切线，且，求的长度. 【答案】 （1）证明：∵，为直径， ∴， ∵，为直径， ∴ ∴ 连，，如图， ∴ ∵ ∴ （2） 【解析】 【分析】(1)先证，连，，再证，即可得到结论； (2)先求，在中，，可求OC=2,再用弧长公式计算即可. 【详解】解：（1）略 (2）∵为切线 ∴ ∴ ∴ ∴ 中， ∴， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判断和性质，弧长公式、等腰三角形的判定与性质，证明，掌握弧长公式是解题的关键． 24. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一 一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°＝　　，若canB＝1，则∠B＝　　°． （2）如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长． 【答案】（1）， 60 （2）36 【解析】 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得出BD=AB，结合等腰三角形的性质可得出BC=AB，继而得出canB；只需要证明△ABC是等边三角形即可得到答案； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先得到， 设BC＝8x，AB＝5x，则BD＝BC＝4x，AD＝＝3x， 再由S△ABC＝48，得到BC•AD＝48，由此求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠B=30°， ∴cos∠B==， ∴BD=AB， ∵△ABC是等腰三角形， ∴BC=2BD=AB， ∴can30°==； ∵canB==， ∴ 又∵AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， 故答案为：， 60； 【小问2详解】 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵canB＝， ∴， 设BC＝8x，AB＝5x， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝BC＝4x， ∴AD＝＝3x， ∵S△ABC＝48， ∴BC•AD＝48， ∴•8x•3x＝48， ∴x2＝4， ∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2， ∴AB＝AC＝10，BC＝16， ∴△ABC的周长为36． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，特殊角三角函数值，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意． 25. 如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE． （1）若，求证：△ACE∽△EBD； （2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明： 四边形是的内接四边形， （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明即可得到结论； （2）如图，连接 并延长交于 连接 利用相似三角形的性质证明 再证明 可得 而 可得 再利用等角的三角函数值相等建立方程求解即可. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，连接 并延长交于 连接 而 为的切线， 为的直径， 而 所以的半径为 【点睛】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键. 26. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 【答案】 （1）①， 证明：由翻折的性质得：，， 点A、D都在线段的垂直平分线上， ； ②， 证明：延长交于H，如图， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）11 【解析】 【分析】（1）①利用翻折的性质得：，，点A、D都在线段的垂直平分线上，即可得出结论； ②延长交于H，设，则，可求得，所以．再证明，得即可； （2）过点作交于点，交延长线于点，连接交于点，通过证明得到，，得到的长，再利用全等三角形判定得到，得出，最后利用面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）如图，过点作交于点，交延长线于点，连接交于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 将绕着点E顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积为11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形应用三角函数，利用相似三角形的性质和勾股定理求线段长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $