精品解析：重庆市九校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

重庆高三数学考试 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容:高考全部内容(除圆锥曲线外). 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可得出答案. 【详解】由，且得：集合中一定有和这两个元素，且集合中一定没有，，这三个元素 故选：. 2. 若向量 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以， 解得， 故选：B 3. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 4. 某校期中考试的数学成绩(满分: 150 分) 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A. 75 B. 80 C. 90 D. 95 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求解. 【详解】由，，得， 所以. 故选：C 5. 一个装有水的圆柱形容器，水面与容器口的距离为 9 厘米，该容器的底面圆的直径为 4 厘米. 现往该容器中放入一个半径为 厘米的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，此时容器内的水没有溢出，忽略容器壁的厚度，则该小球的半径的最大值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使小球沉入容器底部，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积，利用圆柱和球的体积公式求解即可. 【详解】要使小球沉入容器底部，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积， 由题意知小球体积为，容器剩余的容积为， 由，解得，又圆柱底面半径为2， 所以该小球的半径的最大值是2. 故选：B 6. 在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质及基本不等式即可求解。 【详解】在各项均为正数的等比数列 中，设公比为， 则， 即， 根据基本不等式，得， 即， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，取等号， 又，解得，即的最大值为2. 故选：D 7. 函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用去绝对值法求出函数的表达式，作出函数图象，即可得出答案． 【详解】由，， 故当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 故，作出函数图象： 由图象可得：当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故直线与的图像有且仅有两个不同交点，需满足：． 故选：B 故选：B． 8. 已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求函数的导数，再由题意转化为与函数在区间恰有2个交点，再利用函数的导数分析函数的图像和性质，即可求解. 【详解】，令，得或， 即或，设函数，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增， 故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点， 所以不是关于的方程的解，所以 故选：A 二、选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知复数 ，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法化简得，由复数模、虚部、共轭复数、复数对应点概念逐项判断. 【详解】因为, 所以，故A正确；的虚部为，故B正确； ，故C错误；在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据每个路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小． 【详解】依题意，有，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 所以． 故选：AC． 11. 在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值是 C. 的最小值是 D. 正方体被平面截得的五边形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标及所需向量坐标，根据数量积公式，代入计算，即可判断A的正误；根据向量夹角公式，即可判断B的正误；将平面沿顺时针旋转与平面共面，当A、H、E三点共线时，有最小值，根据长度，求得最小值，即可判断C的正误；如图作辅助线，则五边形AMFEN的周长即为所求，分别求得各个长度，即可判断D的正误. 【详解】以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 选项A：因为， 所以，即，故A正确； 选项B：， 因为异面直线与所成角范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值是，故B正确； 选项C：将平面沿顺时针旋转与平面共面，连接，如图所示， 当A、H、E三点共线时，有最小值， 且最小值为，故C错误； 选项D：延长，与的延长线交于点G，与的延长线交于点H， 连接，交于点M，连接AH，交BC于点N，连接MF，NE， 则五边形AMFEN的周长即为所求， 因为分别是棱的中点，， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 所以，所以，则， 所以在中，， 在中，， 同理，， 所以五边形AMFEN的周长为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题:本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 若函数 是 上的奇函数，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质解出，再利用奇函数定义检验即可. 【详解】因为 是上的奇函数， 所以，解得， 当时，， 满足，是奇函数， 故答案为： 13. 如图，圆 ，圆 ，圆 两两外切，若圆 ，圆 ，圆 的半径分别为3，2，1，且圆 的圆心 为坐标原点，圆 的圆心 在 轴正半轴上，圆 的圆心 在第一象限上，则 的坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三个圆两两外切，求出为直角三角形，利用三角函数求C点坐标即可. 【详解】因为三圆两两外切， 所以， 所以，即为直角三角形， 所以， 所以， 即. 故答案为： 14. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，其棋盘为方格状，棋子的摆放与活动均在交叉点上. 如图，若马位于 处，其移动规则为循着日字的对角线走两格，即下一步可到达的地方是 中的一处; 同理， 若马位于 处，下一步可到达的地方是 中的一处. 假设马从某位置到达下一个位置是随机的， 且马的初始位置是在 处，则马到达 处至少要走_________步；已知马第一步没有到达 处，则 3 步后马到达 处的概率是__________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】通过马移动规则为循着日字的对角线走，分析每种情况，结合对立事件乘法公式即可求解. 【详解】由图可知：马走2步后的所有情况如下图： 从 处，到达 处，第一步应该走或, 又从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 而从处，到，或，或，或如图至少2步， 又从处到处至少要走3步， 综上从处，到达处至少走4步； 马走2步后的所有情况可以用下列树状图表示： 第二步落在处，则第三步可以到达处， 则有如下情况， 由马移动规则为循着日字的对角线走，又第一步没走到，可得： 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 所以3步后马到达处的概率是： 故答案为：4； 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. （1）求 的最大值； （2）若 米秒， 秒，求 . 【答案】（1） （2）米秒 【解析】 【分析】（1）由正弦定理列式可得，当时，有最大值，计算即可求解； （2）由余弦定理求得米，根据计算可解. 【小问1详解】 由题意可得， 在中，由正弦定理可得， 即，化简可得， 因为， 所以当，即时，取最大值为； 【小问2详解】 若 米秒， 秒，则米， 由余弦定理可得，， 解得米， 因为，所以米秒. 16. 某汽车厂商为研究新能源汽车的电池类型与用户满意情况的关联性，以及某新能源汽车续航里程(单位:百千米)与充电频率(单位:次/月)的关系，收集了 200 位用户的调研数据，得到如下表格: 表 1 单位:人 电池类型 用户满意情况 合计 满意 不满意 A 类型电池 85 15 100 B类型电池 65 35 100 合计 150 50 200 表 2 续航里程 3 4 5 6 7 充电频率 17 13 10 8 7 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析新能源汽车的电池类型与用户满意情况是否有关； （2）根据表 2 中的数据建立该新能源汽车的充电频率关于续航里程的一元线性经验回归方程. 参考公式: ，其中 ；，. 参考数据: 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定的列联表，求出，再与临界值比对求解； （2）先求出，再利用最小二乘法公式求出，即可求得线性经验回归方程. 【小问1详解】 零假设为：新能源汽车的电池类型与用户满意情况无关. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为新能源汽车的电池类型与用户满意情况有关，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由题意可得， 则， 从而， 故该新能源汽车的充电频率关于续航里程的经验回归方程为. 17. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取AB中点O，连接PO，CO，如图所示， 因为是边长为2 的等边三角形，O为AB中点， 所以，且， 因为，O为AB中点， 所以，且， 因为，所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取AB中点O，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案. （3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，则以O为原点，所在直线为x，y，z轴建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 所以点到平面的距离 【小问3详解】 设平面PBC的法向量， 所以，即， 令，则，即， 由（2）得平面的法向量， 所以， 所以，即二面角的正弦值 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值. （2）已知有三个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若为较大的两个零点，证明：. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由（i）知， 要证，只需证，又， 即证，即证，由， 得，则，需证， 即证，只证， 令，函数， 求导得， 由，得恒成立，函数在上单调递增，因此， 即，则， 所以 . 【解析】 【分析】（1）分段求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合已知列式求解. （2）（i）由函数零点的意义分离参数，构造函数，利用导数探讨函数性质即可；（ii）由（i）可得，利用零点的意义建立关系，利用分析法推理证明，再构造函数，利用导数推理得证. 【小问1详解】 函数， 求导得， 则， 因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补， 则，即，所以. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，由，得， 令函数，求导得， 当或时，；当时，， 则函数在上递减，在上递增，在取得极大值， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 而，当时，恒有， 又有三个零点，则， 所以的取值范围为. （ii）略 19. 在数列中，. （1）求的通项公式. （2）已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前100项和； （ii）记中最小的元素为，求. 【答案】（1）； （2）（i）5050；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式. （2）（i）利用组合计数问题求出中每个元素出现的次数，再利用等差数列前项和公式求出，然后利用并项求和法求出；（ii）利用组合计数问题求出中的每个元素为最小元素的个数，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 （i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为， 因此， ， 所以 . （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最小元素为1的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最小元素为1的子集有个. 同理得最小元素为3的子集有个， 最小元素为的子集有个， 则， 记， 则， 两式相减得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆高三数学考试 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容:高考全部内容(除圆锥曲线外). 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校期中考试的数学成绩(满分: 150 分) 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A. 75 B. 80 C. 90 D. 95 5. 一个装有水的圆柱形容器，水面与容器口的距离为 9 厘米，该容器的底面圆的直径为 4 厘米. 现往该容器中放入一个半径为 厘米的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，此时容器内的水没有溢出，忽略容器壁的厚度，则该小球的半径的最大值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知复数 ，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值是 C. 的最小值是 D. 正方体被平面截得的五边形的周长为 三、填空题:本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 若函数 是 上的奇函数，则 __________. 13. 如图，圆 ，圆 ，圆 两两外切，若圆 ，圆 ，圆 的半径分别为3，2，1，且圆 的圆心 为坐标原点，圆 的圆心 在 轴正半轴上，圆 的圆心 在第一象限上，则 的坐标为_________. 14. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，其棋盘为方格状，棋子的摆放与活动均在交叉点上. 如图，若马位于 处，其移动规则为循着日字的对角线走两格，即下一步可到达的地方是 中的一处; 同理， 若马位于 处，下一步可到达的地方是 中的一处. 假设马从某位置到达下一个位置是随机的， 且马的初始位置是在 处，则马到达 处至少要走_________步；已知马第一步没有到达 处，则 3 步后马到达 处的概率是__________. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. （1）求 的最大值； （2）若 米秒， 秒，求 . 16. 某汽车厂商为研究新能源汽车的电池类型与用户满意情况的关联性，以及某新能源汽车续航里程(单位:百千米)与充电频率(单位:次/月)的关系，收集了 200 位用户的调研数据，得到如下表格: 表 1 单位:人 电池类型 用户满意情况 合计 满意 不满意 A 类型电池 85 15 100 B类型电池 65 35 100 合计 150 50 200 表 2 续航里程 3 4 5 6 7 充电频率 17 13 10 8 7 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析新能源汽车的电池类型与用户满意情况是否有关； （2）根据表 2 中的数据建立该新能源汽车的充电频率关于续航里程的一元线性经验回归方程. 参考公式: ，其中 ；，. 参考数据: 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值. （2）已知有三个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若为较大的两个零点，证明：. 19. 在数列中，. （1）求的通项公式. （2）已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前100项和； （ii）记中最小的元素为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $