北京市海淀区北京交通大学附属中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年北京交大附中九年级（上） 12月月考数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 3. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（　） A. B. C. D. 4. 如图，圆O的直径，是圆O的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 6. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 7. 今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 8. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 9. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 11. 如图，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为___________． 12. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 13. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为______cm． 14. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米. 15. 有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上任意一点，点是第一象限角平分线上一点（不含原点），，以为一边作正，则 （1）外接圆的半径是___________． （2）点到原点距离的取值范围是___________． 三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 19. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 20. 如图，是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，，求⊙O的半径． 21. 已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … （1）求二次函数解析式，并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （2）根据图象写出当时，的取值范围为__________； （3）根据图象写出当时，的取值范围为__________． 22. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（：泥塑、：机器人编程、：航空航天体验），甲和乙两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）甲同学选择项目的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求甲和乙选择不同体验项目的概率． 23. 关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： （1）表格中t的值为______； （2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； （3）记的两个变形为和，则的值______． 24. 如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接交于，如果，求的长． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； （2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 26. 已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． （1）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）当时，若，求的最大值； （3）对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 27. 已知正方形，将线段绕点旋转得到线段，连接．作的平分线交于点，交直线于点，连接． （1）如图1，当点在正方形的内部时，用等式表示线段之间的数量关系___________． （2）当点在正方形的外部时，在图2中依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点和点，线段和线段外的一点，给出如下定义：若时，则称点为线段的限角点，且当时，称点为线段的最佳限角点． （1）①如图，在点中，线段的限角点是___________； ②若点在轴负半轴上，写出满足条件的点的纵坐标的范围___________； （2）在直线上存在线段的限角点，求的取值范围； （3）在直线上存在线段的最佳限角点，直接写出的取值范围___________． 2025-2026学年北京交大附中九年级（上） 12月月考数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】（答案不唯一） 【10题答案】 【答案】6 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】， 【13题答案】 【答案】7.5 【14题答案】 【答案】0.5 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28每题7分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1） 证明：∵绕点C逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）8 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵与都是弧所对圆周角， ∴， ∴； （2）3 【21题答案】 【答案】（1）， 二次函数的图象如下： （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1） 证明：如图1，连接， 是的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ∴垂直平分， ，， ， ， ， 半径于点， 是的切线； （2） 【25题答案】 【答案】（1）； （2）． 【26题答案】 【答案】（1） （2）的最大值 （3）或 【27题答案】 【答案】（1） （2） 补全的图形如下： 线段，，之间的数量关系为：； 证明：如图，过点B作于H， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）①；② （2） （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $