6.2向量基本定理与向量的坐标讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

本讲义聚焦向量基本定理与坐标表示核心知识点，系统梳理平面向量共线定理、基本定理（基底概念）、坐标表示及线性运算（加减、数乘、中点公式）、平行坐标条件，构建“概念-表示-运算-应用”的学习支架。 资料通过填空式知识梳理夯实基础，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），题型从基础（向量线性表示）到综合（正六边形、重心问题）发展推理能力（数学思维），坐标运算结合位移情境强化数学语言表达（模型意识）。课中辅助分层教学，课后分题组A/B/C适配不同学生，助力查漏补缺。

6.2向量基本定理与向量的坐标表示 知识梳理填空 知识点1 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 实数，使 给定四点，其中为不共线的三点，且则三点共线的充要条件是 知识点2 平面向量基本定理 若是同一平面内的两个 ，对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 。 若不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 知识点3 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点O出发的有向线段表示，原点O到的向量分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标。 知识点4 平面向量线性运算的坐标表示 已知则 （1） ， 即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 （2） 若点坐标为点坐标为O为坐标原点， 则 , , ， 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3） 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即 若则 。 （4） 中点坐标公式：若的坐标分别为线段的中点的坐标为则 知识点5 平面向量平行（共线）的坐标表示 设其中向量共线的充要条件是 题型梳理 题型一 平面向量基本定理 1．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．已知正六边形中，设，则（   ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 题型二 平面向量的坐标表示 1．已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 2．已知向量如图所示，图中小方格的边长为1，则（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 4．平面向量的坐标运算 （1）设，，则 ， ， ． （2）设，，则 ， ． 5．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则 . 题型三 平面向量线性运算的坐标表示 1．已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．2或 3．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量 ，且，则 ， ． 课后练习 题组A 1．已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 2．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量与的方向相同，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 4．在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 10．在中，为的重心，满足，则 . 题组B 1．已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 3．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则 ． 8．在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    9．已知向量 ，且，则 ， ． 10．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题组C 1．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 4．如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 5．（多选）延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ） A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 6．设为的内心，，，，，则 . 7． 在的边上分别取点，使，，设线段与交于点，记，用表示向量． 8．在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 学科网（北京）股份有限公司 $6.2向量基本定理与向量的坐标表示 知识梳理填空 知识点1平面向量共线定理 向量a(a≠0与b共线的充要条件是：存在唯二实数1，使_b=1a 给定四点O,P,A,B,其中O,A,B为不共线的三点，且OP=xOA+yOB,则A,P,B 三点共线的充要条件是一x+y=1 知识点2平面向量基本定理 若，C是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量ā，有 且只有一对实数入，入2，使_a=入+入2已一。 若ξ，e,不共线，把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 知识点3平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量v=OP都可用从原点O出发的 有向线段0P表示，原点0到E,1,0),E2(0,1)的向量=OE,e2=OE2分别是x轴 正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则v=OP=x+y吧，的坐 标_(x,y)_视为在这组基下的坐标。 知识点4平面向量线性运算的坐标表示 已知a=(x,y),b=(x2,y2),则 (1)a+6=-x+x2,片+y2)-,a-6=_(x-x2,y-y2) 即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 (2)若点A坐标为(x,y),点B坐标为(x2,y2),O为坐标原点， 则0A=_(x,y),OB=_(x2,y2,AB=0B-0A=(x2,y2)-(x,y)=(x2-x,2-y) 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即 若a=(x,y,则元a=_-2x,y (4)中点坐标公式：若P,卫的坐标分别为x,y),(x2,y2),线段PP的中点P的坐 x=+5 标为(x,以，则 2 y=当+ 2 知识点5平面向量平行（共线）的坐标表示 设a=(x,),b=(x2,y2),其中b≠0.向量a,b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2-x2y1=0 题型梳理 题型一平面向量基本定理 1.如图，己知AB=a,，AC=b,BC=4BD,CA=3CE,则DE=(） B D A.5B-3a B.2a+3b C. 3。-1 a- D. 5-3i a- 124 4 12 4 答案.A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为BC=4BD,CA=3CE, 所以DC=3Bc,CE=CA, 所似E=c+cE-c+a=c-到}c亚+4C, 4 又AB=a,AC=b, 所以D元=-3a+5无 -b. 4”1 故选：A. 2.在ABC中，若BD=uBC,AD=2AC+元AB,则元+H=（) A. 4 6 B. C.1 D. 19 5 5 15 答案.C 【分析】先将AD用AB和BD表示，再结合已知条件将BD用BC表示，最后 根据向量的线性运算将AD用AB和AC表示，从而求出入和“的值，进而得到 2+μ的值. 【详解】因为BD=μBC,所以BDIIBC,又因为两向量有公共点B,所以点 B,D,C三点共线，又 AD=AB+BD=AB+uBC=AB+uAC-AB=uAC+(1-u)AB, 又AD=2AC+元AB, [2 = 2 3 所以 5，,解得以=5入= 1-4=2 因此入+4=1. 故选：C 3.已知正六边形ABCDEF中，设AB=a,AF=b,则DF=() 3 A.2a+b B. a- C.-2a-b D.- a-b 2 答案.C 【分析】结合正六边形性质可得DC=-b,CF=-2a,从而根据向量的线性运 算即可求得答案。 【详解】由题意知正六边形ABCDEF中，设AB=a,AF=b, DC=FA=-b,CF =2BA=-2a, B DF=DC+CF=-b-2a=-2a-b, 故选：C 4.在平行四边形ABCD中，E、F分别为CD、AE的中点，设AB=ā， AD=b,则BF=() A.a-36B.a+36 c.-3a+6 D.3a-6 4 2 4 42 42 答案.C 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用AB=ā，AD=b表示出BF· 【详解】由已知， BF-BA+4F-B4+T4E--4B+(AD+DE)=-4B+4D+14B 、3 B+AD=-3a+. 4 2 4 D E 故选：C 5.已知ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线 AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0, 则上+1的最小值是() m n A.4 8.3 22 C.1+ D.3+2√2 3 答案.C 12 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得二n+二m=1, 3 3 然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值 【详解】 B 0 由O是BC边上靠近B的三等分点， 可得：0C=2B0→AC-A0=2A0-AB→A0=}AC+2AB, 又因为AB=mAM,AC=n,所以40=nA+名mAM, 2 3 3 12 又因为M,N,0三点共线，所以亏”+与m=1 又因为m>0,n>0, n.2m=1 2W2 3， 当且仪当”-，即m3到2 3m 3n 2,n=3V2-1时取得等号， 2 所以上+1的最小值为1 2V2 m n 3, 故选：C 题型二平面向量的坐标表示 1.己知向量a,b分别表示位移“向北偏东60方向2km"“向东偏南30方向 3km”,则向量3a-2b表示位移(） A.向正北方向6km B.向正南方向6km C.向西北方向6√2km D.向东南方向6W2km 答案.A 【分1立面直坐标系=到小.5-5- 进行求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系： 则a=55-9-得-25-5-65--06 则向量3a-2b表示位移：向正北方向6km· 故选：A 2.已知向量，b,c,d,e如图所示，图中小方格的边长为1，则() A.b=2a B.C=3a c.a=o D.a=5 答案.C 【分析】建立平面直角坐标系，求出各向量坐标，再逐项判断即得. 【详解】建立平面直角坐标系，如图， a 0 则a=(1,0),b=(-2,0),c=(0,3),d=(-1,3),e=(2,3), 对于A,b=-2a,A错误： 对于B,a,c不共线，B错误： 对于C,|d=V(-)2+32=√0，C正确： 对于D,e=√22+32=√3，D错误。 故选：C 3.(多选)已知ABC中，点D(1,2),E(2,0),F(3,2)分别为AB,BC, CA的中点，则() A.EF=(1,2) B.CF=(1,-2) C.点A的坐标为2,4 D.△ABF的面积为4 答案，ACD 【分析】根据E,F两点的坐标求出向量EF的坐标，即可判断A,利用 CF=ED,再由D,E的坐标求出ED的坐标，即可判断B;设Ax,y), B(m,n,C(P,q,根据中点坐标公式列出方程组，求出A,B,C三点坐标，即 可判断C,分别求出S。ABC,SBCF,即可求出△ABF的面积，即可判断D. 【详解】 YA B 因为E(2,0),F(3,2),所以EF=(3,2-（2,0)=(1,2),故A正确： 因为D,E分别为AB,BC的中点， 所以CF=ED=1,2)-（2,0)=（-1,2),故B错误； A(x,y),B(m,n),C(p,q), 1=x+m 2=m+p 3=+p 2 2 则有 y+n 2= 0=n+g 2=y+g 2 2 解得A2,4),B(0,0),C(4,0),故C正确： 1 1 由C可知Sac=×4x4=8,S.cr=2×4x2=4 所以△ABF的面积为SABC-SBCF=8-4=4,故D正确. 故选：ACD 4.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x,y),b=(x2,y2),则a+b=一，a-b=— λa=_ (2)设Ax,),B(x2,y2),则AB=一， 答案。 x1+x2,y1+y2 (x1-x2,y1-y2 （2x1,元y （x2-x,y2-y Vx2-x)2+(y2-) 【分析】略 【详解】略 5.如图，设Ox、Oy是平面内相交成60角的两条数轴，g、巴分别是与x轴、 y轴正方向同向的单位向量，若Op=xe+ye,记OP的斜坐标(x,y).则向量 a,的斜坐标分别为-1,2)，(3,1)，则a+b= 答案.√9 【分析】根据题设有a=-e,+2e,,b=3e,+e,,再由向量加法及数量积的运 算律求向量的模 【详解】由题设a=-e,+2e2,b=3e,+e2,则 a+b=-e+2e+3+e2=2e+3e2, 所以a+=Va+2=V(2e+3e,)2-V4e+9e,+12e·e, 2 =V4+9+6=V19. 故答案为：√19 题型三平面向量线性运算的坐标表示 1.已知向量a=(1,2),6=(1,1,若a-b与a+2b共线，则2=() A.-1 B.1 C.2 D.-2 答案.A 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】a-b=(0,1),a+2b=(1+2,2+元)， 由a-b与a+2b共线，可得0×(2+2)-1×(1+元)=0， 解得入=-1， 故选：A 2.已知向量a=(m,2),b=(1,m-1),若(a+2b)113a-45),则实数m的值 为() A. 2 B.2 C.1或-2 D.2或-1 3 答案.D 【分析】根据题意得a+2b=(m+2,2m),3a-4b=(3m-4,10-4m,再根据 向量共线的坐标表示求解即可 【详解】因为a=(m,2),b=(1,m-1, 所以a+2b=(m+2,2m）,3a-4b=(3m-4,10-4m, 因为a+2b)/1(3a-46), 所以(m+2)(10-4m)-2m(3m-4)=0,整理得m2-m-2=0,解得m=2或 m=-1 所以实数m的值为2或-1 故选：D