6.2.1&6.2.2向量基本定理&直线上向量的坐标运算（题型专练）数学人教B版必修第二册

6.2.1&6.2.2向量基本定理&直线上向量的坐标运算 题型一 利用向量共线定理证明点共线 1．（22-23高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量共线的结论进行判断. 【详解】因为分别表示与方向相同的单位向量，所以由可知，方向相同； “存在实数，使得”即共线，包含方向相同或方向相反两种情况． 所以，“存在实数，使得”不能推出是“”； “” 可以推出“存在实数，使得”， 所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【详解】对A，， 所以，则三点共线，A正确； 对B，，, 则不存在任何，使得，所以不共线，B错误； 对C，， 则不存在任何，使得，所以不共线，C错误； 对D，， 则不存在任何，使得，所以不共线，D错误； 故选：A. 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知平面向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线的充要条件计算即可. 【详解】对于A，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，则，显然该方程无解，故A错误； 对于B，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，则，显然时符合要求，故B正确； 对于C，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，显然不存在使得上式成立，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，同上，显然不存在使得上式成立，故D错误. 故选：B 题型二 共线向量的判断、证明及线的平行问题 1．（2022·河南·三模）已知、、均为非零向量，且，，则（    ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向 【答案】C 【分析】根据数乘向量的定义可得出结论. 【详解】因为，，所以与同向，与反向，所以与反向． 故选：C. 2．（20-21高一下·全国·课后作业）已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据题意可求得，结合与的关系分析判断. 【详解】由题意可得：， 则， 故与共线，且， ∴四边形ABCD是梯形． 故选：C. 3．（20-21高一下·湖南郴州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】由化简可得，结合向量共线定理判断四边形的形状. 【详解】∵  ， ∴  ， ∴  ， ∴ 四边形一定是梯形． 故选：B. 题型三 根据向量共线求参数 1．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解. 【详解】因为向量，共线， 所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足， 当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 2．（24-25高一下·福建三明·期末）已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】由向量共线定理的定义列方程求解即可. 【详解】由题意，设，则， 则，解得. 故选：B. 3．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理即可求解. 【详解】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 4．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线得到方程，从而得到或，经过检验，排除不合要求的值，得到答案. 【详解】由，不共线，易知向量为非零向量， 由向量与方向相同， 可知存在实数，使得，即. 由，不共线，必有， 否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾. 由，解得或， 当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符. 当时，，，方向相同，符合题意. 因此，当向量与方向相同时， 故选：B 题型四 根据点共线求参数 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式求解即得. 【详解】由，，三点共线，得，又，，，不共线， 则，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·山东·期中）已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共线向量定理可三点共线的充要条件. 【详解】因为是两个不共线的向量，故，均不为零向量， 若三点共线，则，为共线向量， 故存在实数，使得，故， 而是两个不共线的向量，故，故， 反之，若，则，故， 故，为共线向量，而，共起点，故三点共线， 综上，三点共线的充要条件是， 故选：A 3．（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量的和差等运算规律得出，然后结合向量共线定理即可求解. 【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量， 且有， ，， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以. 故选：D 题型五 用基底表示向量 1.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）在中，点M，N满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知，， 则， 所以. 故选：B.    2．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，，，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以有，   . 故选：A 3．（24-25高一下·海南·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法结合平面向量基本定理计算参数即可. 【详解】在中，是的中点，点满足， 因为， 则，所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·甘肃武威·期末）在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量的线性运算及三点共线性质计算求解. 【详解】因为，所以，则. 因为是线段的中点，所以. 因为三点共线，所以， 所以解得. 故选：D. 题型六 平面向量基本定理的应用 1．（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，和平面向量运算方法，用基底表示目标向量. 【详解】 如图所示，. 故选：D. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，再根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，作图如下， 所以，则， 所以， 则. 故选：D. 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，为边的中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为 . 【答案】4 【分析】设，可得，由，，三点在同一条直线上，可求得的值，即可得解． 【详解】设， 因为， 所以， 因为，，三点在同一条直线上， 所以，所以， 所以． 故答案为：4. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正六边形的性质以及向量的线性运算和共线问题，通过向量关系建立等式求解线段比值. 【详解】解法1：如图，连接．    因为三点共线， 所以 ． 因为点在的中线上， 所以，解得，则，所以． 解法2： ， 化简得， 即，解得，所以． 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，，和交于点，试用和表示向量． 【答案】 【分析】由于是和的交点，若用回路法，就要找和上的回路，当然也可以用三点共线的充要条件构造方程. 【详解】解法1：因为三点共线， 所以． 因为三点共线，所以，可得， 所以． 解法2：因为， 根据定比分点公式可得， 即． 因为三点共线， 所以，即， 所以， 即，所以． 解法3：， 化简得． 因为，，所以， 则，可得， 即． 解法4：由，可得， 化简得， 后面与解法3相同． 题型七 利用平面向量基本定理求参数 1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【详解】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【详解】如图，由题，， ， 所以. 故选：A.    4．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知x、y是实数，向量，不平行，若，则 ． 【答案】 【分析】借助向量基本定理可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故. 故答案为：. 6．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知向量，点三点共线，则 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理化简解方程即可求出的值. 【详解】由三点共线可知存在实数，满足， 即，所以， 可得， 因此，解得； 此时. 故答案为： 7．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【答案】3 【分析】利用重心性质可得，再根据三点共线利用共线定理可得,且，即. 【详解】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3． 题型八 向量及点的坐标问题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】由平面向量的坐标表示可知，当A点是原点时，B点的坐标是. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3．（22-23高一下·江西赣州·期中）已知，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】∵,∴,解得, ∴点的坐标是. 故选：D. 4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量相等即可求解. 【详解】    令顶点的坐标为，又 所以， 如图易知，在平行四边形中， 所以，解得，所以顶点的坐标为， 故选：A. 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）与向量平行的单位向量是 ． 【答案】或 【分析】利用与向量平行的单位向量公式为来进行计算即可. 【详解】,, 则与向量平行的单位向量是， 故答案为：或. 6．（20-21高一·全国·课后作业）若数轴上A，B两点的坐标分别为-2，x，且的坐标是-8，则 . 【答案】-10 【分析】设点为坐标原点，根据即可求出． 【详解】解：设点为坐标原点，则， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（20-21高一·全国·课后作业）已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是 . 【答案】，/， 【分析】由直线上线向量的坐标的定义可得答案. 【详解】由直线上线向量的坐标的定义知，，的坐标分别是，. 故答案为：，. 题型九 向量的模 1．（20-21高一·全国·课后作业）直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（    ） A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1 【答案】A 【分析】根据直线上向量的坐标运算法则代入数据即可求得答案. 【详解】由题可知，向量的坐标为， 向量的模为 故选：A 2．（24-25高一下·福建泉州·期末）在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，可得在直线，最小值即为到直线的距离，据此计算可得最小值. 【详解】作出示意如图所示：取的中点， 则，又，所以， 又，所以在直线上， 所以的最小值为到直线的距离，即， 因为，所以，且，所以， 所以，所以的最小值为. 故选：C. 3．（2023高一·全国·课后作业）已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， ，若点也在该数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 ． 【答案】 7 【分析】直接用直线上向量的坐标及其运算求解即可. 【详解】数轴上A，B两点的坐标依次为，， 则对应的坐标为； ； 设点对应的坐标是， 因为对应的坐标为，则， 即点对应的坐标是. 故答案为：. 4．（20-21高一·全国·课后作业）若数轴上A，B两点的坐标分别为-5，7，则的坐标是 ， . 【答案】 -12 12 【分析】由直线上向量坐标运算求解即可 【详解】由题意可知： ， ， 故答案为：；12 题型一 向量基本定理与平面几何问题 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，确定的值即可. 【详解】如图： 取，过作，交于点，交于点. 设，因为三点共线，所以. 设，因为， 所以，. 因为共线，所以，所以. 因为且点在内运动，所以点在线段上，所以. 即，.所以. 故选：C 2．（2025高一·全国·专题练习）已知是内一点，，若，则 ． 【答案】4 【分析】法一：设，得，，则，即可得；法二：由题设得，进而有，即可得. 【详解】法一：设，，以为邻边作平行四边形， 如图，则，， 因为，所以． 法二：因为， 所以，所以， 所以， 所以． 故答案为：4 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，任作一条直线，交于点．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据，再将其转化为的线性表示，根据系数和为1即可求证. 【详解】因为是边上的中线，则， 因，，， 所以，即， 又因为三点共线，所以， 则． 4．（24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可. 【详解】（1）； ； （2）设，连接， ， ， 则，解得， 设边上的高为，边上的高为， 则， 所以. 5．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    【答案】2 【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可． 【详解】设与相交于点，可得． 因为三点共线，所以． 因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，, 所以,此时， 所以的最大值为2． 7．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    【答案】证明见解析 【分析】结合角平分线的向量表示和定比分点公式可证． 【详解】设， 根据定比分点公式有， 而利用单位向量和共线定理，可得， 所以， 可得，， 两式相除可得． 8.（2025高一·全国·专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】解法一，利用表示，再根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理的唯一性得出关系； 解法二，利用表示，再根据三点共线得出系数和为1即可求证. 【详解】解法1：设，， 因为，， 所以，， 因为的重心，则， 因为三点共线，则存在，使得，即， 即， 所以，整理得，即， 两边同除以得． 解法2： 因为，， 所以，， 因为为的重心，所以， 因为三点共线，所以，得． 题型二 应用向量基本定理确定最值、范围问题 1．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 2．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值. 【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 所以. 因为，所以. 所以. 因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得. 所以. 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6. 故选：D. 4．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 5．（2025高一·全国·专题练习）已知的重心为，，，其中，，且三点共线，则 ；与的面积之比的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】利用三点共线所需条件，求出与的关系，利用基本不等式可以简化运算，求出最值. 【详解】因为为的重心，所以， 因为三点共线，故存在，使得，其中． 又因为，， 所以， 所以，即． 由，， 且，得， 由，得由， 消去得， 当且仅当，时取到等号． 故答案为：①3；②. 1．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 2．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若三点共线且，则； ③若和同向，则； ④和不共线且，若三点共线，则．其中正确命题的序号是（    ）. A．②③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据共线向量的充要条件判断①，由的特殊位置判断②，根据同向向量的数乘关系判断③，由三点共线的向量表示判断④. 【详解】①若，为非零向量，则不存在，故①错； ②若点在直线上，则不一定等于1，故②错； ③若和同向，则，即，故③正确； ④和不共线且，若三点共线， 当时，则，满足，当时，由可得 ，则，即，故④正确. 故选：C． 3．（多选）（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】由点在线段上可设，.根据题意可得，，∴.结合平面向量基本定理即可得到，逐项判断即可求解. 【详解】∵点在线段上，∴设，. 又点，分别在和上，且满足，， ∴，，∴. 又，∴，即. 故选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD. 4．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上的点，，. （1）若点A是线段的一个三等分点，求x的值； （2）求的最小值. 【答案】（1）或；（2）5. 【分析】（1）先把A是线段的一个三等分点转化为或，直接列方程即可求出x； （2）利用向量模的三角形不等式即可求出最小值. 【详解】解：（1）因为点A是线段的一个三等分点， 所以或. 因为，，， 所以或. 所以或. （2）因为，当且仅当与同向时取等号， 所以当时，取得最小值5. 5．（20-21高一·全国·课后作业）已知，，是直线l上的向量，向量，的坐标分别为1，-3，且，求，，的坐标. 【答案】，，的坐标分别是-2，-3，3或-1，，0. 【分析】由已知可得，计算即可得出结果. 【详解】解：设，，的坐标分别是x，y，z. 因为向量，的坐标分别为1，-3，且， 所以， 解得，或. 所以，，的坐标分别是-2，-3，3或-1，，0. 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）由已知条件，结合向量的线性运算与平面向量基本定理求解. 【详解】（1）由已知，即， 所以； （2）为线段的中点，， 又， ， 又，且不共线，所以， 所以． 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 8．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1&6.2.2向量基本定理&直线上向量的坐标运算 题型一 利用向量共线定理证明点共线 1．（22-23高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知平面向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 题型二 共线向量的判断、证明及线的平行问题 1．（2022·河南·三模）已知、、均为非零向量，且，，则（    ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向 2．（20-21高一下·全国·课后作业）已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 3．（20-21高一下·湖南郴州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 题型三 根据向量共线求参数 1．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（24-25高一下·福建三明·期末）已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 3．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 题型四 根据点共线求参数 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 2．（24-25高一下·山东·期中）已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 题型五 用基底表示向量 1.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）在中，点M，N满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，，，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·海南·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃武威·期末）在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型六 平面向量基本定理的应用 1．（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，为边的中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为 . 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，，和交于点，试用和表示向量． 题型七 利用平面向量基本定理求参数 1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知x、y是实数，向量，不平行，若，则 ． 6．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知向量，点三点共线，则 7．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 题型八 向量及点的坐标问题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江西赣州·期中）已知，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）与向量平行的单位向量是 ． 6．（20-21高一·全国·课后作业）若数轴上A，B两点的坐标分别为-2，x，且的坐标是-8，则 . 7．（20-21高一·全国·课后作业）已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是 . 题型九 向量的模 1．（20-21高一·全国·课后作业）直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（    ） A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1 2．（24-25高一下·福建泉州·期末）在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·课后作业）已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， ，若点也在该数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 ． 4．（20-21高一·全国·课后作业）若数轴上A，B两点的坐标分别为-5，7，则的坐标是 ， . 题型一 向量基本定理与平面几何问题 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知是内一点，，若，则 ． 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，任作一条直线，交于点．求证：．    4．（24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 5．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    7．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    8.（2025高一·全国·专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：． 题型二 应用向量基本定理确定最值、范围问题 1．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 2．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 4．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 5．（2025高一·全国·专题练习）已知的重心为，，，其中，，且三点共线，则 ；与的面积之比的最小值为 ． 1．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若三点共线且，则； ③若和同向，则； ④和不共线且，若三点共线，则．其中正确命题的序号是（    ）. A．②③ B．①② C．③④ D．①④ 3．（多选）（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上的点，，. （1）若点A是线段的一个三等分点，求x的值； （2）求的最小值. 5．（20-21高一·全国·课后作业）已知，，是直线l上的向量，向量，的坐标分别为1，-3，且，求，，的坐标. 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 8．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $