第一章 勾股定理 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义以勾股定理为核心，按“定理表述-证明方法-逆定理-应用”逻辑构建知识体系，通过表格对比三种拼图证明方法，用易错点标注区分直角边与斜边等关键，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于情境化练习设计，如赵爽弦图计算、小鸟飞行距离等题，培养数学思维与模型意识，分层设置选择、解答题满足不同学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供支持。

第一章 勾股定理 考点1: 勾股定理 文字语言：如图，直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． · 拓展：勾股定理有许多变形，如用a，b表示直角边，c表示斜边，则有a2＋b2＝c2，还可以变形为 a2＝c2－b2，b2＝c2－a2. · 易错点： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2． →易混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式(如错算为a2＋c2＝b2). 练习1. 1. 下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是( ). A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 2. 下列几组数，能作为直角三角形三边长的是( ). A.2，3，5 B.12，18，22 C.2，，2 D.，， 考点2: 勾股定理的证明 方法：勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积， 建立等式，化简之后得到a2＋b2＝c2. 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中S正方形ABCD＝(a＋b)2＝4×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图(2)中S正方形ABCD＝c2＝4×ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2. 方法三：将两个直角三角形拼成直角梯形.如图(3)所示， 图(3)中S梯形ABCD＝(a＋b)×(a＋b)＝2×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2. 练习2. 1. 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为( ). A. B.2 C. D.3 2. 我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接BF，若S△ABF＝12.5，AB－EF＝6，则S正方形ABCD＝ . 考点3: 勾股数 满足不定方程x2＋y2＝z2的三个正整数，称为勾股数，显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形. · ①常见的勾股数：(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)、(8，15，17)、(7，24，25)…… ②如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 考点4: 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. · 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： ①首先确定最大边，不妨设最大边长为c； ②验证：a2＋b2与c2是否具有相等关系： 若a2＋b2＝c2，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若a2＋b2＞c2时，△ABC是锐角三角形； 若a2＋b2＜c2时，△ABC是钝角三角形． · 易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较(如用52＋132与122比较，导致判断错误) 练习3. 1. 已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是( ). A.∠A:∠B:∠C＝3:4:5 B.∠A＝∠B＝2∠C C.a:b:c＝2:2:3 D.a＝1，b＝2，c＝ 2. 若一个三角形的三边长分别是m＋1，m＋2，m＋3，它是直角三角形，则m的值为 . 考点5: 勾股定理与逆定理区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考点6: 勾股定理应用 1. 主要应用是： ①已知直角三角形的两边，求第三边； ②利用勾股定理可以证明有关线段平方关系； ③解决与勾股定理有关的面积计算； ④勾股定理在实际生活中的应用． 2. 解决问题步骤： ①将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； ②确定所求线段所在的直角三角形找到就直接用定理，若找不到就添加辅助线构造直角三角形； ③根据勾股定理，列方程求解. 练习4. 1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，若CD＝4，则AC的长为( ). A.7 B.8 C.8 D.4＋4 2. 如图，∠BDE＝90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是( ). A.16π B.8π C.4π D.2π 3. 如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2＋CD2的值为( ). A.40 B.38 C. 36 D. 32 4. 小明用5张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为36，64，144，则正方形B的面积为( ). A.172 B.100 C. 80 D. 44 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是 . 6. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝1，以斜边CB为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 . 7. 已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为 . 8. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏西60°和南偏西30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为 m. 9. 如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，BC＝9，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心,以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点D，点F在AC上且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 . 10. 如图，在△ABC中，现按以下步骤作图：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交CB于点D；分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线AM交CB于点E.若AB＝20，AC＝13，BC＝21，则CE的长为 . 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求BC的长. 12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AC＝2，BC＝5，AD＝4. (1)请判断△ABC的形状，并证明； (2)过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，求BE和AF的长. 13. 小明将要组织策划社区春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示.具体要求如下：在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝90°，AB＝13米，BC＝12米，CD＝3米，AD＝4米. (1)求线段AC的长； (2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元? 14. 如图有两棵树，一棵高14m，一棵高2m，两树之间相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米? 15. 如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，AB⊥l于点B，DC⊥l于点C，AB＝8千米，BC＝16千米，CD＝12千米.现需要在BC上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离. 16. 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何”大意如下：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，问门的宽度(两扇门宽度的和)AB为多少尺? 17. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域. (1)学校C会受噪声影响吗?为什么? (2)若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟? 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 考点1: 勾股定理 文字语言：如图，直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． · 拓展：勾股定理有许多变形，如用a，b表示直角边，c表示斜边，则有a2＋b2＝c2，还可以变形为 a2＝c2－b2，b2＝c2－a2. · 易错点： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2． →易混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式(如错算为a2＋c2＝b2). 练习1. 1. 下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是( C ). A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 2. 下列几组数，能作为直角三角形三边长的是( D ). A.2，3，5 B.12，18，22 C.2，，2 D.，， 考点2: 勾股定理的证明 方法：勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积， 建立等式，化简之后得到a2＋b2＝c2. 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中S正方形ABCD＝(a＋b)2＝4×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图(2)中S正方形ABCD＝c2＝4×ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2. 方法三：将两个直角三角形拼成直角梯形.如图(3)所示， 图(3)中S梯形ABCD＝(a＋b)×(a＋b)＝2×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2. 练习2. 1. 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为( C ). A. B.2 C. D.3 2. 我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接BF，若S△ABF＝12.5，AB－EF＝6，则S正方形ABCD＝ 169 . 考点3: 勾股数 满足不定方程x2＋y2＝z2的三个正整数，称为勾股数，显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形. · ①常见的勾股数：(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)、(8，15，17)、(7，24，25)…… ②如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 考点4: 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. · 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： ①首先确定最大边，不妨设最大边长为c； ②验证：a2＋b2与c2是否具有相等关系： 若a2＋b2＝c2，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若a2＋b2＞c2时，△ABC是锐角三角形； 若a2＋b2＜c2时，△ABC是钝角三角形． · 易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较(如用52＋132与122比较，导致判断错误) 练习3. 1. 已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是( D ). A.∠A:∠B:∠C＝3:4:5 B.∠A＝∠B＝2∠C C.a:b:c＝2:2:3 D.a＝1，b＝2，c＝ 2. 若一个三角形的三边长分别是m＋1，m＋2，m＋3，它是直角三角形，则m的值为 2 . 考点5: 勾股定理与逆定理区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考点6: 勾股定理应用 1. 主要应用是： ①已知直角三角形的两边，求第三边； ②利用勾股定理可以证明有关线段平方关系； ③解决与勾股定理有关的面积计算； ④勾股定理在实际生活中的应用． 2. 解决问题步骤： ①将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； ②确定所求线段所在的直角三角形找到就直接用定理，若找不到就添加辅助线构造直角三角形； ③根据勾股定理，列方程求解. 练习4. 1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，若CD＝4，则AC的长为( D ). A.7 B.8 C.8 D.4＋4 2. 如图，∠BDE＝90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是( B ). A.16π B.8π C.4π D.2π 3. 如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2＋CD2的值为( A ). A.40 B.38 C. 36 D. 32 4. 小明用5张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为36，64，144，则正方形B的面积为( D ). A.172 B.100 C. 80 D. 44 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是 2 . 6. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝1，以斜边CB为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 . 7. 已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为 2或2 . 8. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏西60°和南偏西30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为 100 m. 9. 如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，BC＝9，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心,以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点D，点F在AC上且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 11 . 10. 如图，在△ABC中，现按以下步骤作图：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交CB于点D；分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线AM交CB于点E.若AB＝20，AC＝13，BC＝21，则CE的长为 5 . 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求BC的长. 答案：BC的长是6. 12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AC＝2，BC＝5，AD＝4. (1)请判断△ABC的形状，并证明； (2)过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，求BE和AF的长. 答案：(1) △ABC是等腰三角形.通过计算得AB＝AC＝5可证. (2) BE＝2，AF＝ 13. 小明将要组织策划社区春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示.具体要求如下：在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝90°，AB＝13米，BC＝12米，CD＝3米，AD＝4米. (1)求线段AC的长； (2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元? 答案：(1) 线段AC的长为5米；(2)制作这样一块背景板需花费360元. 14. 如图有两棵树，一棵高14m，一棵高2m，两树之间相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米? 答案：如解图所示，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了13米. 15. 如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，AB⊥l于点B，DC⊥l于点C，AB＝8千米，BC＝16千米，CD＝12千米.现需要在BC上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离. 答案：如解图所示，E到B的距离为10.5千米. 16. 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何”大意如下：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，问门的宽度(两扇门宽度的和)AB为多少尺? 答案：如解图，门的宽度(两扇门宽度的和)AB为10.1尺 17. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域. (1)学校C会受噪声影响吗?为什么? (2)若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟? 答案：(1)学校C会受噪声影响. 理由：如图，CD＝120 m. (2)拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $