精品解析：河南省新乡市原阳县路寨乡第二初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年上学期阶段性学情分析（三） 八年级数学（HS） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数和为0解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【点睛】此题主要考查相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 1，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，解题的关键是根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数进行判断． 【详解】解：A、，，不是正整数，则不是勾股数，故不合题意； B、，故不是勾股数，不合题意； C、1，，不是正整数，则不是勾股数，故不合题意； D、，故为勾股数，符合题意； 故选：D． 3. 如图，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角．根据平行线的性质得，由等边对等角求得，由邻补角性质得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两个无理数相加，结果仍然是无理数 C. 同位角相等 D. 等角的余角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，熟记相关定理及性质是解题的关键．根据对顶角的定义、无理数的性质、平行线的性质、余角的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项是假命题，不符合题意； B、两个无理数相加，结果不一定是无理数，故此选项是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故此选项是假命题，不符合题意； D、等角的余角相等，故此选项是真命题，符合题意； 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方，合并同类项，完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果后再判断即可． 【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意； B．，计算正确，符合题意； C．与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； D．，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．先按照“马走日”的规则，找出马走一步之后的落点，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知，当马落在店B处与“帅”的距离最大， 最大距离是 故选A． 7. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解． 【详解】解：过点B作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 8. 如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算的面积，再利用割补法即可求出“希波克拉底月牙”的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 的面积为， ∴“希波克拉底月牙”的面积是． 故选：C． 9. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 16 B. 30 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查与直角三角形有关的图形的面积问题，熟练掌握勾股定理，找到规律是解题的关键：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理，得到，得到正方形的面积+正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加4，进行求解即可． 【详解】解：如图，把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为． 正方形的面积为，正方形的面积为． 由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边． 正方形的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形的面积+正方形的面积； 图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积，正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积＋正方形的面积． 图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 故选C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：3________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：将两个数分别平方，得 ， ， ∵ ，且 ，， ∴ ． 12. 若，，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法的逆用，逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为： 13. 爱护森林人人有责，如图1，这是山西某中学森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋，木屋为轴对称图形，木屋的相关数据（单位：cm）如图2所示，则屋顶A到地面B的距离为____________cm． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质结合图形求得，利用勾股定理求得，结合图形即可求解． 【详解】解：∵木屋为轴对称图形， ∴是等腰三角形， 作，垂足为， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴屋顶A到地面B的距离为， 故答案为：40． 14. 如图，，，垂足分别为B，E，、相交于点F，若，，连接，则图中阴影部分面积为____________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．先利用等角的余角相等得到，则可根据“”判断，所以，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积 故答案为：32． 15. 如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、完全平方公式、多项式除以单项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值、立方根、算术平方根的性质化简，再计算加减即可； （2）根据完全平方公式、多项式除以单项式的运算法则化简，再合并同类项即可； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理直接计算即可求得，再根据等积法计算即可求得，熟练掌握勾股定理及三角形的面积公式是解决本题的关键． 【详解】解：在中， 因为，，， 所以， 所以． 因为为边上的高， 所以， 所以． 18. 已知的算术平方根是2，的立方根是2，c是的整数部分． （1）分别求出a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数估算，平方根，算术平方根，立方根的定义，代数式求值，熟练掌握相关定义并准确计算是解答本题的关键． （1）根据无理数估算，平方根，算术平方根，立方根的定义，求出a、b、c的值即可； （2）先将a、b、c的值代入，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是2，的立方根是2， ，， , ， 解得：，，； 【小问2详解】 由（1）得， ， ∴． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 20. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ∴． 21. 阅读下面材料，并解决问题． 因式分解：， 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“”还原，原式＝．上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． （1）因式分解：； （2）试说明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2） 证明：设， ∴原式， ∵为正整数， ∴为整数，即是整数， ∴原式的值一定是某个整数的平方． 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式因式分解，掌握乘法公式的计算是关键． （1）根据材料提示，运用整体思想，平方差公式分解因式即可求解； （2）根据材料提示运用完全平方公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设， ∴原式， 将还原，原式； 【小问2详解】 略 22. 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1）①；②边上的高为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由勾股定理求出AB的长即可； ②根据等面积法求解； （2）设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． 【小问1详解】 ①根据勾股定理可得，； 故答案为：； ②设边上的高为 ， ， ， 边上的高为； 【小问2详解】 设，则 是边上的高， 在中， 在中， ， 解得， ∴， 【点睛】 23. （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接． 填空：①的度数为 ；②线段，之间的数量关系为 ． （2）如图2，和均为等腰三角形，，A，D，E三点在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，的数量关系，并说明理由． （3）图1中的和，在旋转中当点A，D，E不在同一直线上时，旋转角，设直线与相交于点，尝试在图中探索的度数，不必说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）；，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴为的中线， ∴， 由图可得：； 即； （3）的度数是或 【解析】 【分析】（1）①由条件易证，从而得到：．由点，，在同一直线上和等边三角形性质可求出，从而可以求出的度数．②由①得，即可得出； （2）由“”可证，可得，，根据直角三角形中线的性质及各角之间的关系求解即可； （3）分两种情况求解，由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知∠． 【详解】解：（1）①如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ∴ ， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：． ②≌， ． 故答案为． （2）略 （3）如图，由（1）知， ， ， ， ， 如图，同理求得， ∴， ， 的度数是或 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期阶段性学情分析（三） 八年级数学（HS） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 1，， D. 5，12，13 3. 如图，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两个无理数相加，结果仍然是无理数 C. 同位角相等 D. 等角的余角相等 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ） A. 5 B. C. D. 7. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 48 9. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 16 B. 30 C. 48 D. 60 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：3________（填“”“”或“”） 12. 若，，那么_____． 13. 爱护森林人人有责，如图1，这是山西某中学森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋，木屋为轴对称图形，木屋的相关数据（单位：cm）如图2所示，则屋顶A到地面B的距离为____________cm． 14. 如图，，，垂足分别为B，E，、相交于点F，若，，连接，则图中阴影部分面积为____________． 15. 如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 18. 已知的算术平方根是2，的立方根是2，c是的整数部分． （1）分别求出a、b、c的值； （2）求的平方根． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 20. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 21. 阅读下面材料，并解决问题． 因式分解：， 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“”还原，原式＝．上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． （1）因式分解：； （2）试说明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 22. 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 23. （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接． 填空：①的度数为 ；②线段，之间的数量关系为 ． （2）如图2，和均为等腰三角形，，A，D，E三点在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，的数量关系，并说明理由． （3）图1中的和，在旋转中当点A，D，E不在同一直线上时，旋转角，设直线与相交于点，尝试在图中探索的度数，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $