河南省南阳市第十三中学校2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题

2025年秋期八年级数学第二次限时督学 参考答案及评分细则 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.D2.B3.A4.D5.B6.C7.D8.B9.D10.C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.13或√119 12.1 13.12 14.30 15.60°或120° 三、解答题：本题共8小题，满分75分。 (请注意：几何题的证明方法，只要正确即可，参考答案只是给出了一种证明方法) 16.(本小题9分) 解：a4-b4+b2c2-a2c2=0, a4-b4+(b2c2-a2c2=0, (a2-b2)(a2+b2-c2(a2-b2)=0, (a2-b23(a2+b2-c2)=0, …………(5分) (a-b)(a+b)(a2+b2-c3=0, 因为a>0,b>0,c>0, 所以a-b=0或a2+b2=c2, 当a-b=0时，△ABC为等腰三角形； 当a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形. (8分) 综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形. …(9分) 17.(本小题9分) 证明：BD⊥AC,CE⊥AB, ∠CDF=∠BEF=90°， 在△CDF和△BEF中， '∠DFC=∠EFB ∠CDF=∠BEF, CF=BF 第1页，共5页 '△CDF≌△BEF(AAS) (5分) .DF=EF, 又BD⊥AC,CE⊥AB, 点F在∠BAC的平分线上. (9分) 18.(本小题9分) 证明：∠A=120°，AB=AC, .∠B=∠C=30°， (2分) 又DE L AB,DF L AC, .∠BED=∠CFD=90°， .∠BDE=∠CDF=60°， ∠EDF=60°， …….(4分) D是BC的中点， ∴.BD=CD 在△BDE与△CDF中， LB=∠C BD =CD (∠BDE=LCDF ∴△BDE≌△CDF, ..DE =DF, (8分) △DEF是等边三角形 (9分) 19.(本小题9分) (1)证明：如图，过点A作AF1BC于F. .AB=AC,AD=AE. ..BF=CF,DF=EF, ∴.BD=CE .(5分) (2)AD=DE=AE, ∴△ADE是等边三角形， 第2页，共5页 ∴.∠DAE=∠ADE=60°. AD=BD, ∴.∠DAB=∠DBA ÷∠DAB=3LADE=30, ·∠BAE=∠BAD+∠DAE=90° (9分) 20.(本小题9分) .证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠AED=∠AFD=90 (3分) .D在线段EF的垂直平分线上 (4分) 在Rt△ADE和Rt△ADF中， (AD =AD, DE=DF, ∴.Rt ADE≌Rt△ADF(HL ..AE=AF. ………………(7分) ∴A在线段EF的垂直平分线上 ………(8分) AD是线段EF的垂直平分线， 即AD垂直平分EF. …..(9分) 21.(本小题10分) 解：(1)海港C受台风影响. 理由：如图，过点C作CD1AB于D, .AC=300km,BC=400km,AB =500km, ·AC2+BC2=AB2. ∴△ABC是直角三角形. ÷SaAc=号AC×BC=CD×AB, ∴.300×400=500×CD, 第3页，共5页 ÷CD=300X400=240(km, 500 以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， 海港C受到台风影响， …….(5分) (2)如图，当EC=250km,FC=250km时，正好影响C海港， .ED =EC2-CD2 =70(km), EC=FC=250cm,CD L AB, ∴.FD=ED=70cm, .∴.EF=140km, ~台风的速度为40km/h, .140÷40=3.5(小时) 即台风影响该海港持续的时间为3.5小时.…….(10分) 22.(本小题10分) 解：(1)∠ACB=90°，AB=100米，BC=80米， M ·AC=VAB2-BC2=60(米)， ! AD=AC+DC=60+1.5=61.5(米)， 答：风筝离地面的垂直高度是61.5 B C 米： ..(5分) D (2)如图，风筝上升到了M的位置， 由题意知：BN=BC-CN=80-20=60(米)， ∠MNB=90°，MB=100米， ∴MN=√MB2-BN2=80(米)， ·.MN-AC=80-60=20(米)， 答此时风筝上升了20米.… (10分) 23.(本小题10分) (1)证明：赵爽弦图证明：“S大正方形=4S三物形+S小正方形， c2=4×2ab+(b-a2, c2=a2+b2; “总统证法”证明：S梯形ABCD=SRIAADE+SRt△CDE十SRABCE: 第4页，共5页 ..(@+b)(a+b)=zab+zc2+zab, ..a2+2ab b2 c2+2ab, .a2+b2=c2: .....(5分) (2)解：设AH=x千米，则BH=AB-AH=2.1-x(千米)， CH⊥AB, 在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH2=AC2-AH2=12-x2, 在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH2=BC2-BH2=1.72-(2.1-x)2, 12-x2=1.72-(2.1-x)2, 解得x=0.6, ∴AH=0.6千米， 在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH=√AC2-AH2=V12-0.62=0.8(千米) 答：新修路CH的长为0.8千米.............(10分) 第5页，共5页2025年秋期八年级数学第二次限时督学 (考试时间：100分钟.分数：120分) 、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分：女兰 1.(课本93页第1题变式)已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为(.)，6小 A.40° B.100° C.40°或70° D.40或100 2.(2025青海期中)下列各命题中，它们的逆命题不成立的是() A等腰三角形的两个底角相等 B,全等三角形的对应角相等。 C.等边三角形的三个内角都相等 D:直角三角形的两个锐角互余 3.(课本96页第1题变式)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A三36°，BD,CE分别是LABC,∠BCD的平 分线，则图中的等腰三角形共有()： A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【,5的问 (第3题图)上，4（第4题图）代，4￥（第5题图）兰（第9题图）：不坊个少 4.(2025广东期中)如图，在数轴上，点A,B表示的数分别为0,2，BC⊥AB于点B,且BC=1.连接AC, 在AC上截取CD=BC,以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点B,则点E表示的实数是() A.2W5 B.√5+1 C.2 D.√5-1 5.(2025河南省月考)如图，公园内三条小路两两相交，交点分别为点A,B,C,若要在△ABC区域内修 建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在() A.△ABC的三条高线的交点 B.△ABC的三条角平分线的交点 C.△ABC的三条中线的交点D.△ABC的三边垂直平分线的交点 6.(2025海南期中)下列各组数中，是勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.√5，√12，√13C.6,8,10 D.1.5,2,2.5 7.(课本128页例6变式)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45”时，应先假 设() A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45° 8.(2025江苏期中)△ABC的三边长分别为a,b,c,由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是() 第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap AB+∠C=90°：B.∠A:∠B:∠C=3:4:5.C.a=6,b=8,c=10 D.c2-a2=b2 9.(课本133页例1变式)如图，一圆柱体底面周长为40cm,高AB为30cm,C是上底面的直径，一只妈 蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,求出爬行的最短路程等于() A.40cm B.50cmC.√70ocmD.√130icm 10.(课本141页第5题变式)如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放？的三个正方形的面积分 别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、52、S3、S4,则S1+2S2+2S3+S4=() 2 ,如代风组六4县经岁 ?:《9.: (第10题图) 9:2本女)（老以250）： A.5 B,4C6 D.10 产台心法关话：以 二填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。：·。注5网本分 11.(2025辽宁期中)在Rt△ABC冲，已知两边长为5、2，则第三边的长为之.5，产m六 2202,北京中考)迦图，在AA8C中，AD平分BAC,DB1AB若AC=2,DB=1,则SAACD=) .}【线7、5 13 (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.(2025武汉月考)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问：水深几何？” 这是我国数学史上的“葭生池中”问题即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=一 14.(课本132页第4题)如图，已知△ABC的三边长为别为5,12，：13，分别以三边为直径向上作三个半 圆，则图中阴彩部分的面积为巡！物于 15.(2024北京期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个三角形的顶角度数 为 在罗，2列衫，上贤，气： 三、解答题：本题共8小题，共5分.水代经来从之 16.(课本142页第13题)（本小题9分） 已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4-b+b2c2-a2c2=0.试判断△ABC的形状 17.(课本110页第6题)（本小题9分） 如图，BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D和点E,BD与CE相交于点F,BF=CF (第17题图) 求证：点F在LBAC的平分线上， 第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 18.(课本116页第11题)（本小题9分） 如图，在△ABC中，∠A=120',AB=AC,D是BC边的中点， DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.求证：△DEF是等边三角形， （第18题图) 19.(课本100页第4题变式)（本小题9分） kA业 如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE. 2.G ·5 (1)求证：BD=CE: B,”D 老n个的治，个世领以为点（第19题图）色希资1示)： (②)若AD=BD=DE二CE,求LBAE的度数. -2t 八2·，·之丽i个克 20.(2025天津期中)（本小题9分 如图，AD是·ABC的角平分线，DE、DF分别是·ABD和·ACD的高. 求证：AD垂直平分EF. D 21.(2025郑州月考)（本小题10分） (第20题图) (罗想》 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破环力，如图， 有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点AB的距离分别 为300km和400km,又AB=500km,以台风中心为圆心周围250m以内为受影响区域 (1)海港C会受台风影响吗？为付么？=与A六A上uA8心早1中奶3千，（升 (2)若台风的速度为40km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？ 22.(2025信阳期末)（体小题10分）： (第21题图) 周宋，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟， 问题背景 研制三年而成，是人类最早的风筝起源兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB). 测量数据 小组成员测量了相关数据，并画如图示意图， 抽象模型测得水平距离C的长为80米，组线圈里的100米：，. 风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米. h， D 景的 经过讨论，兴趣小组提出以吓问题·1首 A308 ()根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度： 问题产生 (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时 风筝上升了多少米？ 问题解决 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程。 21:4N 始；事 7431 威s:”、81月1 第3页，共4页 1 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 23.(2025河南省单元测试)（本小题10分） 【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，(1)在我国最早对勾股定 理进行证明的是三国时期吴因的数学家赵爽如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分 别为a,b,斜边为c)拼成，用它可以验证勾股定理a2+b2二c2:(2)图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总 统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为点，b,斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一 个直角梯形，用它也可以验证勾股定理α2+b2七2.训·形5〔大今测！花：冫： 62,) 0度 . ,g俞气（行，，， .承消个伤所印变” B 一前内小三的准.法 位少代典0点家)” 图 2 部 !1头深》二领跨色中觉”，4《 、G 个29 年+组 八2小 【问题解决】 (1)在直角三角形中，直角边分别为a,b,斜边为c,从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理a2+b2= c2; 【知识应用】 (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方便村民取水决定 在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上，并新修一条路CH,现测得CA=1千米，AB兰2.1干米， BC=1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下）？使得cH1AB,求新修路CH的长 1,5清心喻c”以听：7大》人，1”习手2. 1-.Zv 点 t 化.y:、；不y对，”月 1”公份8了鱼1生 129 的任.”分一4》4 4以，g·行 第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP