福建省连城县第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

连城一中2025-2026学年上期高三年级月考2数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第Ⅰ卷（选择题，共73分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．已知集合，若，则实数的值为 A． B．0 C．2 D．2或 3． 若角的终边过点，则 A． B． C． D．3 4．已知非零向量满足，，则 A． B． C． D． 5．若直线过点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7． 在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是 A． 与为异面直线 B． C． D．平面 8．定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知圆和直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．圆与圆只有一条公切线 D．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 10．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为3 C．的取值范围是 D．当倾斜角为时，的周长为8 11．已知圆锥的底面半径为，其母线长，底面圆周上有一动点，下列说法正确的有 A．截面最大面积为 B．若，则直线与平面所成角的正弦值为 C．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 D．若点，且，一只小蚂蚁从点出发绕侧面一周到达点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为 第Ⅱ卷（非选择题，共77分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 .函数的图象恒过定点 . 13． 设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为_________． 14． 设的内角的对边分别为，， 点在平面内，满足，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 16．（15分） 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 17．（15分） 如图，在多面体中，四边形为正方形，，，． （1）设平面平面，证明：； （2）设点是的中点，且满足，求平面与平面夹角的余弦值． 18． （17分） 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切． (1)求椭圆及圆的方程； (2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于两点． （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围． 19． （17分） 已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)求的最小值； (3)设，若对恒成立，求b的最大值． 连城一中2025-2026学年上期高三年级月考2数学试卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8. D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ABD 10.ACD 11.BCD 11.【详解】对于A选项，圆锥底面半径cm，母线,高, 因为，易知为锐角， 所以当最大，即为底面直径时，截面SAB面积最大， ，A错误； 对于B选项，过点B作，交于点D连接， 底面，且底面 又, ,平面， 平面， 为直线SB与平面SOA所成角 由题意知为等腰直角三角形，， 又 ，B正确 对于C选项，三棱锥的体积, 当时，最大为18，体积也最大， 此时其外接球半径为：, ，C正确 对于D选项，侧面展开图圆心角满足， 解得：，为四分之一圆. 如图所示，AC为直线时最短， 过S作,则即为下坡路段, 又与相似， ，D正确. 4、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 4.5(或者写) 14. 14. 【详解】在中，先由正弦定理得，再由余弦定理得，代入到， 整理得， 则，当且仅当时等号成立， 又由，所以，此时， 又因为，所以，所以，所以是等边三角形. 以中点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图， ，设， 由得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即，………………2分 所以，即，...............3分 当时，， 当时，，满足上式，所以...................7分 （2）由（1）知 则 ...................9分 所以数列的前项和为.......................................13分 16.（1）由，可得， 即， 即，又， 3分 则，即. 5分 （2）①因为，所以. 7分 由余弦定理得：， 则，即 所以 10分 ②由，所以， 12分 在中，由余弦定理得 14分 所以. 15分 17.（1）因为四边形为矩形，所以， 1分 因为平面，平面. 所以平面， 3分 又因为平面平面，平面， 所以. 5分 （2） 取、和中点为，连接，取的中点为，连接， 依题意得四边形为等腰梯形，且； 又因为，得平面； 则，故面； 6分 故以为原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设到平面的距离为，设， 因为，所以， 解得， 8分 所以，可得，， 9分 设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 11分 设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 13分 所以， 故平面BFG与平面DEA夹角的余弦值为 15分 18. 【详解】（1）由题意，椭圆离心率，点在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的方程为………………………………………….2分 则右顶点，上顶点，直线，…………….3分 圆心到直线的距离，即圆的半径， 所以圆的方程为.…………………………………………5分 （2）（i）由题意，当直线的斜率不存在时，，或. 此时，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.……………………………………………….6分 当直线的斜率存在时，设直线， 由可得， 设，则………………………………8分 ，即， 化简得.………………………………10分 所以，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 综上所述，直线与圆相切.………………………………11分 （ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时，…………12分 当直线的斜率存在时， ，…………14分 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上，………………………………………………17分 19.【详解】（1）由得……………………1分． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得．……………………3分 （2）由（1）知， 所以， 令，则． 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在单调递减，……………………5分 又， 所以存在唯一零点，使得． 所以在单调递增，在单调递减．……………………7分 又， 所以在上恒成立，…………………9分 所以在上单调递增， 所以，即的最小值为0.……………………10分 （3）因为对恒成立， 令，则， 由（2）知， 所以， 因为，所以．…………………12分 假设当时，对恒成立． 由（2）知， 则， 所以．…………………14分 设， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上恒成立，即满足题意．…………………16分 综上所述，整数的最大值为2．…………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $