精品解析：安徽省安庆市桐城市卅铺初级中学2023-2024学年上学期12月月考九年级数学试题

同步达标自主练习·九年级 数学（HK）第三次：第21章～第23章 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键． 根据解答即可． 【详解】解：若α是锐角，且， 又∵， ∴． 故选C． 2. 在平面直角坐标系内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理求两点距离，正弦和余弦的定义；根据点的坐标，根据勾股定理计算的长度，再利用直角三角形中三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ∴ ∴， ∴， 故选：B． 3. 把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图像的平移，掌握平移对哪些参数的变化是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律，左加右减针对，上加下减针对整体函数值． 【详解】∵抛物线向右平移3个单位， ∴替换为， ∵再向上平移1个单位， ∴整体加1， 得 ， ∴平移后表达式为 ， 故选B． 4. 在中，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据已知条件，利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：D． 5. 如图，点A是反比例函数图象上一点，垂直于x轴，垂足为点B，垂直于y轴，垂足为点C．若矩形的面积为8，则k的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由图可得，反比例函数经过第一象限， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，是水库大坝横断面的部分，坝高，迎水斜坡，斜坡的坡角为α，则该大坝的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．直接利用勾股定理得出，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：过A作于C， 则， ∴， ∴该大坝的坡度为， 故选：D． 7. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与位似比为的位似，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 9. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，先在和中，求出、，再求长度之比即可． 【详解】解：在中，，即， ， 在中，，即， ， ， 故选：C． 10. 如图，在网格中，小正方形的边长为，点，，，均在格点上，与相交于点，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求角的正切，作，并延长至连接，得，根据网格与勾股定理证明是直角三角形，且，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，作，并延长至连接， ∴ 根据网格可得，， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图象有一支位于第一象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，根据反比例函数的图象性质得到，解出不等式即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第一象限， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为________ m． 【答案】8 【解析】 【分析】因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 详解】解：设树高x米，则， 即， 解得x=8． 故答案为8 13. 如图，在①矩形、②锐角三角形、③正五边形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有______．（填写序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】此题主要考查了相似图形判定，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形、正五边形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件 故答案为：②③． 14. 如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，延长到点，使，连接交于点． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，角的正切，平行线分线段成比例，三线合一等知识； （1）根据勾股定理求得，进而根据题意求得的长，再根据正切的定义，即可求解； （2）根据三线合一可得，进而根据平行线分线段成比例得出，即可求得的长，再根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】解： ． 16. 已知二次函数的图象的顶点在轴上，试求的值． 【答案】 或 m = 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点的性质，由顶点位置判断出函数与轴的交点个数是解题的关键． 因为函数的图象的顶点在轴上，即函数与轴仅有一个交点，结合一元二次方程根的问题，求出的取值． 【详解】解：函数的图象的顶点在轴上， 即函数与轴仅有一个交点， 故当时，方程仅有一个实数解， 故， 即， 化简得， 解得或． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案； （2）直接利用位似图形的性质以C为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可． 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 18. 小强和小明在学习了“平面镜反射原理”后，他们用一个小平面镜做实验．他们先将平面镜放在平面上，如图，在点处用一束与平面成角的光线照射平面镜上的点处，使光影正好落在对面墙面上一幅宣传画的底边点，他们不改变光线的角度，原地将平面镜绕点转动了角，即，光影恰好落在宣传画的上边点（点在点正上方），测得，试求宣传画的宽度的长．（结果精确到，参考数值：，，，） 【答案】宣传画的宽度的长约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数，以及平面镜与两条光线形成的夹角相等是解题的关键．先求出的度数，设，分别解，用表示出，再利用，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，． 设，则． 在中，， ∵， ∴， ∵． 解得：． ∴ 答：宣传画的宽度的长约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为,，，，求的长. 【答案】. 【解析】 【分析】在中，根据求得CE，在中，根据求得BC，最后将CE,BC的值代入即可. 【详解】解：在中，, . 在中，， . 的长为. 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数定义是解题的关键. 20. 某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动．如图，此时无人机在离地面的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为，测得教学楼楼顶点处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和教学楼的距离为，求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作于，过点作于，根据正切的定义求出，根据题意求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：过点作于，过点作于， 由题意得米，米，，， 在中，， (米)， 米， (米)， ，，， 四边形为矩形， (米)， 在中，， (米)， (米)． 答：教学楼的高度约为米． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，． （1）求边的长； （2）求的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理，作垂线构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据三线合一性质得到，在中利用正弦的定义得到，利用勾股定理得到，即可求出边的长； （2）作于点，利用等面积法求出，利用勾股定理求出，在利用余弦的定义即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 则， 由（1）得，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 即． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求的值； （2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，点是二次函数图象上在第三象限内的一个点，连接，，，．若，求点的坐标． 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，求正切； （1）先利用待定系数法求出解析式，进而求得的坐标，根据正切的定义，即可求解； （2）过点作轴，交的延长线于点，待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，根据二次函数的对称性求出，根据题意求出，列出方程式，解方程求出的值，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点、， ∴ 解得 ∴ 当时， ∴ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交的延长线于点， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴对称轴为， ∴， 即， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的坐标为； 八、（本题满分14分） 23. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做黄金三角形． （1）已知是黄金三角形，若，，则长可以为______；（填写两个值即可） （2）如图1，在四边形中，，对角线平分，且，求证：是黄金三角形； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形综合问题，理解黄金三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据黄金三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）根据，，可得，结合，可得，解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是黄金三角形，且， ①当时， 得：， 解得：； ②当时， 得：， 解得：； ③当时， 得：， 解得：（负值舍去）； 经检验为或或时，与两边都能构成三角形， ∴当是黄金三角形，为或或； 故答案为：或． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形；． 【小问3详解】 ∵，则 又∵ ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同步达标自主练习·九年级 数学（HK）第三次：第21章～第23章 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A是反比例函数图象上一点，垂直于x轴，垂足为点B，垂直于y轴，垂足为点C．若矩形的面积为8，则k的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 16 6. 如图，是水库大坝横断面的部分，坝高，迎水斜坡，斜坡的坡角为α，则该大坝的坡度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在网格中，小正方形的边长为，点，，，均在格点上，与相交于点，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图象有一支位于第一象限，则k的取值范围是______． 12. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为________ m． 13. 如图，在①矩形、②锐角三角形、③正五边形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有______．（填写序号） 14. 如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，延长到点，使，连接交于点． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知二次函数的图象的顶点在轴上，试求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1． 18. 小强和小明在学习了“平面镜反射原理”后，他们用一个小平面镜做实验．他们先将平面镜放在平面上，如图，在点处用一束与平面成角光线照射平面镜上的点处，使光影正好落在对面墙面上一幅宣传画的底边点，他们不改变光线的角度，原地将平面镜绕点转动了角，即，光影恰好落在宣传画的上边点（点在点正上方），测得，试求宣传画的宽度的长．（结果精确到，参考数值：，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为,，，，求的长. 20. 某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动．如图，此时无人机在离地面的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为，测得教学楼楼顶点处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和教学楼的距离为，求教学楼的高度． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，． （1）求边长； （2）求的值． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求值； （2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，点是二次函数图象上在第三象限内一个点，连接，，，．若，求点的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 若一个三角形一条边平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做黄金三角形． （1）已知是黄金三角形，若，，则的长可以为______；（填写两个值即可） （2）如图1，在四边形中，，对角线平分，且，求证：是黄金三角形； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $