向量法求距离、探索性及折叠问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间向量求点到直线、平面距离及立体几何折叠、综合应用等高考核心考点，按“知识点梳理-题型分类-分层训练”逻辑架构知识体系。通过考点精讲（如距离公式推导）、方法指导（向量法应用步骤）、真题演练（例题与选择填空解答题），帮助学生构建解题框架，突破空间想象难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出“数学思维”与“空间观念”素养培养，创新采用动态问题教学法，如例题5折叠问题引导学生分析翻折前后几何量关系，提升推理能力。设置基础单选、能力多选、综合解答等分层练习，适配不同学情，确保高效突破考点。助力学生提升空间问题转化与运算能力，为教师精准把控复习进度提供实用教学资源。

学习在于：知识层次 向量 知i 知识点一：点P到直线 己知直线1的单位方向向量 线1上的投影向 PO=APP-140P= Q 知识点二：点P到平面 如图，已知平面a的法向量 交平面a于点Q,则n是 的长度.Pg=AP.” n P Q 解读；逻辑思维提炼！ 去求距离、探索性及 只汇总 的距离 为u,A是直线l上的定点，P是直线l外 量AQ=(a0)u,在Rt△APQ中， - a-(a.u)2 的距离 量为n,A是平面a内的定点，P是平面外 直线1的方向向量，且点P到平面α的距离就是 4P.n AP.n n n 第1页共6页 折叠问题 点设AP=a,则向量AP在直 由勾股定理得： 点.过点P作平面a的垂线I, 是AP在直线l上的投影向量QP 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 考点分析 题型一：利用空间向量求点到直线的距离 例题1.如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，若AB=√2BB,=2,则C到直线AB的距离为 ) C B1 B A.5 5 B.0 5 C.vis 3 D.30 3 例题2.在空间直角坐标系中，已知A山，-1，山，B(3,1,山，则点P1,0,2)到直线4B的距离为( ) A.、 2 6 2 B.3 C. 2 D.3 题型二：利用空间向量求点到平面的距离 例题3.在空间直角坐标系o-z中，平面04B的法向量为=(2，-2,1)，已知P(1,-3,1), 则P到平面OAB的距离等于() A.4 B.2 C.3 D.1 例题4.如图，在三棱柱ABC-ABC中，所有棱长均为1，且A4⊥底面ABC,则点B到平面 ABC 第2页共6页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼」 的距离为 B 题型三：立体几何中的折叠问题 例题5.己知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角 P-AD-B的大小为120°，此时恰有PC⊥AD, B (I)求BD的长： (2)求二面角D-PC-B的余弦值， 题型四：立体几何综合问题 例题6.如图，三棱柱ABC-AB,G中，AB⊥侧面BB,CC,已知∠CBC=90°，BC=1, AB=CC=2, 点E是棱CC的中点 (I)求异面直线AE与B,C所成的角的余弦值： 第3页共6页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼」 (2在校c4上是否存在一点w,使得y与平面4E所成角的正弦值为2，若存在，求出 C CA的值：若不存在，请说明理由. 专题训练 一、单选题 1.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，E为4D的中点，则点C到直线CE的距离为 () A.青 B.3 3 C. 3 D.6 3 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，若E,F分别是上底棱的中点，则点A到 平面BD,EF的距离为() C A D - B A.1 B.2 C.3 D.4E C 3.长方体ABCD-ABCD中，AB=A4=2,AD=1, E 第4页共6页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 为CC的中点，则异面直线BC与AE之 间的距离是() D C B D-2 A. B.②7 C. D. 2V21 3 21 21 二、多选题 4.已知直线1的方向向量i=(10,-,A=(2,1,-3)为直线1上一点，若点P(.1,0,.2)为直 线 外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为() A.2 B.3 C.√2 D.1 5.已知AB=(0,1),BE=(2,-1,2),BE⊥平面BCD,则() A.点A到平面BCD的距离为 B与平面BCD所成角的正弦值为 B. C.点A到平面BCD的距离为； 1B与平面pn所成角的正弦值 三、填空题 6.己知直线1的方向向量为=(1,0，山，点A1,2,-在1上，则点P31,到1的距离为 7.正方体ABCDABICiD,的棱长为a,则平面ABD,与平面BDC,的距离为 四、解答题 8.如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A=90°，AD=8,AB=3,B、C分别是PA、PD上的点，且 AD//BC,M、N分别为BP、CD的中点，现将△BCP沿BC折起，得到四棱锥P-ABCD,连接 第5页共6页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ MN D (I)证明：MN/平面PAD: (2)在翻折的过程中，当PA=4时，求二面角B-PC-D的余弦值. 第6页共6页学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 向量法求距离、探索性及折叠问题 知识汇总 知识点一：点P到直线的距离 已知直线1的单位方向向量为，A是直线1上的定点，P是直线1外一点设AP=a,则向量4P在直线 1上的投影向量A0=(a)i,在RA4PQ中，由勾股定理得：P0=APP-A0P=:Va2-(a0 知识点二：点P到平面a的距离 如图，已知平面0的法向量为，A是平面a内的定点，P是平面oa外一点.过点P作平面o的垂线l, 交平面于点Q,则是直线I的方向向量，且点P到平面的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的 长度P0P.”月P贝=APm Inl'nl nl 第1页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 考点分析 题型一：利用空间向量求点到直线的距离 例题1.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，若AB=√2BB,=2,则C到直线AB的距离为() G B A. V15 B.V10 C.vis D.30 5 3 【答案】D由题意知，AC=AB=2,BB=√2， 取AC的中点O,则B01AC,B0=√3， 建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz, 则A0,-1,0,B(N3,0,√2)，C(0,10), 所以AB=(3,l,V2),CA=(0,-2,0), 所以CA在AB上的投影的长度为 CA.AB 2 AB √63 放点C到直线48的距离为：d4c--丽 故选：D 例题2.在空间直角坐标系中，已知A(1,-1,1),B(3,1,),则点P1,0,2)到直线AB的距离为() A.② B.3 C.6 D.5 2 2 【答案】C A1,-1,1,B(3,1,1,P1,0,2),.AB=(2,2,0),AP=(0,1,1, ·孤亚=225=5，“D在砺方向上的投影数量为4-=，2 AB 2√22， .点P(1,0,2)到直线AB的距离为d= 第2页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 故选：C 题型二：利用空间向量求点到平面的距离 例题3.在空间直角坐标系0-xyz中，平面0AB的法向量为=(2，-2,1)，已知P(1,-3,),则P到平 面OAB的距离等于() A.4 B.2 C.3 D.1 【答案】C0P=L,-3,1)所求距离为 0P.2+6+1=3. 故选：C √4+4+1 例题4.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，所有棱长均为1，且AA⊥底面ABC,则点B到平面ABC的距 离为 【答案】 以C为原点，CB,CC分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系， B A 则43,50B0,1.0.B0,1,C0,0,则C 9-小cR-010C-o-设面 ABC,的一个法向量为n=(x,y,z),则有 x+2y-2=0 2 ,不纺改1：解得-(， CBn=y-z=0 1 V21 则所求距离为 √21 1 7 故答案为： 第3页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 题型三：立体几何中的折叠问题 例题5.己知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角P-AD-B的 大小为120°，此时恰有PC⊥AD B A B (1)求BD的长； (2)求二面角D-PC-B的余弦值 【答案】(BD=2V52-27 7 (1)解：取AD中点M,连接PM,CM, ,△PAD是正三角形，∴.PM上AD, 又.∴PC⊥AD,PCOPM=P,PC,PMc平面PMC.AD⊥平面PMC,MCc平面PMC, ∴.AD⊥MC, ∴.在菱形ABCD中，∠CDA=60°，则∠DAB=120°， .BD=√AD2+AB2-2AD·ABcos∠DAB=2√3 ②解：取M为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则D-1,00,P0,V3,0,B2,-),多门 co 设平面PCD的法向量为m=x,y,z, r-4w50c-a-5副 第4页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 3V3,3 2y+22=0, ，令y=1,则x=-5,z=5,.m=（-51,5, x+/3y=0 设平面PCB的法向量为n=(a,b,c) CB=(2,0,0,PC= 33, 3 +20=0,令b=l,则c=5,a=0,所以n=(01, 2 2 2a=0 所以cos(m,n= m.n 0x-5)+1x1+5xV52W万 一- m n 2x/7 又二面角D-PC-B为钝二面角，三面角D-PC-B的余弦值为-2 7； 题型四：立体几何综合问题 例题6.如图，三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥侧面BB,CC,已知∠CBC=90°，BC=1,AB=C,C=2, 点E是棱CC的中点 B B E C (I)求异面直线AE与B,C所成的角的余弦值； (②在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面4BE所成角的正弦值为2，若存在，求出 11 的值， 若不存在，请说明理由. 【省】0®在，岩岩 70 (I)解：：∠CBC1=90°，BC=1,AB=C,C=2,得BC,=VCC2-BC2=V3, 由题意，因为∠CBC1=90°，所以，BC⊥BC1, 又AB⊥侧面BB,CC,以B为原点，分别以BC、BC、BA的方向为x、y、z轴的正方向建立如图所示 的空间直角坐标系， 第5页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 有4o02,815.叭，}50 ,A-1,5,2,C(1,0,0), B,C=(2,-5,0 1 设异面直线AE与B,C所成的角为O,则cos0= AE.BC V35 AE.B.C V5×√770 所以异面直线AE与8，C所成的角的余弦值为S5 70 a:由有码-aa-a,亚-[}-5-小 B m·AB=-2z=0 设平面AB,E的一个法向量为m=(x,少，z),则 m4E=3-5 2x-2y-2z=0 取x=1,可得m=1,5,0, 假设存在点M,设CM=元CA=元(-1,0,2)=（-元，0,2)，其中2∈[0,1， EM =EC+CM m·EM cos m,EM > 2+1 2V11 由已知可得 ·E 11, 得6922382+5=0，即3-川23-0，解特孔或入-5 23 在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面AB,E所成角的正弦值为，且C 11 第6页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ CM 5 CA23 专题训练 一、单选题 1.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为AD的中点，则点C到直线CE的距离为() A B. 3 c. 3 D.6 【答案】C 建立空间直角坐标系，如图， 2 A E B 则C(L,1,0),C(1,1,), E0,所以c=分-， CC1=(00,1), CC.EC -1 所以CC,在EC上的投影为EC1 、2 3, 所以点C到直线EC的距离d CC·Ec2 故选：C 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，若E,F分别是上底棱的中点，则点A到平面BDEF 的距离为() 第7页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ C B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(cQ0,4L1.o叭，41.0，小，F行 BA=(0,-1,1）, x+y=0 设平面DBF的法向量为n=(x,y,z,则{ 2x+z=0 取x=2,则y=-2,z=1,故n=(2,-2,1, 故A到平面DB,F的距离为d=B,A× BA.n BA川=1，敢选：A 3.长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AA,=2,AD=1,E为CC的中点，则异面直线BC,与AE之间的距 离是() D B D- A. B.②7 c. D.227 21 21 【答案】D 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B1,2,0),C(0,2,0),C(0,2,2),E(0,2,1), AE=(-1,2,1),BC=(-1,0,2), 设BC,与AE的公垂线的一个方向向量为n=(x,,z), n.AE=-x+2y+2=0 万8C-x+22=0,取z=1,得x=2,y=即i=25), 1 则 又AB=(0,2,0), 第8页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ AB.n 2*2 2W21 所以异面直线BC,与AE之间的距离为d= 22+()2+1 21 故选：D. 二、多选题 4.已知直线1的方向向量i=(1,0,-,A=(2,1,-3)为直线1上一点，若点P(-1,0,-2)为直线外一点， 则P到直线1上任意一点Q的距离可能为(） A.2 B.5 C.√2 D.1 【答案】AB 由题设条件可知，AP=(-3,-1,1),所以n·AP=1×(-3)+0x(-1)+(-1)×1=-4, 设与4正的夹角为0,0∈[0，π]， -4 则cos0= n.AP 2√22 a丽 V211, 所以sin0=1 22 -V33 11 11 所以点P到直线1的距离为d=sin6=x33_ =V3, 11 P到直线1上任意一点Q的距离要大于等于√，故选：AB 5.己知AB=(0,1,1),BE=(2,-1,2),BE⊥平面BCD,则(） A.点A到平面BCD的距离为号 B.MB与平面BCD所成角的正弦值为 6 C.点A到平面8CD的距离为写 D.AB与平面BCD所成角的正弦值为 6 【答案】BC 因为BE⊥平面BCD,，所以BE是平面BCD的一个法向量， 所以点A到面CD的能商为正放A错误，C正疏。 怡与T面8C0所度角的E这值为香配方-，放B玉，D错。故店：C 三、填空题 6.已知直线1的方向向量为a=(1,0,1),点A1,2,-1)在1上，则点P(3,1,1)到1的距离为 第9页共12页 学习在于：知识层次解读；逻辑思维提炼！ 【答案】1 AP=(2,-1,2), cos a,AP>= aAp2+0+22 4丽V2×93, 所以sin<a,AP 2W2 3 =3 1 点P(3,l,1)到l的距离为d=APsin<a,AP>=3×5=1. 故答案为：1. 3 7.正方体ABCD-ABCD,的棱长为a,则平面ABD,与平面BDC,的距离为 【答案】3。 a 3 :B,D,/BD,B,D1C平面BDCI,BDC平面BDC1,所以B,D,II平面BDCI, 同理AD,/I平面BDC,又BD AD,=D, 所以平面AB,D/平面BDC,则两平行平面间的距离等于点B到平面ABD1的距离 以D为坐标原点，DA,DC,DD!所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 43 D ID火 则A(a,0,0),B(a,a,0),C0,a,0),A(a,0,a),B(a,a,a),D(0,0,a), 则AB,=(0,a,a),B,D1=(-a,-a,0),BA=(0,-a,0), 设平面ABD1的一个法向量为i=(x,y,z), i·AB,=0 则 即 ay+az =0 i…B,D=0' -r-y=0'令x=1,则y=-1,z=1,则n=0,-1,, 则点B到平面AB,D,的距离d=iB1_10-a+0!-V尽 V1+1+1 3a, 所以平面4B,D,与平面BDC的距离为5。 故答案为： 3 a 四、解答题 8.如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A=90°，AD=8,AB=3,B、C分别是PA、PD上的点，且 第10页共12页