精品解析：上海市杨浦区上海杨浦双语学校2025-2026学年八年级上学期数学阶段练习（10）（周测）

初二年级第一学期数学阶段练习（10） （满分100分，时间50分钟） 一、选择题（每题4分，共16分） 1. 下列各式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键，先将各项进行化简，再利用同类二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，此项错误； B、，与是同类二次根式，此项正确； C、，与不是同类二次根式，此项错误； D、，与不是同类二次根式，此项错误； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，则方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．使用配方法将方程转化为完全平方形式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴两边加9得 ， 即， 故选：C． 3. 下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 4、8、 B. 4、8、 C. 7、24、25 D. 7、14、15 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵42+（）2=64=82,∴能够成直角三角形,故本选项可构成直角三形； B、∵42+82=80=（）2,∴能够成直角三角形,故本选项错误； C、∵72+242=625=252,∴能够成直角三角形,故本选项错误； D、∵72+142=245≠152,∴不能够成直角三角形,故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形． 4. 已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质逐个排查即可． 【详解】解：①由于SSA不能判定三角形全等，则有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故原命题是假命题； ②由于满足ASA,则有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，故原命题是真命题； ③有一条边与一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，故原命题是假命题； ④由于两等腰三角形顶角相等，则他们的底角对应相等，再结合底相等，满足ASA,故原命题是真命题． 其中真命题的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 二、填空题（每题4分，共28分） 5. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 6. 已知，求的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，分式的求值．通过因式分解方程得到与的关系，再代入分式求值，即可作答． 【详解】解：方程可因式分解为， 解得或（其中，否则分式无意义）． 当时，； 当时，． 综上：的值为或； 故答案为：或 7. 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___． 【答案】＜且. 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， 且＞ 由＞ 可得＜ ＜ 综上：＜且， 故答案为：＜且. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键. 8. 若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 _____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边长为12，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线是6， ∴斜边长为12， ∵斜边上的高是3， ∴这个直角三角形的面积是， 故答案为：18． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键． 9. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，，，则__________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】如图所示，连接，由线段垂直平分线的性质可得，，利用勾股定理求出，进而求出，由直角三角形的性质得到，据此可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， 垂直平分， ，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，证明是等边三角形是解题的关键． 10. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长，利用勾股定理列方程，然后再求出AB和BC的长． 【详解】解：∵小正方形的面积是25， ∴AC=5， ∵△ABC≌△CDE， ∴设AB=CD=x， ∵大正方形的面积为49， ∴BD=7， ∴BC+CD=7， ∴BC=7-x， 在Rt△ABC中：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理列方程，解一元二次方程，三角形全等的性质，掌握勾股定理列出方程是解题的关键． 11. 我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可． 【详解】解：当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ， 将绕点顺时针旋转得到， ； 当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ，， 将绕点顺时针旋转得到，，， ， 在中，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键． 三、解答题（共56分） 12. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质．先结合二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 13. 设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x21+x22=6，求m值； （2）求的最大值． 【答案】（1）； （2）m=-1时，y最大值是10． 【解析】 【分析】(1)根据根与系数关系得出关于m的一元二次方程，再用公式法求解； (2)根据二次函数的性质，求函数的最值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根 由题意知： ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ，y取最大值为10 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键． 14. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且，．求证：． 【答案】 证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先证明借助HL证明，由全等三角形的性质可知，然后由“等角对等边”即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题关键． 15. 如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 【答案】行走的通道拓宽了米 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；也考查了含30度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边长度为斜边的一半；根据勾股定理分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则． 答：行走的通道拓宽了米． 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）证明：连接AN． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°． ∵AN＝BN， ∴∠BAN=∠B＝30° ∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°． ∵∠C＝30°， ∴CN＝2AN． ∴CN＝2BN． 【解析】 【详解】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN． 【解答】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 17. 如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：DE =DF． 【答案】 证明：∵AB= AC，D是BC的中点，∠BAC =30°， ∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC， ∵DF∥AB，且D是BC的中点， ∴F点是线段AC的中点， ∴DF=AC， 取AB的中点G，连接DG， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG=AC= DF，∠DGB =∠BAC =30°， ∵DE⊥AB， ∴∠GED=90°， 在Rt△DEG中，∠DGE=30°， ∴DE=DG =DF． 【解析】 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利用三角形中位线定理推出F点是线段AC的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°是解题的关键． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上． （1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE； （2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2； （3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系． 【答案】（1）证明：如图1，∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∵CD＝CE， ∴∠CEA＝∠CDB， ∴△ACE≌△BCD（AAS）， ∴AE＝BD， ∴AE﹣DE＝BD﹣DE， ∴AD＝BE． （2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠CBA＝∠A＝45°， 由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD， ∵∠DCE＝45°， ∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FCE＝∠DCE， ∵CE＝CE， ∴△FCE≌△DCE（SAS）， ∴FE＝DE， ∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠EBF＝90°， ∴FE2＝BF2+BE2， ∵BF＝AD， ∴DE2＝AD2+BE2． （3） 【解析】 【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE； （2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2； （3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2． 【详解】（1）略 （2）略 （3）a2＝b2+2c2， 理由如下： 如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG， 由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°， ∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2， ∵∠BPC＝135°， ∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°， ∴BG2＝BP2+PG2， ∵BG＝AP， ∴AP2＝BP2+2PC2， ∴a2＝b2+2c2． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，根据旋转的性质作辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级第一学期数学阶段练习（10） （满分100分，时间50分钟） 一、选择题（每题4分，共16分） 1. 下列各式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，则方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 4、8、 B. 4、8、 C. 7、24、25 D. 7、14、15 4. 已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共28分） 5. 计算：___________． 6. 已知，求的值为__________． 7. 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___． 8. 若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 _____． 9. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，，，则__________． 10. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么________． 11. 我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为____________． 三、解答题（共56分） 12. 计算：． 13. 设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x21+x22=6，求m值； （2）求的最大值． 14. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且，．求证：． 15. 如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 17. 如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：DE =DF． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上． （1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE； （2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2； （3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $