精品解析：浙江省杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

浙江省杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，一种剪纸方法如图所示． 下面的四个图案，不能用上述方法剪出的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“三角形三边中垂线交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 3. 在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某山区气温与海拔高度之间满足一次函数关系，某气象站测得该山区气温随海拔高度变化的部分数据如下表，根据表格中的数据，下列说法错误的是（ ） 海拔高度 0 1 2 3 4 … 气温 17 11 5 … A. 海拔每上升，气温下降 B. y与x之间的函数关系式为 C. 随着x的增大，y在不断地减小 D. 当气温为时，海拔高度 6. 如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的最大整数解为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小米的速度为 B. 小华提速后的速度为 C. 小米比小华先出发 D. 小华比小米提前到达客人位置 10. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是______． 12. 某村要修建一条水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．若与方向一致，则_______． 13. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为______． 14. 学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售．如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团．某一天该社团卖出的报纸为份，所获得的利润为元，则与的关系式为______． 15. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为_______________尺． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，点P为y轴正半轴上一个动点，以线段为边在的右上方作等腰直角，，连接，在点P运动的过程中，线段长度的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 解一元一次不等式（组）： （1） （2） 18. 风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史．2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录．图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图．在制作骨架的过程中，要保证，，请证明． 19. 如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． （1）若，的顶点在第四象限内，且不与重合，请画出的图形，并求出点的坐标是_____． （2）求边上的高的长． 20. 已知关于的一次函数的图象为直线． （1）若函数图象过坐标原点，求值． （2）证明：无论为何值，直线总经过点． （3）当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 21. 如图，在中，，是的平分线，交于在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 宁陵酥梨产自河南省宁陵，最大可达千克以上．成熟后的酥梨酥脆多汁、香甜味美、金黄发亮，是畅销海内外的佳品珍果．某水果商购进酥梨产品进行销售，酥梨鲜果以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．梨膏以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： （1）该商店购进酥梨鲜果和梨膏共千克，花费元，则购进酥梨鲜果和梨膏各多少千克？ （2）该水果商店两天售完所有酥梨鲜果和梨膏后，决定再购进共千克的酥梨鲜果和梨膏（所购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍），则当该水果商店购进多少千克酥梨鲜果时，才能使利润最大？最大利润是多少？ 23. 已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于点A，B，点的坐标是． （1）求直线的函数表达式． （2）若直线上有一点，且，求点的坐标． 24. 【探索发现】 （1）如图1，在中，为线段的中点．延长到点，使，连接．证明：． 【初步应用】 （2）如图2，是边上的中线，是上一点，交于，若，，，求的长度． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是的中点，，、分别在、上，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，一种剪纸方法如图所示． 下面的四个图案，不能用上述方法剪出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知剪出的图形一定是轴对称图形，再进行判断即可． 【详解】解：由题意知，剪出的图形一定是轴对称图形， 选项中，只有C不是轴对称图形， ∴C不能用上述方法剪出． 故选C． 2. 已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部， ∴该命题为假命题，钝角三角形符合反例要求． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质，得y随x的增大而减小；结合题意，通过计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴． 故选：B. 4. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是角平分线的作图，不能确定． 故选：B． 5. 已知某山区的气温与海拔高度之间满足一次函数关系，某气象站测得该山区气温随海拔高度变化的部分数据如下表，根据表格中的数据，下列说法错误的是（ ） 海拔高度 0 1 2 3 4 … 气温 17 11 5 … A. 海拔每上升，气温下降 B. y与x之间的函数关系式为 C. 随着x的增大，y在不断地减小 D. 当气温为时，海拔高度是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是根据表中的数据求出函数关系式． 通过表格数据确定气温y与海拔高度x之间的一次函数关系，并验证各选项是否符合该关系． 【详解】∵ 从表格数据可知，当时，，时，； x每增加，y减少， ∴ 函数关系为， 选项A、B、C均符合该函数关系： A：海拔每上升，气温下降，正确； B：，经代入验证正确； C：斜率，y随x增大而减小，正确； 选项D：当时，代入， ∴，解得， 即海拔高度为，而非，故D错误． 故选：D． 6. 如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴的周长． 7. 已知关于的不等式的最大整数解为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得到的表达式，再结合最大整数解为，通过分析的取值边界来确定的范围． 本题主要考查了一元一次不等式的求解及根据整数解确定参数取值范围，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 不等式的最大整数解为， ， ． 故选：D． 8. 一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图像得，由一次函数的性质判断经过象限，即可求解． 【详解】解：∵的图像得 ∴ ∴的图象经过第一、二、三象限， 故选：C． 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小米的速度为 B. 小华提速后的速度为 C. 小米比小华先出发 D. 小华比小米提前到达客人位置 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：由图像可知，小米的图像从开始，小华的图像从开始， 所以小米比小华先出发，故C选项错误，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴小华提速前的速度是， ∵小华出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小华提速后速度为，故B选项错误，不符合题意； ∴提速后小华行走所用时间为， ∴， ∴， ∴小米的速度为，故A选项正确，符合题意； ∵，， ∴小华比小米提前到达客人位置，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先求出，进而利用勾股定理即可得出，进而求出，最后判断出即可求解，求出是解题的关键． 【详解】解：如图， 过点作于， 连接， ∵，是分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，根据勾股定理得， ， ∵平分，平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：． 二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点与点B关于y轴对称，则B的坐标为． 故答案为：． 12. 某村要修建一条水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．若与方向一致，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，正确辨析方向角，平行线的性质是解题的关键．根据方向角，平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图，根据题意，得， ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，运用分类讨论思想，分已知角为顶角或底角两种情况求解；解题关键是考虑内角的两种可能性；易错点是忽略分类讨论导致漏解；根据等腰三角形性质，分角为顶角或底角两种情况，分别计算底角度数． 【详解】解：①若为顶角，则底角度数为 ②若为底角，则底角度数为 故答案为或． 14. 学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售．如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团．某一天该社团卖出的报纸为份，所获得的利润为元，则与的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据利润等于卖出报纸的收入加上退回报纸的退款减去总成本，列出关系式并化简即可． 【详解】解：根据题意，卖出报纸份的收入为元，退回报纸份的退款为元，总成本为元， 因此，利润与的关系式为：， ∴； 故答案为． 15. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为_______________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点B作于H，先判断四边形是矩形，则可得，，，设，在中，根据勾股定理构造关于x的方程，然后求解即可． 【详解】解∶过点B作于H， 根据题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， 即长为尺． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在的右上方作等腰直角，，连接，在点P运动的过程中，线段长度的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短的性质，将绕点A逆时针旋转到，连接，可证是等腰三角形，求出点C的坐标，确定轴时，最小，即最小． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转到，连接， ∴由旋转可知，， ，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴，即C是定点， ∴当最小时，最小， ∴当轴时，最小，最小值为1． 线段长度的最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 解一元一次不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； 【小问2详解】 解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 18. 风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史．2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录．图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图．在制作骨架的过程中，要保证，，请证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定定理． 由题意得垂直平分，则，再由即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． （1）若，的顶点在第四象限内，且不与重合，请画出的图形，并求出点的坐标是_____． （2）求边上的高的长． 【答案】（1）作图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，坐标与平面． （1）由作图可得，由勾股定理得，而，故，即可写出点的坐标； （2）先根据勾股定理求解，再对运用等面积法求解边上的高即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标是； 【小问2详解】 解：， 设边上的高为，则， 解得， ∴边上的高为． 20. 已知关于的一次函数的图象为直线． （1）若函数图象过坐标原点，求的值． （2）证明：无论为何值，直线总经过点． （3）当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． （1）将原点坐标代入求解即可； （2）将整理得，当时，，即可求解； （3）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数图象过坐标原点， ∴， 解得； 【小问2详解】 证明：∵， ∴当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； 【小问3详解】 解：， 当时，随增大而增大， 则当时，，最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或． 21. 如图，在中，，是的平分线，交于在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，三角形全等的判定方法和性质，以及根据勾股定理求出三角形的边长． （1）根据角平分线的性质可得，进而推出，即可求证； （2）由（1）可知，根据勾股定理得，则，证明，推出，设为，则，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：证明：是的平分线，， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， 又， ． ． 设为，则． 在中，，即， 解得：， ． 22. 宁陵酥梨产自河南省宁陵，最大可达千克以上．成熟后的酥梨酥脆多汁、香甜味美、金黄发亮，是畅销海内外的佳品珍果．某水果商购进酥梨产品进行销售，酥梨鲜果以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．梨膏以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： （1）该商店购进酥梨鲜果和梨膏共千克，花费元，则购进酥梨鲜果和梨膏各多少千克？ （2）该水果商店两天售完所有酥梨鲜果和梨膏后，决定再购进共千克的酥梨鲜果和梨膏（所购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍），则当该水果商店购进多少千克酥梨鲜果时，才能使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）购进酥梨鲜果千克，梨膏千克； （2）当该水果商店购进千克酥梨鲜果时，利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和函数解析式是解题的关键． （1）设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克，根据“购进酥梨鲜果和梨膏共千克，花费元”列出方程组求解即可； （2）设购进千克酥梨鲜果，则购进梨膏千克，根据“梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍”列出不等式求出的取值范围，再根据“利润酥梨鲜果的利润梨膏的利润”列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克． 根据题意，得： 解得： 答：购进酥梨鲜果千克，梨膏千克． 【小问2详解】 设购进千克酥梨鲜果，则购进梨膏千克，全部售出后获得的利润为元． 购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍， 解得： 根据题意，得： 即： 随的增大而减小． 当取最小值时，取得最大值，最大值为：（元） 答：当该水果商店购进千克酥梨鲜果时，利润最大，最大利润是元． 23. 已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于点A，B，点的坐标是． （1）求直线的函数表达式． （2）若直线上有一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、一次函数与几何综合． （1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的函数表达式． （2）先求出点坐标，再结合，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P． 小问1详解】 解：一次函数的图像与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， 又 设直线的函数表达式为：， 把代入，则 解得：， ∴直线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数的图像与x轴交于点A， ∴当时， ∴， ∴， 设上有一点，使得， 如图， ∴①，得， ∴ 解得，则点； ②，得， 解得，则点； 综上所述，点或． 24. 探索发现】 （1）如图1，在中，为线段的中点．延长到点，使，连接．证明：． 【初步应用】 （2）如图2，是边上的中线，是上一点，交于，若，，，求的长度． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是的中点，，、分别在、上，，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线得出，再由对顶角相等得出，即可得出结论； （2）如图，延长至，使，连接，先由，得出，，再进一步解答即可； （3）如图，延长至使，连接，过作于，证明，得出，，从而得出，进而得出，再进一步即可求出答案． 【详解】证明：（1）是的中线， ， 在和中， ， ； （2）如图2，延长至，使，连接， 同理可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图3，延长至使，连接，，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $