专题02 不等式与复数（热点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题02 不等式与复数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：不等式相关内容以选择题为主，分值4分，难度中等偏下至中等。命题突出载体作用，不等式性质、一元二次不等式常与集合、函数、导数等知识综合考查，基本不等式聚焦直接应用与配凑技巧，强调“一正、二定、三相等”条件。核心考查不等式变形求解、最值推导能力。 复数题型固定为4分选择题，难度中低档。核心考查基本概念（实部、虚部、共轭复数、模）、四则运算及复平面内点的位置判断。命题立足基础且稳定，不涉及复杂拓展，侧重检验概念理解的准确性与运算的规范性。 预测2026年：不等式仍以4分选择题为主，考查不等式性质应用、基本不等式配凑求最值，及二次不等式与函数、集合的综合求解。复数延续4分单选，聚焦实部、共轭复数等概念，四则运算（重点除法实数化）及复平面内点的位置判断，整体侧重基础与知识融合。 题型01 不等式的性质及其应用 解｜题｜策｜略 利用不等式判断正误： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例1．已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 例2．已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 练习1．已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 练习2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 练习3．，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型02 利用基本不等式求最值 解｜题｜策｜略 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 例3．正实数满足，则的最小值是 ． 例4．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式训练】 练习1．下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 练习2．若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 练习3．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 练习4．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 题型03 基本不等式中的恒成立问题 解｜题｜策｜略 恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 例5．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 练习2．已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 练习3．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 练习4．，，且恒成立，则的最大值为 ． 题型04 解常见的不等式 解｜题｜策｜略 1．解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零；（2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 2．解分式不等式：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 3．解和型不等式的解法 ①；② 例7．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 例8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．不等式的解集为 . 练习2．已知集合，则＝（   ） A． B． C． D． 练习3．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则a=（   ） A．-3 B．3 C． D． 练习4．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型05 一元二次不等式恒成立、有解问题 解｜题｜策｜略 （1）一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； （2）含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例9．恒成立，则实数a的最大值为 . 例10．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【变式训练】 练习1．“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 练习3．已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 练习4．已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 题型06 复数的四则运算 例11．已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．2 例12．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【变式训练】 练习1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 练习3．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 练习4．已知复数，（为虚数单位，），且是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 题型07 复数的几何意义 解｜题｜策｜略 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 例13．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例14．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 练习2．在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 练习3．若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 练习4．已知为虚数单位，，复数在复平面内对应的点在第四象限，写出满足题意的的一个值为 ． 题型08 与复数有关的最值问题 解｜题｜策｜略 （1）表示复数的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）表示以对应的点为圆心,为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解. 例15．复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例16．已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 练习1．已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 练习2．复数满足（为虚数单位），则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 练习3．复数满足，则的最大值为 ． 练习4．已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为 . （建议用时：15分钟） 1．（2025·26高三上·四川资阳·期中）集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 3．（2025·陕西西安·二模）若，则复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 7．（2025·安徽·模拟预测）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 8．（2025·上海·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则 . 9．（2025·广东汕头·二模）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与复数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：不等式相关内容以选择题为主，分值4分，难度中等偏下至中等。命题突出载体作用，不等式性质、一元二次不等式常与集合、函数、导数等知识综合考查，基本不等式聚焦直接应用与配凑技巧，强调“一正、二定、三相等”条件。核心考查不等式变形求解、最值推导能力。 复数题型固定为4分选择题，难度中低档。核心考查基本概念（实部、虚部、共轭复数、模）、四则运算及复平面内点的位置判断。命题立足基础且稳定，不涉及复杂拓展，侧重检验概念理解的准确性与运算的规范性。 预测2026年：不等式仍以4分选择题为主，考查不等式性质应用、基本不等式配凑求最值，及二次不等式与函数、集合的综合求解。复数延续4分单选，聚焦实部、共轭复数等概念，四则运算（重点除法实数化）及复平面内点的位置判断，整体侧重基础与知识融合。 题型01 不等式的性质及其应用 解｜题｜策｜略 利用不等式判断正误： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例1．已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 例2．已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练】 练习1．已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此A不恒成立； 选项B： 举反例：取 ，，，，则 ，，显然 不成立，故B不恒成立； 选项C： 由于指数函数 是严格递增函数， 和 分别推出 和 ，因此 恒成立，因此C恒成立； 选项D： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此D不恒成立. 故选：C. 练习2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】，所以“”是“”的充要条件. 故选：C 练习3．，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C、D，若，，，故C、D错误， 故选：B． 练习4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故A正确； 对于B：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故C错误； 对于D：因为函数在上单调递减， 所以当时，，故D错误； 故选：A 题型02 利用基本不等式求最值 解｜题｜策｜略 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 例3．正实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】，， （当且仅当，即时取等）， （当且仅当时取等）， 综上（当且仅当时等号同时成立）， 则的最小值是． 故答案为：． 例4．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 【变式训练】 练习1．下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立， 所以最小值为3，故A错误； 对于B，因为，， 当且仅当，即时等号成立， 所以等号取不到，故B错误； 对于C，因为函数定义域为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为4，故C正确； 对于D，的定义域为， 所以，当时，，故D错误. 故选：C 练习2．若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【答案】C 【详解】由， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 练习3．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由，，且，得. 当且仅当，即，即，或时，等号成立. 所以，当，或时，取得最小值，最小值为4. 故选：A. 练习4．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意，，设， 则，当且仅当时等号成立， 因为，所以，解得， 当时，，即时等号成立， 故的最大值为2. 故选：B. 题型03 基本不等式中的恒成立问题 解｜题｜策｜略 恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 例5．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 例6．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，当时， 恒成立， 又因为，当且仅当时取等号， 所以，的最大值为， 所以，解得的取值范围为． 故选：B 【变式训练】 练习1．已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】正数，满足， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则只需，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 练习2．已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以， ， 当且仅当， 即时，等号成立． 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25． 故选：D 练习3．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 【答案】 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故答案为：． 练习4．，，且恒成立，则的最大值为 ． 【答案】4 【详解】解：由于恒成立，且 即恒成立 只要的最小值即可 ，，故，因此 故答案为：4． 题型04 解常见的不等式 解｜题｜策｜略 1．解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零；（2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 2．解分式不等式：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 3．解和型不等式的解法 ①；② 例7．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即， 转化为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 例8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得或，即不等式的解集为或． 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合或的真子集，所以． 故选：C 【变式训练】 练习1．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 练习2．已知集合，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，解得，即， 由可得，解得，即， 故. 故选：D. 练习3．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则a=（   ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由不等式的解集为， 得和是方程的两个根，所以，． 故选：A 练习4．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根， 则，不等式化为， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：D 题型05 一元二次不等式恒成立、有解问题 解｜题｜策｜略 （1）一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； （2）含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例9．恒成立，则实数a的最大值为 . 【答案】 【详解】恒成立， 即 在上恒成立， 所以 在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 故答案为：. 例10．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 【变式训练】 练习1．“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为，， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B 练习2．已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设 :＂ ，不等式 恒成立＂，其等价于 恒成立， 若 为真命题，则 ，解得 ． 又 为假命题，故 的取值范围是命题 为真时的补集， 即 或 ． 故答案为：． 练习3．已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 练习4．已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 题型06 复数的四则运算 例11．已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】， 故，故. 故选：B 例12．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【详解】设，代入， 得到，解得， 即，故，即， 解得或－2，因为，所以，故. 故选：A． 【变式训练】 练习1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 故选：C. 练习2．已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 【答案】B 【详解】由题意得， 且为纯虚数，，， ，. 故选：B. 练习3．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】设复数，所以， 又，所以， 即，所以，解得，所以，则的虚部为. 故选：C 练习4．已知复数，（为虚数单位，），且是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】， 因为为纯虚数，所以且， 所以. 故选：C 题型07 复数的几何意义 解｜题｜策｜略 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 例13．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，对应点为在第四象限. 故选：D 例14．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因在复平面内所对应的点在第四象限， 所以，解得，故a的取值范围是． 故选：B． 【变式训练】 练习1．复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限， 故选：B 练习2．在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， ∵复数对应的点位于实轴上， ∴，解得. 故选：D. 练习3．若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】， 因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：D. 练习4．已知为虚数单位，，复数在复平面内对应的点在第四象限，写出满足题意的的一个值为 ． 【答案】（答案不唯一，只要满足的整数值即可） 【详解】复数，对应的点的坐标为， 则由题意得，解得，故可填（答案不唯一）， 故答案为： 题型08 与复数有关的最值问题 解｜题｜策｜略 （1）表示复数的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）表示以对应的点为圆心,为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解. 例15．复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数，则对应点的坐标为， 所以 所以复数对应的点到的距离为， 故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为 故选：C 例16．已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】设，则， 可得，即，复数在复平面内对应点在以为圆心，以1为半径的圆上， 由可知圆上的点到原点最长距离，是当时的距离，此时. 故选：D. 【变式训练】 练习1．已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【详解】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 练习2．复数满足（为虚数单位），则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】设,则 所以， 又， 所以，即， 所以对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复平面内的点到点的距离， 所以的最小值是. 故选：B. 练习3．复数满足，则的最大值为 ． 【答案】6 【详解】设复数. 由复数的模的几何意义可知， 表示复数对应的点到点的距离. 因为，所以，即， 这表示点在以原点为圆心，半径的圆上. 因为，所以由圆的性质可知， 点到点的距离的最大值为， 即的最大值为6. 故答案为：6 练习4．已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为 ， 又复数是实数，所以，即， 所以， 所以当，时. 故答案为： （建议用时：15分钟） 1．（2025·26高三上·四川资阳·期中）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由题意得，即，解得， 即，所以. 故选：C. 2．（2025·陕西西安·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】详解】因为，所以或， 又，则或. 故选：D. 3．（2025·陕西西安·二模）若，则复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由得，则， 所以，其虚部为. 故选：B 4．（2025·安徽·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由得， 所以， 所以， 故选：C. 5．（2024·25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】详解】由，且，则， 所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限. 故选：D. 6．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 7．（2025·安徽·模拟预测）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】详解】因为，令， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（2025·上海·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】详解】由，则，故. 故答案为： 9．（2025·广东汕头·二模）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选：D 10．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，所以，解得：， 由可得：，解得：， 所以， 又，所以，所以解得， 即的取值范围是. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $