数学一模提分卷03（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，即，解得， 即，所以. 故选：C. 2．复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，可得， 所以， 故选：A. 3．已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲， 故甲是乙的必要不充分条件． 故选：B 4．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 则， 又，所以， 所以点的坐标为. 故选：D. 5．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 6．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为. 故选：B. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设直线与圆相切于点，且圆心，半径=． 因为以为直径的圆过点P，所以， 又圆E与直线的切点为M，所以，从而． 由，得=，所以===b． 又，所以，解得， 因此该双曲线的渐近线方程为． 故选：C 8．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图象关于原点对称，则函数为奇函数； 选项A，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项A错误； 选项B，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项B错误； 选项C，， ，， 而，在出无意义，故选项C错误； 选项D， 设， ，， ，，是奇函数， ，符合已知图像， ，符合已知图像， 在上函数值从到1到0到到0，周而复始进行， 在上函数值恒大于0， 的函数值在上函数值从到正数到0到负数到0，周而复始进行， 故选项D符合已知图像，故选项D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D．一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 【答案】BC 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项错误； 对于B选项，由，故B选项正确； 对于C选项，由，有，可得事件与相互独立，故C选项正确； 对于D选项，由，解得或6，故D选项错误． 故选：BC 10．2025年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化.某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有两个极值点，则 【答案】ABD 【详解】根据图象可知，，所以，即， 又因为，所以，所以， A，的最小正周期为，故正确； B，，是奇函数，故正确； C， ， 当时，，此时， 所以的图象不关于点对称，故错误； D，时，， 要使在上有且仅有两个极值点，则，解得，即，正确． 故选：ABD． 11．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】AD 【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 因分别为的中点，则，，则，， 对于A，设与所成的角为，则，故A正确； 对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误； 对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径， 故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离， ∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆， 圆的半径，∴此时截面面积，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 【答案】19 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 13．7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有 种不同安排方式． 【答案】1056 【详解】依题意，分为两类情况： 当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，丙随便排都与甲不相邻，其他人随便排，有种排列方式； 当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选， 丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种排列方式； 所以由分类加法计数原理，总共有种排列方式. 故答案为：1056 14．如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 15．（13分） 【详解】（1）因为， 所以； 即 即 即得，即 因为，即得到 ； 又因为,所以. （2）因为分别为边上的高，所以, 所以； 由正弦定理,所以，； 所以； 因为,，所以 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 . 16．（15分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 16．（15分） 【解析】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 17．（15分） 如图所示，在高为2的斜三棱柱中，设点在底面的射影为点，且四点构成边长为2的正方形.设分别为，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)证明：平面. 17．（15分） 【解析】（1）以点为坐标原点，以为轴､轴正方向，过点且垂直于底面的直线向上的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由四边形是正方形，且顶点在底面的射影是点，棱柱的高为2，得， 则， 故. 设直线与所成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为 （2）由，， 设平面的法向量为. 由，得， 由，得，取，得. 由于，因此向量与共线， 即平面， 18．（17分） 如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为. （2）由（1）可知，， 当直线的斜率为0时，不能构成四边形AMBN，不合题意 当直线的斜率不等于0时，直线过点， 故设直线的方程为， 设，联立，消去， 得， 韦达定理，得， 四边形AMBN的面积 ， 令，则， 代入，得， 根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，当时，，四边形AMBN的面积的最大值为， 则四边形AMBN面积的取值范围为， 综上所述，四边形AMBN面积的取值范围为. 19．（17分） 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． (1)根据牛顿迭代法，求； (2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 19．（17分） 【解析】（1），，， 当时，，， 因此切线， 当时，可得； （2）当切点为时切线方程为：. 当时，可得： ， 即； （3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为. ①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当时，，即. 令，则， 易知，令， 可得，易知， 在单调递减，在单调递增， 又，，， 存在使得， 在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又， 当时，，即，即. ②下证：. 即，即. 令， 则，则在单调递减，在单调递增， 又， 显然当时，恒成立，即恒成立， 由①②可得. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D D B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．19 13．1056 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为， 所以； 即 即 即得，即（3分） 因为，即得到 ； 又因为,所以.（6分） （2）因为分别为边上的高，所以, 所以； 由正弦定理,所以，； 所以； 因为,，所以（8分） 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 .（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得；（5分） （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望；（8分） （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）以点为坐标原点，以为轴､轴正方向，过点且垂直于底面的直线向上的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由四边形是正方形，且顶点在底面的射影是点，棱柱的高为2，得， 则，（2分） 故. 设直线与所成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为（6分） （2）由，， 设平面的法向量为. 由，得， 由，得，取，得. 由于，因此向量与共线， 即平面，（15分） 18．（17分） 【解析】（1）连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为.（5分） （2）由（1）可知，， 当直线的斜率为0时，不能构成四边形AMBN，不合题意（7分） 当直线的斜率不等于0时，直线过点， 故设直线的方程为， 设，联立，消去， 得， 韦达定理，得，（9分） 四边形AMBN的面积 ， 令，则， 代入，得， 根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，当时，，四边形AMBN的面积的最大值为， 则四边形AMBN面积的取值范围为， 综上所述，四边形AMBN面积的取值范围为. （17分） 19．（17分） 【解析】（1），，， 当时，，， 因此切线， 当时，可得；（6分） （2）当切点为时切线方程为：. 当时，可得： ， 即；（9分） （3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为. ①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当时，，即. 令，则， 易知，令， 可得，易知， 在单调递减，在单调递增， 又，，， 存在使得， 在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又， 当时，，即，即. ②下证：. 即，即. 令， 则，则在单调递减，在单调递增， 又， 显然当时，恒成立，即恒成立， 由①②可得.（17分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][Cg[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 1 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 9 大 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) fx) D C恣A X0X1 X2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D．一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 10．2025年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化.某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有两个极值点，则 11．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 13．7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有 种不同安排方式． 14．如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 16．（15分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 17．（15分） 如图所示，在高为2的斜三棱柱中，设点在底面的射影为点，且四点构成边长为2的正方形.设分别为，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)证明：平面. 18．（17分） 如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 19．（17分） 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． (1)根据牛顿迭代法，求； (2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D．一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 10．2025年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化.某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有两个极值点，则 11．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 13．7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有 种不同安排方式． 14．如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 16．（15分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 17．（15分） 如图所示，在高为2的斜三棱柱中，设点在底面的射影为点，且四点构成边长为2的正方形.设分别为，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)证明：平面. 18．（17分） 如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 19．（17分） 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． (1)根据牛顿迭代法，求； (2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______________ ______ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $