5.3.2 函数的极值与最大（小）值（3知识点+10考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教A版

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． ① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图； ② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和. ③ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质； ④ 对于极值还有特别强调一下，看例题： 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( ) A. 必有 B.不存在 C. 或不存在 D.存在但可能不为 解析：函数， ， 但时，时，； 故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数， 当时，； 当时，； 所以在处取到极值，但在导数不存在；故选. ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，； ③ 定义很重要. （24-25高二下·重庆·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．是函数的极大值点 D．是函数的极小值点 知识点2：求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． （2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 知识点3 ：函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1) 极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值. (2) 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （24-25高二下·河南新乡·期中）已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 题型一：函数极值或极值点的辨析 例1．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知函数的导函数则的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（24-25高二下·甘肃武威·月考）已知函数在处连续，下列命题中正确的是（    ）． A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．当时，则为的极大值 B．当时，则为的极小值 C．当时，则为的极值 D．当为的极值且存在时，则有 【变式1-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）函数是（   ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 题型二：函数图像与极值的关系 例2. （24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【变式2-1】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【变式2-2】（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．在上单调递减 【变式2-3】（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递增 题型三：求不含参已知函数的极值 例3. （24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【变式3-1】（25-26高三上·云南·月考）函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【变式3-2】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【变式3-3】（24-25高二下·广东揭阳·月考）对于函数，下列结论不正确的（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若恒成立，则 题型四：根据极值求参数 例4.1 （25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．或 B． C．1 D． 例4.2（25-26高三上·重庆北碚·月考）若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·河北承德·期中）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数在处有极值2，则（   ） A． B．6 C．2 D． 【变式4-3】（25-26高三上·河北沧州·月考）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五： 求含参函数的极值 例5. （25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数. 讨论的单调区间和极值. 【变式5-1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知函数 讨论函数的单调性并求极值. 【变式5-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 【变式5-3】（25-26高三上·天津·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 题型六：函数最值与极值的辨析 例6. （23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【变式6-1】（24-25高二下·全国·课前预习）连续函数在上（    ） A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 【变式6-2】（23-24高二下·广东湛江·月考）已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【变式6-3】（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 题型七：求不含参已知函数的最值 例7.1 （25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 例7.2（重庆市2026届高三上学期七校联考数学试卷）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 【变式7-1】（25-26高二·全国·假期作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 题型八： 由函数的最值求参数 例8. （24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·江西·月考）已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式8-2】（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 【变式8-3】（四川省德阳市2026届高三第一次诊断考试数学试题）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 题型九： 求含参函数的最值 例9. （22-23高三上·北京东城·开学考试）设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值。 【变式9-1】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 【变式9-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【变式9-3】（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）求函数的最值．　 （2）求函数（是自然对数的底数）的最值． （3）已知a为常数，求函数的最大值． 题型十：函数单调性、极值与最值的综合应用 例10. 1 （2025·重庆·模拟预测）已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例10. 2（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 【变式10-1】（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数函数有三个不同的零点，，则的取值范围是（其中是自然对数的底）（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】（25-26高三上·安徽·月考）已知，满足，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式10-5】（多选）（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数，，则下列说法正确的（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 【变式10-6】（2025·陕西西安·二模）已知函数，（其中且）. (1)当时，证明是偶函数； (2)当时，设，若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，设的最小值为.证明：的最大值为2. 1（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数的导函数为，若函数的图象如图所示，则的极小值点为（    ） A． B．0 C．或 D． 2（24-25高一下·北京·期末）下列函数中，存在极小值的是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·江苏南通·期末）若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 4（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（25-26高一上·上海浦东新·月考）对于函数，则（ ） A．有极大值，也有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．函数与的图象有两个交点 D．函数有两个零点 7（2025高二·全国·专题练习）若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8（多选）（2025·四川泸州·一模）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 9（2025高三·全国·专题练习）已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 10（广东省部分学校2026届高三上学期12月联考数学试题）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 11（25-26高三上·河南郑州·月考）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 解释 ① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图； ② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和. ③ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质； ④ 对于极值还有特别强调一下，看例题： 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( ) A. 必有 B.不存在 C. 或不存在 D.存在但可能不为 解析：函数， ， 但时，时，； 故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数， 当时，； 当时，； 所以在处取到极值，但在导数不存在；故选. 总结 ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，； ③ 定义很重要. （24-25高二下·重庆·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．是函数的极大值点 D．是函数的极小值点 【答案】B 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值点的定义判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故函数在区间上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，是函数的极小值点，C错； 对于D选项，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增， 故不是函数的极值点，D错. 故选：B. 知识点2：求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． （2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由已知得，令，得，判断单调性，根据极小值求出参数的值. 【详解】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 知识点3 ：函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 解释 (1) 极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值. (2) 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （24-25高二下·河南新乡·期中）已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】由题意可得， 令函数，则． 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即的最小值为，此时． 故选：A. 题型一：函数极值或极值点的辨析 例1．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知函数的导函数则的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出的根，确定变号根的个数即可得． 【详解】由得，，， 或时，，不是极值点， 或时，，时，，因此都是极值点．极点点有2个． 故选：C． 【变式1-1】（24-25高二下·甘肃武威·月考）已知函数在处连续，下列命题中正确的是（    ）． A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】B 【分析】用极值点的定义判断A选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD选项 【详解】导数为0的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A错误； 根据极值的概念，在附近的左侧，函数单调递增；在附近的右侧，函数单调递减，所以为极大值，故B正确，CD错误． 故选：B 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．当时，则为的极大值 B．当时，则为的极小值 C．当时，则为的极值 D．当为的极值且存在时，则有 【答案】D 【分析】由导函数及极值定义得解. 【详解】不妨设函数则可排除ABC 由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有 故选：D 【点睛】本题考查导数求函数极值,属于基础题. 【变式1-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）函数是（   ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数图象结合极值点的定义即可得出结论. 【详解】画出的图象，函数是偶函数， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有一个极大值点. 故选：B. 题型二：函数图像与极值的关系 例2. （24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】D 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分别情况，进而可的出函数的单调区间，从而可得出极值点，即可得解. 【详解】由图可知，时，， 所以函数在和上单调递增， 时，， 所以函数在和上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据给定的部分图象，逐项分析判断. 【详解】对于A，由的部分图象并不能确定在恒成立，A错误； 对于B，由图只能得出的部分区间单调性，最大值不一定为，B错误； 对于C，由图知，且在左右两侧左负右正，为的一个极小值，的一个极小值点为，C错误； 对于D，当时，，因此在上单调递减，D正确. 故选：D 【变式2-3】（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由图可知为导函数的图象，导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】根据导函数的图像可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点. 因为函数在上单调递增，可知不是函数的极小值点，也不是函数的极大值点， 所以ABC不正确，故D正确. 故选：D. 题型三：求不含参已知函数的极值 例3. （24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值. 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【详解】（1）因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 【变式3-1】（25-26高三上·云南·月考）函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由， 可得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为. 故选：B． 【变式3-2】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【分析】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【详解】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二下·广东揭阳·月考）对于函数，下列结论不正确的（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若恒成立，则 【答案】B 【分析】对函数求导得出其单调性，可判断A正确，画出函数图象可判断B错误，结合函数在上单调递减以及可判断C正确，构造函数并求出其最大值即可得D正确. 【详解】易知函数的定义域为， 可得， 令，可得， 因此当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 对于A，因此可得在处取得极大值，可得A正确， 对于B，易知， 当时，；当时，，画出函数图象如下图所示： 由图可知有且仅有一个零点，即B错误； 对于C，易知， 又因为在上单调递减，易知， 所以，即C正确； 对于D，若恒成立，即，可得在上恒成立； 记，可得， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 可得在处取得极大值，也是最大值， 若在上恒成立，可得，所以，即D正确. 故选：B 题型四：根据极值求参数 例4.1 （25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．或 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由求得或，再分别代入验证极值确定值. 【详解】由题意得，又函数在处取得极小值， 则，解得或． 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， 所以． 故选：B. 例4.2（25-26高三上·重庆北碚·月考）若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，问题化为导函数在上有两个变号零点，令，与在上有两个交点，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，令， 又在上有两个极值点，即在上有两个变号零点， 令在上单调递减，且， 根据二次函数性质知只需与在上有两个交点， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，在上，在上， 综上，与有两个交点，则. 故选：B 【变式4-1】（24-25高二下·河北承德·期中）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将在上存在极值，转化为在上有变号零点，再利用二次方程的判别式大于0求解即可. 【详解】， 因为在上存在极值，所以在上有变号零点， 所以方程有两个不同的实数根， 故，解得或. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数在处有极值2，则（   ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据函数在处有极值2，可得，解方程组即可得解. 【详解】， 因为函数在处有极值2， 所以，即，解得， 则， 故当时，，当时，， 所以函数在处有极小值， 所以，所以. 故选：B 【变式4-3】（25-26高三上·河北沧州·月考）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 题型五： 求含参函数的极值 例5. （25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数. 讨论的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【分析】先求，根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调区间和极值. 【详解】函数的定义域为， ， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，无极值. （ⅱ）当时，令，得， 令，得. 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， ， 综上，当时，在上单调递增，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值. 【变式5-1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知函数 讨论函数的单调性并求极值. 【答案】答案见解析 【分析】利用导数并讨论参数 的范围研究导数的符号，即可判断单调性，据此求极值； 【详解】函数的定义域为 ，求导得 ， 当时， ，所以函数在上单调递增，无极值； 当时，令 ，解得 ， 当 时， ，函数在 上单调递减， 当 时， ，函数在上单调递增， 所以有极小值. 综上所述，当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数 在上单调递减，在上单调递增，有极小值． 【变式5-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解. （2）求出函数的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用倒数的符号变化判断单调性，进而确定极值. 【详解】（1）当时，，， 所以， 所以，又， 则曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，， 所以，， 令，， 则，. 当时，，函数在上单调递增， 此时函数在上无极值； 当时，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. 【变式5-3】（25-26高三上·天津·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解； (2)利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解； 【详解】（1）当时， ， 所以， 所以， 所以曲线在处的切线斜率为. （2）， 所以， 当时，， ， 所以，所以在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得， 当时， ， 当时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在处取得极小值为，无极大值， 综上： 当时， 无极值， 当时，有极小值为，无极大值. 题型六：函数最值与极值的辨析 例6. （23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 【变式6-1】（24-25高二下·全国·课前预习）连续函数在上（    ） A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 【答案】D 【详解】由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值. 【变式6-2】（23-24高二下·广东湛江·月考）已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：区分函数的极值和最值是解决本题的关键. 【变式6-3】（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 题型七：求不含参已知函数的最值 例7.1 （25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值. 【详解】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 例7.2（重庆市2026届高三上学期七校联考数学试卷）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 当时，，则在上单调递增， 故当时，取到最小值为， 当时，取到最大值为， 故在区间上的最大值为，最小值为. 【变式7-1】（25-26高二·全国·假期作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值. 【详解】因为，所以，由，得． 又当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，． 故，． 故选：B 【变式7-2】（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法将用进行替换，再利用参变量分离将问题转化为求最大值的问题，再利用导数求最值即可. 【详解】令，，则可转化为，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 故， 所以，解得， 则的取值范围是， 故选：C． 【变式7-4】（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意求出的值，求导可得解析式，根据导数的几何意义，可得切线的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. （2）令，求得极值点，分别讨论和时，的正负，可得的单调性和极值，分析计算，即可得证. （3）由（2）得，对任意恒成立，则，化简整理，即可得证. 【详解】（1）由题意得，                     又，则，                         故曲线在点处的切线方程为， 整理得． （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，，，故，故单调递增；                 当时，，，故，单调递减．             故． （3）由（2）得，对任意恒成立， 所以，                 故． 题型八： 由函数的最值求参数 例8. （24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 【变式8-1】（24-25高二下·江西·月考）已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数在上的单调性，从而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 【变式8-2】（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有、求参数，注意验证所得函数是否符合题设，进而求对应函数值. 【详解】由题设，故，且， 所以，故，即， 此时，且， 所以，时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 故处为极大值，也是最大值，满足题设； 所以. 故选：D 【变式8-3】（四川省德阳市2026届高三第一次诊断考试数学试题）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解； （2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解. 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 题型九： 求含参函数的最值 例9. （22-23高三上·北京东城·开学考试）设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，，利用点斜式得到切线方程； （2）求导得到函数单调性，极值和最值，证明出结论； （3）求导，分和两种情况，求出函数在上的单调性，得到函数最小值. 【详解】（1）当时，，， 又，故， 所以函数在处的切线方程为； （2）当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，也是最小值， 且， 故在R上恒成立. （3）， ，， 令，解得，令，解得， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 此时在上取得极小值，也是最小值， 故在上的最小值为， 当时，，故在上单调递减， 此时在上的最小值为 综上：当时，在上的最小值为， 当时，在上的最小值为. 【变式9-1】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域. 【详解】（1）当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； （2）由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 【变式9-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 【变式9-3】（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）求函数的最值．　 （2）求函数（是自然对数的底数）的最值． （3）已知a为常数，求函数的最大值． 【答案】（1）最小值；最大值；（2）最大值为，无最小值；（3）答案见解析 【分析】（1）（2）求导判单调性求得最值； （3）求导，分，，三种情况判单调性求最大值 【详解】（1），令，由， 解得或． 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ － ＋ 由表可知，当时，有最小值；当时，有最大值 （2）由题意知的定义域为R． ，令，解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故函数的最大值为，无最小值． （3）． 若,则，函数单调递减， ∴当时，有最大值． 若，则令，解得．∵，∴只考虑的情况． ①若，即， （如下表所示） 则当时，有最大值 ②若，即， 则当时，，函数在区间上单调递增， ∴当时，有最大值 综上可知，当，时，有最大值； 当，时，有最大值 当，时，有最大值． 题型十：函数单调性、极值与最值的综合应用 例10. 1 （2025·重庆·模拟预测）已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案． 【详解】由，，知 故， 即 即 令则上述式子即为 由于，且， 故在是单调递增函数， 故由可得 即，令， ， 由，得， 当时，， 当时，， 故，，且当时，恒成立， 由此可得出的大致图象如下： 由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点， 由图可得：． 故选：C． 例10. 2（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； （3）结合函数单调性与零点存在性定理分析即可得. 【详解】（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）， 令，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点； （3）由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则， 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为. 【变式10-1】（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，整理函数解析式后利用基本不等式，即得的取值范围，当时，利用导数求得的取值范围，再由的值域为R，得到不等式，解之即得. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 即时，； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，为， 又当时，所以时，， 由的值域为，可得，即，解得. 故选：A 【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数函数有三个不同的零点，，则的取值范围是（其中是自然对数的底）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象先判定的范围，再结合根与系数的关系得出，构造函数利用导数研究函数的单调性计算最值即可. 【详解】由题作出函数的图象如图所示，所以当时，拋物线的对称轴为，顶点， 若函数有三个不同的零点， 不妨设，即有三个不同的根， 则，即， 当时，，即，则， 当时，由，得，即，则， 设，则导数， 则当时，恒成立，即此时函数为减函数， 则，即，即， 即的取值范围是. 故选：D. 【变式10-3】（23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与，分别切于点，根据导数的几何意义，可得斜率，化简计算，可得，设，利用导数可得的单调区间和极值，分析即可得答案. 【详解】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 【变式10-4】（25-26高三上·安徽·月考）已知，满足，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，令，利用导数分析的性质得到，从而得到，再构造函数，利用导数即可求最大值. 【详解】由，整理得， 设，，令解得 在单调递减，在内单调递增， 当时，，又， 时，，时，， 依题意，，且， ， ，则， ， 设，， 令解得， 在单调递增，在内单调递减， 的最大值为. 故选：C. 【变式10-5】（多选）（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数，，则下列说法正确的（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 【答案】ACD 【分析】利用导数分别求出两个函数极小值判断A；根据条件求出的范围判断B；利用方程根的意义，变形构造函数，利用导数借助单调性推理判断C；利用同构方法进行转化求解判断D. 【详解】对于A，函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值； 函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，A正确； 对于B，由选项A知，，则当时，也有唯一实根，B错误； 对于C，因为当趋近于0时，趋近于0， 所以，由方程有两个不同的实根，得，不妨令， 由，得，则， 消去得，则，令， 于是，， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递增，，因此，即，C正确； 对于D，，由，得， 所以，则， ，于是，而函数在上单调递增，则， 因此成立，D正确. 故选：ACD 【变式10-6】（2025·陕西西安·二模）已知函数，（其中且）. (1)当时，证明是偶函数； (2)当时，设，若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，设的最小值为.证明：的最大值为2. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用恒等式，结合定义域来证明奇偶性； （2）利用指数函数的单调性求值域，再结合不等式恒成立思想，即可得参数范围； （3）利用导数判断单调性即可求最小值，再利用特殊值，从而把问题转化为不等式证明，再利用不等式等价变形，构造函数，再次导数来判断单调性求最值，从而问题得证. 【详解】（1）当时，，由题意可知函数的定义域为， 且，所以函数为偶函数； （2）当时，，因此，对任意的恒成立，可得，化简得：， 当时，函数单调递增，当时，， 因为，所以恒成立. 当时，函数单调递减，当时，， 因为，所以不成立.综上所述，实数的取值范围为. （3）当时，函数， 令，得， 即，由于当时，，当时，， 所以在单调递减，单调递增， 即. 注意到，要证的最大值为2，只需证明， 即证，即， 两边同时取自然对数，可得 . 设函数， 则，令，得，即， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以， ，即得证. 综上所述，的最大值为2. 1（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数的导函数为，若函数的图象如图所示，则的极小值点为（    ） A． B．0 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，判断函数的极小值点. 【详解】由图可知，当时，， 当时，，当且仅当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而的极小值点为. 故选：D 2（24-25高一下·北京·期末）下列函数中，存在极小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于AC，由指数函数、对数函数单调性判断即可；对于BD，求导判断函数单调性，进一步得极小值情况即可. 【详解】对于AC，因为对数函数、是增函数，故它们都不存在极小值，故AC错误； 对于B，，求导得， 或，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，故B正确； 对于D，对求导得，且不恒成立， 所以是增函数，即不存在极小值. 故选：B. 3（23-24高二上·江苏南通·期末）若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，确定，由的最小值为，可求出，即可得出的解析式，进一步求出函数的零点. 【详解】因为函数的导数，所以，为常数， 设，则恒成立，在上单调递增， 即在上单调递增，又， 故当时，，即单调递减， 时，，即单调递增， 所以在处取得最小值，即，所以， 所以，由， 令，解得，所以的零点为. 故选：C. 4（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得最值，则有， 解得. 故选：C. 5（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 6（25-26高一上·上海浦东新·月考）对于函数，则（ ） A．有极大值，也有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．函数与的图象有两个交点 D．函数有两个零点 【答案】D 【分析】对函数求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值判断AB；画出函数与的图象从而可判断交点个数可判断C；函数有两个零点价于函数与的图象有两个交点，数形结合即可判断D. 【详解】，则， 因为在恒成立. 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以在处有极大值，没有极小值，故A错误，B错误； 根据的单调性，画出函数的图象，以及的图象，如图： 由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误； 函数有两个零点等价于函数与的图象有两个交点， 因为在单调递增，在单调递减，所以可得， 又时，，当时，， 如下图所示： 由此可知，函数与的图象有两个交点，即函数有两个零点；故D正确. 故选：D. 7（2025高二·全国·专题练习）若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图像上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，数形结合，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】，，因为存在唯一的整数，使得，即， ，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值也是最小值，，作出其大致图像如图： 是斜率为，恒过定点的直线， 当，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意，故， 又，，， 此时需满足在图像上只有一个横坐标为整数的点在直线下方， 则需满足，解得. 故选：C 8（多选）（2025·四川泸州·一模）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 【答案】ACD 【分析】根据函数的性质，利用特殊值法分析判断选项A，对求导，利用导数分析函数单调性及极值，进而判断选项BCD． 【详解】选项A：，， ，， ， 需比较与的大小， ，，， ，故，故A正确； 选项B：，求导得，分母， ，对于任意，，， 又 ，， 对于任意成立， 在成立，故在上单调递减，故B错误； 选项C：当时，， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在时取得最小值，即在上恒成立， ，当且仅当时， ，仅当时等号成立，故的最大值为1，故C正确； 选项D：，， 令， 当时，， ，故，函数单调递减； 当时，，， 当时，， 求导得，， ，函数单调递增，且， 在上单调递增，且，， 由零点存在定理知在上存在唯一零点，设为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 是在上存在唯一极小值点，故D正确． 故选：ACD． 9（2025高三·全国·专题练习）已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，求导判断单调性，求出最小值，进而求得范围. 【详解】令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 10（广东省部分学校2026届高三上学期12月联考数学试题）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)零点个数为1 (3)存在，最大值为，没有最小值 【分析】（1）求导，可得，，根据导数的几何意义求切线方程； （2）设，利用导数判断的单调性和零点，即可得的零点个数； （3）根据（2）分析的符号，即可得的单调性和最值，结合零点代换运算求解即可. 【详解】（1）因为，， 则，， 所以切线方程为，即. （2）设，则， 可知在上单调递减，且，， 根据零点存在定理可知在区间上存在唯一零点，即的零点个数为1. （3）由（2）可知在上单调递减，且存在唯一零点，使得， 当 时，，则在区间上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最大值为. 因为，即， 可得，即， 则， 故的最大值为，没有最小值. 11（25-26高三上·河南郑州·月考）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析． 【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值； （3）把要证结论等价转化为，结合函数的极值点再次把要证结论转化为 ，()，通过构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为，即切线方程为：． （2）因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. （3）要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是． 不妨设，设，则． 因此， ． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数． ，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $