5.3.2函数的极值与最大（小）值 第3课时 函数的最大（小）值 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值与最大（小）值　第3课时　函数的最大（小）值 基础巩固 1.函数f（x）＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值、最小值分别是（　 ） A.5，－15 B.5，－4 C.－4，－15 D.5，－16 2.若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为（　 ） A.－10 B.－71 C.－15 D.－22 3.函数f（x）＝x·ex的最小值是（　 ） A.－1 B.－e C.－ D.不存在 4.函数y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（　 ） A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1 5.已知函数f（x）＝x2－2ln x，若在定义域内存在x0，使得不等式f（x0）－m≤0成立，则实数m的最小值是（　 ） A.2 B.－2 C.1 D.－1 6.若函数f（x）＝asin x＋sin 3x在x＝处有最大（小）值，则a等于（　 ） A.2 B.1 C. D.0 7.若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ . 8.设函数f（x）＝x2ex，当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是 . 9.设函数f（x）＝ex－x2－x. （1）若k＝0，求f（x）的最小值； （2）若k＝1，求函数f（x）的单调性. 10.已知函数f（x）＝x3＋ax＋b（a，b∈R）在x＝2处取得极小值－. （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若f（x）≤m2＋m＋在[－4，3]上恒成立，求实数m的取值范围. 综合运用 11.已知函数y＝（x＞1）有最大值－4，则a的值为（　 ） A.1 B.－1 C.4 D.－4 12.已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对任意x1，x2∈[－3，2]，都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（　 ） A.20 B.18 C.3 D.0 13.已知y＝f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）＝ln x－ax（a＞），当x∈（－2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值为 . 14.若函数f（x）＝kx－ex在（1，＋∞）上不存在最值，则实数k 的取值范围为 . 拔高拓展 15.若存在x∈[，e]，使得不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，则实数m的最大值为（　 ） A.＋3e－2 B.＋e＋2 C.4 D.e2－1 16.已知函数f（x）＝－x3＋x在区间（a2－6，a）上有最小值，则a的取值范围为 . 基础巩固 1.函数f（x）＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值、最小值分别是（　A　） A.5，－15 B.5，－4 C.－4，－15 D.5，－16 解析：∵f'（x）＝6x2－6x－12＝6（x2－x－2）＝6（x＋1）（x－2），∴f在[0，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增， ∴f（x）的极小值为f（2），也是最小值，f（2）＝－15， ∵f（0）＝5，f（3）＝－4，∴f（x）max＝5， ∴f（x）的最大值、最小值分别为5，－15.故选A. 2.若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为（　B　） A.－10 B.－71 C.－15 D.－22 解析：f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）. 由f'（x）＝0，得x＝3或x＝－1. 又因为f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27， f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20， 所以f（x）max＝k＋5＝10，则k＝5， 所以f（x）min＝k－76＝－71. 3.函数f（x）＝x·ex的最小值是（　C　） A.－1 B.－e C.－ D.不存在 解析：由题意得f'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）·ex.令f'（x）＝0，得x＝－1. 当x＜－1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞－1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 因此f（x）在x＝－1处取得极小值，也是最小值，且最小值为f（－1）＝－.故选C. 4.函数y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（　C　） A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1 解析：y'＝1－cos x，当x∈［，π］时，y'＞0，则函数在区间［，π］上单调递增， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π. 5.已知函数f（x）＝x2－2ln x，若在定义域内存在x0，使得不等式f（x0）－m≤0成立，则实数m的最小值是（　C　） A.2 B.－2 C.1 D.－1 解析：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x－. 令f'（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去）. 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以当x＝1时，f（x）取得极小值，也是最小值，且最小值为1. 因为存在x0，使得不等式f（x0）－m≤0成立，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.故选C. 6.若函数f（x）＝asin x＋sin 3x在x＝处有最大（小）值，则a等于（　A　） A.2 B.1 C. D.0 解析：∵f（x）在x＝处有最大（小）值，∴x＝是函数f（x）的极值点.又∵f'（x）＝acos x＋cos 3x，∴f'（）＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2. 7.若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝　20　. 解析：∵f'（x）＝3x2－3， ∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0； 当－1＜x＜1时，f'（x）＜0. ∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，3]上单调递增， ∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）， ∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20. 8.设函数f（x）＝x2ex，当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是　（－∞，0）　. 解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－2. 当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ 极小值0 ↗ 2e2 ∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0. 9.设函数f（x）＝ex－x2－x. （1）若k＝0，求f（x）的最小值； 解：（1）当k＝0时，f（x）＝ex－x， f'（x）＝ex－1.当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，0）上单调递减， 在（0，＋∞）上单调递增， 故当x＝0时，f（x）取得极小值，也是最小值，且最小值为f（0）＝1. （2）若k＝1，求函数f（x）的单调性. 解：（2）若k＝1，则f（x）＝ex－x2－x， 定义域为R， 所以f'（x）＝ex－x－1.令g（x）＝f'（x）＝ex－x－1，则g'（x）＝ex－1，由g'（x）≥0，得x≥0，所以g（x）＝f'（x）在[0，＋∞）上单调递增， 由g'（x）＜0，得x＜0，所以g（x）＝f'（x）在（－∞，0）上单调递减， 所以f'（x）min＝f'（0）＝0，故f'（x）≥0，所以f（x）在R上单调递增. 10.已知函数f（x）＝x3＋ax＋b（a，b∈R）在x＝2处取得极小值－. （1）求f（x）的单调递增区间； 解：（1）f'（x）＝x2＋a，由f'（2）＝0，得a＝－4，经检验，符合题意.再由f（2）＝－，得b＝4， 所以f（x）＝x3－4x＋4，f'（x）＝x2－4. 令f'（x）＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2， 所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）. （2）若f（x）≤m2＋m＋在[－4，3]上恒成立，求实数m的取值范围. 解：（2）因为f（－4）＝－，f（－2）＝，f（2）＝－，f（3）＝1，所以函数f（x）在[－4，3]上的最大值为. 要使f（x）≤m2＋m＋在[－4，3]上恒成立，只需m2＋m＋≥，解得m≥2或m≤－3，所以实数m的取值范围是（－∞，－3]∪[2，＋∞）. 综合运用 11.已知函数y＝（x＞1）有最大值－4，则a的值为（　B　） A.1 B.－1 C.4 D.－4 解析：依题意得y'＝（）'＝＝＝，令y'＝0，解得x＝2或x＝0（舍去）.若函数在开区间（1，＋∞）上有最大值－4，则最大值必然在x＝2处取得，所以＝－4，解得a＝－1，此时y'＝，当1＜x＜2时，y'＞0，当x＞2时，y'＜0，可以验证当x＝2时，y取得最大值－4.故选B. 12.已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对任意x1，x2∈[－3，2]，都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（　A　） A.20 B.18 C.3 D.0 解析：由f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）·（x＋1）＝0，得x＝1或x＝－1.又f（－3）＝－19，f（－1）＝1，f（1）＝－3，f（2）＝1，所以在区间[－3，2]上，f（x）max＝1，f（x）min＝－19.又由题设知在区间[－3，2]上，｜f（x1）－f（x2）｜≤f（x）max－f（x）min＝20，所以t≥20，故实数t的最小值是20. 13.已知y＝f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）＝ln x－ax（a＞），当x∈（－2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值为　1　. 解析：由题意知，当x∈（0，2）时， f（x）的最大值为－1. 令f'（x）＝－a＝0，得x＝. 当0＜x＜时，f'（x）＞0； 当＜x＜2时，f'（x）＜0. ∴f（x）max＝f（）＝－ln a－1＝－1. 解得a＝1. 14.若函数f（x）＝kx－ex在（1，＋∞）上不存在最值，则实数k 的取值范围为　（－∞，e]　. 解析：由题意得f'（x）＝k－ex. 当k≤0时，f'（x）＝k－ex＜0，函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不存在最值； 当k＞0时，令f'（x）＝k－ex＝0， 可得x＝ln k， 易得函数f（x）在（－∞，ln k）上单调递增，在（ln k，＋∞）上单调递减， 若函数f（x）＝kx－ex在（1，＋∞）上不存在最值，则有ln k≤1， 即k≤e，故0＜k≤e.综上，k≤e. 拔高拓展 15.若存在x∈[，e]，使得不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，则实数m的最大值为（　A　） A.＋3e－2 B.＋e＋2 C.4 D.e2－1 解析：∵2xln x＋x2－mx＋3≥0， ∴m≤2ln x＋x＋， 设h（x）＝2ln x＋x＋， 则h'（x）＝＋1－＝， 当≤x＜1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减， 当1＜x≤e时，h'（x）＞0，h（x）单调递增. ∵存在x∈[，e]，m≤2ln x＋x＋成立， ∴m≤h（x）max， ∵h（）＝－2＋＋3e，h（e）＝2＋e＋， ∴h（）＞h（e），∴m≤＋3e－2. 16.已知函数f（x）＝－x3＋x在区间（a2－6，a）上有最小值，则a的取值范围为　（－1，2]　. 解析：f'（x）＝－x2＋1＝－（x－1）（x＋1）， 当x＜－1或x＞1时，f'（x）＜0，当－1＜x＜1时，f'（x）＞0， ∴f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，在（－1，1）上单调递增， ∴x＝－1是f（x）的极小值点，且f（－1）＝f（2）＝－， 函数f（x）＝－x3＋x在区间（a2－6，a）上有最小值，则a2－6＜－1＜a≤2，解得－1＜a≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $