5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦函数的最大(小)值，涵盖定义、导数关系、求法及优化应用，通过极值与最值的区别联系导入，以问题链搭建学习支架，衔接导数应用知识，引导学生从局部极值过渡到整体最值的探究。 其亮点在于结合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，通过微点拨明晰概念，探究例题（如销售利润优化问题）和规律方法培养思维，构造函数证不等式（如证明ln(x+1)相关不等式）提升能力，助力学生掌握知识，为教师提供系统教学资源与分层练习。

第五章 　5.3.2　第2课时　函数的最大(小)值 学习目标 1.了解函数的最大值、最小值的含义.(数学抽象) 2.理解导数与函数最大(小)值的关系.(数学抽象) 3.能利用导数求函数的最大(小)值.(数学运算) 4.掌握利用导数解决最优化问题的方法.(数学抽象、逻辑推理、数学运算) 基础落实·必备知识全过关 知识点1　函数在闭区间上的最大(小)值 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.  不一定在区间端点处取得,且 最大值和最小值都是唯一的 连续不断 微点拨 1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,那么它不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值. 2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)=在区间[-1,1]上只有最大值,没有最小值. 提示 (1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较. (2)函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较. (3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 微思考 函数的极值与最值有何区别和联系? 知识点2　函数在闭区间[a,b]上最大(小)值的求法 一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: 1.求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　　　　　;  2.将函数y=f(x)的各极值与　　　　　　　的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是　　　　　　　,最小的一个是　　　　　　　.  极值 端点处 最大值 最小值 微点拨 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最大(小)值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值. 知识点3　生活中的优化问题 在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题. 微点拨 用导数解决实际生活问题的基本思路 微思考 在实际问题中,若定义域内函数只有一个极大(小)值点,那么函数在该点处取最大(小)值吗? 提示根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值. 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 问题1我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们往往更关心函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小.由此,函数的极值与最值的区别和联系是什么? 问题2根据极值与最值的定义,结合函数图象,求函数在某个闭区间上的最值的步骤是什么? 问题3最值反映了函数在给定区间上的最大值或最小值,如何直接求函数在给定闭区间上的最值? 探究点一　求函数的最大(小)值 【例1】 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: (1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1]; x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 f'(x)   + 0 -   f(x) -14 单调递增 极大值-10 单调递减 -12 所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10. 解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 规律方法　求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法步骤 (1)求函数f(x)的导函数f'(x); (2)解方程f'(x)=0,求出f'(x)=0在区间[a,b]上的所有根; (3)计算函数f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有根以及区间[a,b]的端点对应的函数值; (4)比较以上各个函数值,其中最大的是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值,最小的是函数f(x)在区间[a,b]上的最小值. 问题4当函数没有给定相应的闭区间,需要在其定义域上讨论最值.如何根据单调性与极值画出函数图象,进一步求出最值? 【例2】 求下列函数的最大值与最小值: 极小值,在x=3处取得极大值, 又当x=1时,f(x)=0; 当x<1时,f(x)<0;当x>1时,f(x)>0. 据此可以画出函数的大致图象,如图所示. (2)函数f(x)的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1. 所以函数f(x)在区间(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在区间(-3,1)内单调递减,因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值f(-3)=6e-3;在x=1处取得极小值,极小值f(1)=-2e. 从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,而函数f(x)无最大值. 规律方法　求函数在开区间(无穷区间)上最值的方法 (1)利用导数研究分析函数的单调区间和极值情况; (2)分析函数的零点以及函数值的正负情况; (3)根据单调性、极值、零点、函数值的正负情况作出函数的大致图象; (4)结合图象确定函数的最值. 探究点二　含参数的最大(小)值问题 问题5我们知道,要求函数的最值,肯定要知道函数的单调性.据此,若某函数中含有参数,该如何求其最值? 【例3】 已知函数f(x)=ln x-2ax的最大值为-2,试求实数a的值. 解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=. 当a≤0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,无最大值,不符合题意; 当a>0时,当x∈(0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)在x=处取得极大值,即最大值f(x)max=f()=ln -1, 所以ln-1=-2,即ln=-1,解得a=,符合a>0. 综上,实数a的值为. 规律方法　求解函数在给定区间上的最大(小)值,需注意以下几点: (1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内. (2)根据极值点与所给区间的相对位置关系(即极值点是否在区间内)确定分类讨论的标准后确定函数的极值. (3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值. 探究点三　生活中的优化问题 【例4】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 分析 (1)根据当x=5时,y=11,求a的值;(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值. 问题6生活中有很多与最值有关的实际问题,如何利用导数解决生活中的优化问题? f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6), 于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 3<x<6,令f'(x)=0,解得x=4. 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 规律方法　利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x); (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,其中最大(小)者为f(x)在区间上的最大(小)值. 求解时应注意:(1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意应用分类讨论的思想. 探究点四　构造函数证明函数不等式 当-1<x<0时,f'(x)>0,即f(x)在(-1,0)上单调递增; 当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减. 于是函数f(x)在(-1,+∞)上的最大值为f(x)max=f(0)=0,因此,当x>-1时,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x(右边不等式得证). 问题7证明函数不等式时,通常需要恰当的转化,将不等式的一边化为常数.此时,如何通过构造函数,结合函数的单调性与最值证明不等式? 当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0. 即g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 故函数g(x)在(-1,+∞)上的最小值为g(x)min=g(0)=0, 规律方法　在函数不等式的证明中,若不等式的两边含有自变量时,可移项后构造函数,证明所构造的函数的最大(小)值与0的大小关系,常见的方法是:欲证明f(x)>g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),只需要证明函数F(x)的最小值大于0.形如g(x)<f(x)<h(x)型的不等式的证明,应分别证明g(x)<f(x),f(x)<h(x). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)函数最值的定义. (2)求函数最值的方法. (3)函数最值在实际中的应用. (4)构造函数证明函数不等式. 2.方法归纳:转化化归、分类讨论. 3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系. 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 知识点1 对函数最值概念的理解 1.设是区间上的连续函数，且在 内可导，则( ) C A. 的极值点一定是最值点 B. 的最值点一定是极值点 C.在区间 上可能没有极值点 D.在区间 上可能没有最值点 【解析】 的极值点不一定是最值点， 的最值点不一定是极值点， 可能是区间的端点，所以A,B错误.连续可导函数在闭区间上一定有最值， 所以D错误.若函数在区间上单调，则函数在区间 上没 有极值点，所以C正确.故选C. 31 2.（多选）[2026海南海口模考] 是定义在区间 上的函数，其导函数 的图象如图所示，则 在区间 内( ) BC A.函数 有三个极值点 B.函数的单调递增区间为 C.函数的最大值可能为 D.函数的最小值可能为 32 【解析】 对于A，B选项，由的图象可知，当 或 时，，当时，，所以函数 的单调递减区间为，，单调递增区间为 ，所以函数 只有两个极值点，A错误，B正确；对于C，D选项，函数 的最大 值可能为或，C正确；因为函数在 上单调递减，所以 ，故函数的最小值不可能为 ，D错误. 33 知识点2 求函数的最值点或最值 3.[2026广西玉林期中]已知函数，则当时， 的最 大值为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由，得 ，当 时，，当时，，故 在 上单调递增，在上单调递减，故当时， 在 时取得极大值，也即最大值，为 .故选D. 34 4.（多选）设 ,则以下结论正确的是( ) AD A.在上的最小值点为 B.在上的最大值点为 C.在 上没有最小值点 D.在上的最大值点为 35 【解析】 ,令,得或 ， 令，得，所以在上单调递增,在 , 上单调递减，所以在上的极小值点为 ，极大值点 为.又,,, ,所以 ，所以在上的最小值点为 ,最 大值点为，在上的最小值点为极小值点，为 ，在 上的最大值点为极大值点，为 ，故A,D正确，B，C错误. 36 5.[2026北京161中期中]已知函数，则函数 ( ) A A.有最大值也有最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.无最大值也无最小值 37 【解析】 函数的定义域为 , ，令 ，得 和.当时，，单调递减，当 时，，单调递增，当时，， 单调递减， 所以当时，取得极小值，为，当 时，取得极大值， 为.又 时，，极小值 ，极大值 ，所以函数的最小值为，最大值为.因此 既有最 大值，也有最小值. 38 6.已知函数 ． （1）若，求在区间 上的最大值； 【解析】 因为，所以 ， 所以 ， 因为，所以，所以在 上单调递增， 所以在上的最大值为 . 39 （2）求在区间上的最小值 ． 【解析】 的定义域为 ， . ①当，即且时，在 上单调递增， ； ②当，即时，在上单调递减，在 ,上单调递增， ； 40 ③当，即时，在 上单调递减， . 综上， 41 知识点3 由函数的最值情况求参 7.已知是函数的导函数，若 ， 且在上的最大值为5，则 的值为( ) D A.1 B. C. D. 【解析】 因为，所以 ，所以 ，解得，所以 ， ，所以当时,，所以在 上单调递 增，所以在上的最大值为，解得 . 42 8.[2026四川成都树德中学月考]已知函数 在处取得最小值1，则 ( ) D A. B.2 C. D. 【解析】 的定义域为.因为函数在 处取得最小值1， 所以在 处取得极值（ 若函数在开区间上存在最值，则最值 点是极值点.），故又 ，所以 解得所以 . . . . . 43 9.[2026河北石家庄调研]若函数在区间 上存在最 大值与最小值，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D.,2 44 【解析】 令 ，得 或,所以在， 上单调递 增，在上单调递减，故在 处取得极小值， 为,在处取得极大值，为 .令 ,得或,令，得 或 ，作出的大致图象如图所示.由题意知函数 在区间 内的最大值、最小值只能分别在 和处取得.结合函数的图象可得 . . 45 10.[2026四川成都模考]若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是________. 46 【解析】 当时， ，当且仅当 时，等号成立，所以函数在上的值域为 的子 集.当时，，则，由 可 得，由可得，所以函数在 上单调递减， 在上单调递增，故当时，，即函数 在上的值域为.由题意可得 ，即 ，解得.因此实数的取值范围是 . 47 知识点4 利用导数解决不等式恒成立、有解问题 11.[2026江苏南京金陵中学阶段测试]已知函数，若 对任意恒成立，则 的最小值为( ) C A. B. C. D.0 48 【解析】 由题意知对任意恒成立，即 （ 分离参数.）对任意恒成立.记， ,则 ，当时，；当时， .故 在上单调递增，在上单调递减，故在 时取得 极大值，也即最大值,为，所以，故的最小值为 . . . 12.已知函数，若存在实数，使得 成 立，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 50 【解析】 因为存在实数，使得成立，所以当 时， ，当 时，令得或 或 ，当 变化时， ， 的变化情况如下表： 0 0 0 0 0 极小值 由表可知当 时，取到时的极小值也是 在区间 上的最小值，又 ，故 . 51 13.[2026江苏省启东中学期中]已知, ， 若对任意，总存在，使成立，则实数 的 取值范围为_ ______. 52 【解析】 因为对任意，总存在，使 成立， 所以函数在上的值域是函数在 上的值域的子集 （ ）.函数在上单调递增，所以函数 在 上的值域为.函数的导函数为 ，当 时，，在区间上单调递减，当 时， ，在区间上单调递增，所以函数在区间 上的 最小值为，又，，所以函数在区间 . . . . 53 上的最大值为3，值域为，所以解得 ，即实数 的取值范围为 . 14.[2026北京二十中学期中]已知函数 . （1）求曲线在点 处的切线方程； 【解析】 由，可得 ， 所以（1），且 ， 故切点坐标为 ，切线的斜率为2， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即 . 55 （2）求证： . 【解析】 函数的定义域为 ， 要证，即 ， 即证，即证 . 令 ,得 ，其中 . 当时，，当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以，即 ， 所以 . 56 知识点5 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 15.若函数有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 57 【解析】 ,令 ，得 ，因为函数 有且仅有一个零点，所以问 题可转化为直线与函数 的图象有且仅有 一个交点.令,则 ,令 ，得，即在上单调递增，令 ， 得或，即在, 上单调递减，所以 在 处取得极小值，在处取得极大值2，又当 时， , 当 时， ,所以 的大致图象如图所示， 结合图象可知或 . 58 ，令得 或 ，令得，所以在 上单调递减，在 ，上单调递增，故在处取得极大值，在 处取得极小值，且当 时， ，当 时， .要使函数有且仅有一个零点，则需满足 或 ，即或，解得或 .故 选D. 59 16.（多选）[2026山东日照期中]已知函数 ，则 ( ) ACD A. B.函数 有两个零点 C.方程 有两个不同的根 D.若函数为增函数，则 【解析】 由（1），得.令 ， 得（1）（1），解得（1） ，A正确. ，，,令 ，得 60 ，当时，，单调递减,当 时， ，单调递增，故仅有一个极小值点 ，无极大值 点，故，所以函数 无零点，B错误. 令 ，得 ,,令，得 ，当 时，，单调递减,当时，， 单 调递增,所以，又和 时， ，所以结合零点存在定理知在和 内各有一个 零点，即方程 有两个不同的根，C正确.由 为增函数，得 在上恒成立，即在上恒成立.又 ，当 且仅当,即时取等号，所以 ，D正确. 17.[2026安徽六校联考]已知函数 的图象 在点处的切线与直线 垂直. （1）求实数 的值； 【解析】 由题知 ， 所以（1） . 由题意可知，化简得 , 解得或（舍去），所以 . 63 （2）若方程有三个实数根，求实数 的取值范围. 【解析】 结合（1）可知 ， . 令,得或 , 当时，,当时， ， 64 所以函数在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 所以当时，函数取得极大值,为，当 时， 函数取得极小值,为 . 由,，知 ， 当 时， ，当 时， ， 所以当有三个实数根时， . 知识点6 利用导数解决生活中的最优化问题 18.一种锥形孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设 计．铁匠老张准备从一个半径为 的圆形铁片上剪出一个扇形（圆心和半 径与圆形铁片一致）作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗 （接缝处忽略不计）．若该漏斗的容积为 ，则圆形铁片面积的最 小值为( ) D A. B. C. D. 66 【解析】 设该漏斗所在圆锥的底面半径为，高为，则母线长为 ．当 圆形铁片的面积最小时，最小.由该漏斗的容积 ， 得，则.设， ， 则，令，可得，当 时， ，单调递减，当时，， 单调 递增.故当时， 取得最小值9，此时圆形铁片的面积最小,为 ．故选D. 67 19.[2026江苏镇江期中]如图，已知海岛到海岸公路 的距离为，，间的距离为.从到 ， 先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到 处，已知船 C A. B. C. D. 速为，车速为，则从到 所需的最少时间为( ) 68 【解析】 设，其中 ，根据题意知 ，，，则 ， .设从到所需时间为 ， 则，其中 ，则 .由 可得，当时， ；当 时，.所以函数在 上单调递减，在 ,上单调递增，所以 . 69 20.如图1所示，是边长为 的正方形硬 纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角 三角形，再沿虚线折起，使得,,, 四个点重 合于图2中的点 ，正好形成一个正四棱柱形状 20 的包装盒.点，在 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端 点，若（单位：），则包装盒的容积（单位： ） 最大时， 的值为____,此时包装盒的高与底面边长的比值为__. 70 【解析】 设包装盒的高为，底面边长为,则由题意得 ， ,， , ,令，得（舍去）或.当 时，；当时，.所以当时， 取得极大值， 也是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为 . 71 21.方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回 到家乡，利用所学知识进行自主创业，自主研发生产 产品.经过市场调研， 生产产品需投入固定成本1万元，每生产（单位：万件，且 ）， 需再投入流动成本 （单位：万元），当年产量小于9万件时， ，当年产量不小于9万件时， . 已知每件产品的售价为5元，假设方同学生产的 产品当年全部售完. 72 （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量 的函数解析式. （注：年利润 年销售收入-固定成本-流动成本） 【解析】 由题意得，当 时， ， 当时， ， 所以 . 73 （2）当年产量约为多少万件时，方同学生产的 产品所获年利润最大？ 最大年利润是多少？（参考数据： ） 【解析】 当时， ， 因为，当且仅当，即 时取等号，所以 ， 即当时，取得最大值，为 . 当时，，则 ， 74 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 所以当时，取得最大值，为 . 因为 ， 所以当时， 取最大值7. 所以当年产量约为20万件时，方同学生产的 产品所获年利润最大，最大 年利润为7万元. (2)f(x)=+ln x,x∈[,2]. (2)f'(x)=. 由f'(x)=0,得x=1. 所以在区间[,2]上,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (,1) 1 (1,2) 2 f'(x) - 0 + f(x) 1-ln 2 单调递减 极小值0 单调递增 ln 2- 因为f()-f(2)=-2ln 2=(3-4ln 2)=(ln e3-ln 16),而e3>16, 所以f()>f(2)>0. 所以f(x)在区间[,2]上的最大值为f()=1-ln 2,最小值为0. (1)f(x)=;(2)f(x)=(x2-3)ex. 解 (1)f'(x)=,令f'(x)=0,得x=-1或x=3,容易验证函数在x=-1处取得 由图象可知,函数的最大值等于f(3)=,最小值为f(-1)==-. 又由f(x)>0,得x>或x<-;由f(x)<0得,-<x<.所以函数的大致图象如图所示. 解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2. (2)由(1)知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,3<x<6,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)·[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6),从而 【例5】 求证:当x>-1时,恒有1-≤ln(x+1)≤x. 证明 设f(x)=ln(x+1)-x,x>-1,则f'(x)=-1=-. 现证左边不等式,令g(x)=ln(x+1)+-1,x>-1,则g'(x)=. 所以当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,即ln(x+1)+-1≥0, 所以ln(x+1)≥1-. 综上可知,当x>-1时,恒有1-≤ln(x+1)≤x. $