寒假作业01 集合与常用逻辑用语（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 集合与常用逻辑用语 1、 集合的概念 1.集合的概念 1) 元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示. 2) 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示. 确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 3) 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。 2. 元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做. 熟记数学中一些常用的数集及其记法 符号 名称 含义 N 非负数集或自然数集 全体非负整数组成的集合 N*或 正整数集 所有正整数组成的集合 Z 整数集 全体整数组成的集合 Q 有理数集 全体有理数组成的集合 R 实数集 全体实数组成的集合 注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。 3. 集合的分类与表示 集合的分类： （1）按元素的数量分为有限集、无限集、空集； （2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 表示方法： （1）自然语言描述法. （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。 （3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法． 二、集合间的基本关系 1. 子集和真子集 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作： 读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言：任意 Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 可以用图表示为： 真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集. 记作：（或). 2. 空集 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有 集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 3. 子集的个数 若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个； 三、集合的基本运算 1. 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}; Venn图表示: 2. 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}； 交集的Venn图表示： 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：即； 补集的Venn图表示： 四、充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2. 充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (2)若p ⇒ q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q ⇒ p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A=B，则p，q互为充要条件 若或，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 五、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 3.含有一个量词的命题的否定﹁ 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 集合的概念 1．将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 2．由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 题型二 集合间的基本关系 1．下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．集合的非空真子集个数为 ． 3．已知集合，若，则的值为 ． 4．记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 题型三 集合的基本运算 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 3．设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 题型四 充分条件与必要条件 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“若，则”为真命题，则实数的一个值为 . 题型五 全称量词与存在量词 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， （多选）2．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 （多选）3．已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 一、单选题 1．已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 2．设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 3．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 4．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，A是M的子集，且满足条件：当时，，则A中元素个数的最大值为（   ） A．1862 B．1866 C．1868 D．1870 二、填空题 6．已知，集合或，若，使得，都有，则 . 7．已知集合同时满足①，②，其中均为不等于零的实数，则的值分别为 . 三、解答题 8．设集合 (1)求 ； (2)若，求实数的取值范围． 9．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 10．已知集合或，. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 11．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 一、单选题 1．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（    ） A．29人 B．23人 C．36人 D．25人 二、多选题 5．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 6．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 7．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做与的笛卡尔积，又称直积，记为．即．关于任意非空集合，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 四、解答题 10．已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 11．已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 12．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 集合与常用逻辑用语 1、 集合的概念 1.集合的概念 1) 元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示. 2) 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示. 3) 集合中元素的特征： 确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 4) 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。 2. 元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做. 熟记数学中一些常用的数集及其记法 符号 名称 含义 N 非负数集或自然数集 全体非负整数组成的集合 N*或 正整数集 所有正整数组成的集合 Z 整数集 全体整数组成的集合 Q 有理数集 全体有理数组成的集合 R 实数集 全体实数组成的集合 注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。 3. 集合的分类与表示 集合的分类： （1）按元素的数量分为有限集、无限集、空集； （2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 表示方法： （1）自然语言描述法. （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。 （3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法． 二、集合间的基本关系 1. 子集和真子集 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作： 读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言：任意 Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 可以用图表示为： 真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集. 记作：（或). 2. 空集 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有 集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 3. 子集的个数 若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个； 三、集合的基本运算 1. 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}; Venn图表示: 2. 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}； 交集的Venn图表示： 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：即； 补集的Venn图表示： 四、充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2. 充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (2)若p ⇒ q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q ⇒ p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A=B，则p，q互为充要条件 若或，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 五、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 3.含有一个量词的命题的否定﹁ 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 集合的概念 1．将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 2．由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 3．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 题型二 集合间的基本关系 1．下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 2．集合的非空真子集个数为 ． 【答案】14 【详解】由，得， 由得，其元素个数为4， 故非空真子集个数为. 故答案为：14 3．已知集合，若，则的值为 ． 【答案】8 【详解】由，得，故， 此时满足． 故答案为：8 4．记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 题型三 集合的基本运算 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得． 故选：B． 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，集合， 所以， 故选：D. 3．设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 题型四 充分条件与必要条件 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C 3．“若，则”为真命题，则实数的一个值为 . 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【详解】“若，则”为真命题，则， 可得，解得，例如. 故答案为：0（答案不唯一，满足即可）. 题型五 全称量词与存在量词 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】“”的否定是：， 故选：B. （多选）2．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 【答案】AD 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项错误； 当时，，所以“”是假命题，命题的否定是真命题，D选项正确； 故选：AD. （多选）3．已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【详解】因为，，所以是的真子集， 所以，；，；即AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD 一、单选题 1．已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【详解】集合共有个子集， 条件等价于并集缺少中至少一个元素， 设缺少元素，则所有子集均不含，即， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件， 假设，因为要满足这些子集的并集不等于，必须至少有一个中的元素不在任何一个子集中， 否则并集就会等于，设这个缺失的元素是，那么所有这个子集都不含，即每个子集都是的子集， 而只有个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集， 这是不可能的，因此假设不成立，不可能大于16，因此的最大值为16. 故选：B 2．设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 3．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【答案】A 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 4．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 5．设，A是M的子集，且满足条件：当时，，则A中元素个数的最大值为（   ） A．1862 B．1866 C．1868 D．1870 【答案】D 【详解】由题意知，， 由，知当集合中的元素最多时， ，共个； 又，所以当集合中的元素最多时， ，共8个， 综上，集合中的元素最多为个. 故选：D 二、填空题 6．已知，集合或，若，使得，都有，则 . 【答案】 【详解】依题意，， ， 又， 而，则，且， 解得. 故答案为：. 7．已知集合同时满足①，②，其中均为不等于零的实数，则的值分别为 . 【答案】或 【详解】设，则. 由，得， 所以，即集合中的元素互为倒数， 由①知，存在，使得且，解得； 由②知，或， 若，则，有，解得； 若，则，有，解得. 综上，或. 故答案为：或. 三、解答题 8．设集合 (1)求 ； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解不等式，因式分解得， 解得或，所以，因此 （2）因为，， 当时，此时，解得. 当时，此时，解得 因此实数的取值范围为. 9．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，； （2）证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为， ． 10．已知集合或，. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【详解】（1）当时，，所以，. （2）因为，所以， 情况1:若，则，所以； 情况2:若，则，解得； 综上所述，的取值范围为. 11．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 一、单选题 1．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 2．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 3．在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马. 故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（    ） A．29人 B．23人 C．36人 D．25人 【答案】B 【详解】设参加田赛的学生组成集合，则， 设参加径赛的学生组成集合，则， 由题意，知， 所以， 所以该班参加运动会的学生人数为23人． 故选：B． 二、多选题 5．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 6．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 【答案】ACD 【详解】根据题意可知，代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数； 对于A，可知，即A正确； 对于B，可得，不合题意，即B错误； 对于C，可得，即C正确； 对于D，易知.可知D正确. 故选：ACD 7．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做与的笛卡尔积，又称直积，记为．即．关于任意非空集合，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于，若， 则，故A错误； 对于，若， 则， 而，故错误； 对于，若，则， ，故C错误： 对于D，任取元素，则且， 则且， 于是且，即， 反之若任取元素， 则且， 因此且，即且， 所以，即，故D正确． 故选：ABC． 8．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A正确. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B正确. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C错误. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【详解】由题意可知当最大且最小时，最小， 因为，所以最大为，此时， 且此时最小为，此时， 若，则且，此时， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 10．已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， ，， 所以. （2）且， 所以， ①证明： 因为， 所以， 所以. ②证明：因为， 又， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 11．已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或. 【详解】（1）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 得到的两数中至少有一个属于集合， 所以集合具有“包容”性. （2）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去； 若，无解； ②当时，则， 由且，可知b无解， 故. 综上，. （3）因为集合C的子集有64个， 所以集合C中共有6个元素，且， 又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或. ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，，或. 12．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)12； (2)672； (3). 【详解】（1）集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. （3）集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $