复习专题01 集合与常用逻辑用语10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题01 集合与常用逻辑用语10题型分类 1．元素与集合 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． (3)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2．集合的表示 (1)列举法． (2)描述法． (3)Venn图． 3．常见的数集 (1)自然数集N． (2)正整数集N*或N＋． (3)整数集Z． (4)有理数集Q． (5)实数集R． 4．集合间的基本关系 5．空集 (1)不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)空集是任何集合的子集． 6．交集 7．并集 8．补集 (1)对于集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为A相对于U的补集，记作∁UA． (2) ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． (3)． 9．充分条件与必要条件的概念 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2) p是q的充分不必要条件：p⇒q且q⇏p． (3) p是q的必要不充分条件：p⇏q且q⇒p． (4) p是q的充要条件：p⇔q． (5) p是q的既不充分也不必要条件：p⇏q且q⇏p． 10．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} (1)若p是q的充分条件，则A⊆B． (2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B． (3)若p是q的必要不充分条件，则B⫋A． (4)若p是q的充要条件，则A＝B． 11．全称量词命题和存在量词命题 (1)全称量词命题：对M中任意一个x,p(x)成立，∀x∈M，p(x)． (2)全称量词命题的否定：∃x∈M，乛p(x)． (3)存在量词命题：存在M中的元素x,p(x)成立，∃x∈M，p(x)． (4)存在量词命题的否定：∀x∈M，乛p(x)． （一） 集合的判断 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：只要一个集合的元素确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：根据元素与集合的关系求参数 1-1．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 1-2．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 1-3．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一·全国·期末）已知关于x的不等式的解集为S．若且，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2：根据集合中元素个数求参数 2-1．（2024高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．（用集合表示） 2-2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ． 2-3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 （二） 1．集合间关系的判断 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 2．由集合间的关系求参数 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况． 题型3：判断两个集合的包含关系 3-1．（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024·宁夏·模拟预测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 题型4：根据集合的包含关系求参数 4-1．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4-2．（2024高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，. (1)求集合和； (2)集合，若，求实数的取值范围. 4-3．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 4-4．（2024高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. （三） 交集、并集、补集的求解 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时需注意端点问题． 交并补运算求解 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当元素连续且无限时，借助数轴求解，此时需注意端点问题． 题型5：集合的基本运算 5-1．（2024·全国）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024·北京）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024·全国）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型6：根据集合的并、交、补集运算结果求参数 6-1．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6-2．（2024高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 6-3．（2024高一上·安徽安庆·阶段练习）已知全集为，函数的定义域为集合，集合或． (1)求； (2)若，，求实数的取值范围． 6-4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. 6-5．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （四） 1．充分条件与必要条件的判断 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．利用集合中包含思想判定时，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”，即可解决充分必要性的问题． 2．由充分条件与必要条件求参数 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解，利用集合知识，结合数轴解决问题． (2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决． (3)要注意区间端点值的检验，端点值取舍代进去验证． 题型7：充分条件与必要条件的判断 7-1．（2024高三上·上海徐汇·学业考试）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7-2．（2024高二下·北京昌平·期末）设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7-3．（2024·浙江台州·一模）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7-4．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 题型8：根据充分性与必要性求参数 8-1．（2024高一上·广西梧州·阶段练习）已知集合 (1)求集合A，B； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 8-2．（2024高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 8-3．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知函数，设集合，集合． (1)若，求实数k的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数k的取值范围． 8-4．（2024高一上·江苏南京·期中）在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解. 已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. （五） 1．命题的否定 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词． (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 2．由命题求参数 (1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题． (2)全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真． (3)准确计算：通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 题型9：含有一个量词命题的否定 9-1．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知命题，则（    ） A． B． C． D． 9-2．（2024高一上·河南·期末）命题“”的否定是（    ） A． B．或 C．或 D． 9-3．（2024高二下·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 题型10：由含有量词命题的真假求参数 10-1．（2024高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 10-2．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 10-3．（2024高一上·浙江宁波·期中）（1）若，，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数x的取值范围． 10-4．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·全国）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 6．（2024·全国）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 7．（2024·天津）集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·河南·模拟预测）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 10．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·广东江苏）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山东威海·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·福建·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C．，或 D． 17．（2024·山东威海·一模）已知命题，命题，则成立是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 20．（2024·全国）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 22．（2024·全国·模拟预测）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·陕西榆林·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 26．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 二、多选题 28．（2024·河南·模拟预测）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 29．（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 30．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 31．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 32．（2024高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一个元素，则实数的值是 . 33．（2024高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 34．（2024高一上·江西抚州·阶段练习）已知集合若，则 . 35．（2024高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 36．（2024高一上·浙江绍兴·期中）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ． 37．（2024·湖北黄冈·一模）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 38．（2024·安徽·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为 ． 39．（2024·广东韶关·一模）已知集合，写出满足条件的整数的一个值 . 40．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 41．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 42．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 43．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 44．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 45．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 46．（2024·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 47．（2024高三上·安徽铜陵·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 48．（2024·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 四、解答题 49．（2024高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 50．（2024高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 51．（2024高一上·江苏常州·期中）已知全集，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 52．（2024高三·全国·专题练习）设全集，集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 53．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 54．（2024·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 55．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合. (1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 56．（2024高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 57．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在（1）条件下，若，求； (3)在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 58．（24-25高一·全国·假期作业）已知集合，.若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围. 59．（2024·全国·模拟预测）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． (1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． (2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 60．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 61．（2024·江苏南通·一模）已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 62．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. (1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； (2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； (3)若且，集合，，求：的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题01 集合与常用逻辑用语10题型分类 1．元素与集合 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． (3)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2．集合的表示 (1)列举法． (2)描述法． (3)Venn图． 3．常见的数集 (1)自然数集N． (2)正整数集N*或N＋． (3)整数集Z． (4)有理数集Q． (5)实数集R． 4．集合间的基本关系 5．空集 (1)不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)空集是任何集合的子集． 6．交集 7．并集 8．补集 (1)对于集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为A相对于U的补集，记作∁UA． (2) ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． (3)． 9．充分条件与必要条件的概念 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2) p是q的充分不必要条件：p⇒q且q⇏p． (3) p是q的必要不充分条件：p⇏q且q⇒p． (4) p是q的充要条件：p⇔q． (5) p是q的既不充分也不必要条件：p⇏q且q⇏p． 10．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} (1)若p是q的充分条件，则A⊆B． (2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B． (3)若p是q的必要不充分条件，则B⫋A． (4)若p是q的充要条件，则A＝B． 11．全称量词命题和存在量词命题 (1)全称量词命题：对M中任意一个x,p(x)成立，∀x∈M，p(x)． (2)全称量词命题的否定：∃x∈M，乛p(x)． (3)存在量词命题：存在M中的元素x,p(x)成立，∃x∈M，p(x)． (4)存在量词命题的否定：∀x∈M，乛p(x)． （一） 集合的判断 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：只要一个集合的元素确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：根据元素与集合的关系求参数 1-1．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 1-2．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】解对数不等式化简集合A，进而求出的取值集合即得. 【详解】由，得，则，或， 由，得，显然选项ABC不满足，D满足. 故选：D 1-3．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围. 【详解】若，解不等式，即，解得，即， 当时，集合中的所有整数之和取最大值为，不合乎题意； 若，则，不合乎题意； 若，则，，且集合中所有整数元素之和为， 且，因此，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合中整数元素和求参数，在解出集合后，关键就是确定集合中的整数元素有哪些，以便确定参数所满足的不等关系，进而求解. 1-4．（2024高一·全国·期末）已知关于x的不等式的解集为S．若且，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的取值范围，由求出的取值范围求其交集可得答案． 【详解】由题意，得，即，解得或， 由得，即解得或，于是即， 综上所述，实数m的取值范围为． 故选：D. 题型2：根据集合中元素个数求参数 2-1．（2024高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．（用集合表示） 【答案】 【分析】对分类讨论，对于二次方程的根至多有一个，令判别式小于等于0求解即可. 【详解】当时，方程为有实数解，符合题意； 当时，由，解得； 则实数的取值范围是． 故答案为：. 2-2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可. 【详解】因为，，若中有2个元素， 所以，所以，解得， 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 2-3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得. 【详解】因为，， 又，中有2个元素， 所以中的2个元素只能是，则，解得. 故选：A. 2-4．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D （二） 1．集合间关系的判断 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 2．由集合间的关系求参数 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况． 题型3：判断两个集合的包含关系 3-1．（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将集合用整倍数形式表示，分别求出和，利用集合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B，只需要举反例排除即可. 【详解】依题意，，，， 则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误； 因，即，故D错误； 对于B项，任取，因，则，故B错误． 故选：A． 3-2．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合表示正奇数除以4，集合表示整数除以4，据此可以判断两个集合的关系. 【详解】表示是的含义是正奇数除以4， 表示的含义是整数除以4, 所以， 故选：C. 3-3．（2024·宁夏·模拟预测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算与集合的包含关系判断． 【详解】由题意，A错；，B错； ，D错，C正确． 故选：C． 题型4：根据集合的包含关系求参数 4-1．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 4-2．（2024高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，. (1)求集合和； (2)集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据指数函数的性质得到关于的不等式，求出集合，再求出的补集，求出即可； （2）根据，得到关于的不等式组，求出即可. 【详解】（1）由集合可知，，得，解得， 所以， 因为，， 所以 （2）由题意可得， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为 4-3．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 4-4．（2024高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可. 【详解】∵. 假设，则 ①，有，解得； ②，有，a无实数解； ③，有，解得； ④，有，a无实数解. ∴时，， 即满足的实数a的取值范围是 （三） 交集、并集、补集的求解 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时需注意端点问题． 交并补运算求解 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当元素连续且无限时，借助数轴求解，此时需注意端点问题． 题型5：集合的基本运算 5-1．（2024·全国）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 5-2．（2024·北京）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 5-3．（2024·全国）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 题型6：根据集合的并、交、补集运算结果求参数 6-1．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，解得． 故选：B. 6-2．（2024高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将集合表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. 【详解】（1） ， （2）＝R，，解之：. 6-3．（2024高一上·安徽安庆·阶段练习）已知全集为，函数的定义域为集合，集合或． (1)求； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据函数的性质先计算出集合，再利用交集的定义即可求解； (2)根据条件得到，再讨论和两种情况，计算即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则有，解得：， 即集合，由集合或， 所以. （2）因为，所以，也即， 当时，则有，解得：； 当时，则有解得：， 综上所述：实数的取值范围是. 6-4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得，然后根据列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1），解得. 因为，所以， 又因为，所以． （2）依题意，或， 由于，所以，解得， 所以的取值范围为． 6-5．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将因式分解，然后解不等式，利用两个根的关系分类讨论，求出的取值范围即可. 【详解】由题可知， 当时，无解，得，此时； 当时，解，得，此时，； 当时，解，得，此时，要使，则； 综上所述，. 故选：A （四） 1．充分条件与必要条件的判断 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．利用集合中包含思想判定时，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”，即可解决充分必要性的问题． 2．由充分条件与必要条件求参数 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解，利用集合知识，结合数轴解决问题． (2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决． (3)要注意区间端点值的检验，端点值取舍代进去验证． 题型7：充分条件与必要条件的判断 7-1．（2024高三上·上海徐汇·学业考试）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的性质、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】一方面，若，则当时，不成立； 另一方面，若，则当时，不成立. 故选：D 7-2．（2024高二下·北京昌平·期末）设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可以得到，故充分性成立， 当，时满足，但是推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 7-3．（2024·浙江台州·一模）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7-4．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确. 【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误； 对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误； 对于C，由可得，即可得，即充分性成立； 当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确； 对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误. 故选：C 题型8：根据充分性与必要性求参数 8-1．（2024高一上·广西梧州·阶段练习）已知集合 (1)求集合A，B； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，集合B见解析 (2)或. 【分析】（1）解一次不等式得集合A，依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集B； （2）将必要不充分条件转化为子集关系，再根据子集关系分类讨论求参即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 当即时，不等式化为，无解； 当即时，解不等式得； 当即时，解不等式得. 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， ，当时，，满足题意， 当时，，由题意可得，无解， 当时，，由题意可得解得， 综上可得：或. 所以实数m的取值范围为或. 8-2．（2024高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，根据得到，解得答案. （2）确定是的非空真子集，得到，解得答案. 【详解】（1）由不等式，解得，则， 或，，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）或，， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又由题意知，所以是的非空真子集，， 解得，所以实数的取值范围为. 8-3．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知函数，设集合，集合． (1)若，求实数k的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定恒成立，，解得答案. （2）确定，得到，解得答案. 【详解】（1），则恒成立， ，解得，即. （2），“”是“”的充分条件，则， 故，解得，即. 8-4．（2024高一上·江苏南京·期中）在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解. 已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，得出，然后根据交集的运算求解，即可得出答案； （2）若选①，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选②，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选③，根据交集的运算结果，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）若选①， 由可得，. 由已知可得，所以有，解得； 若选②“”是“”的充分条件， 由已知可得. 由已知可得，所以有，解得； 若选③， 由已知可得，所以有或， 解得或. （五） 1．命题的否定 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词． (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 2．由命题求参数 (1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题． (2)全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真． (3)准确计算：通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 题型9：含有一个量词命题的否定 9-1．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知命题，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题的否定，量词和结论发生改变，条件不变即可得到答案. 【详解】根据含有量词命题的否定形式可知，命题的否定为， 故选：B. 9-2．（2024高一上·河南·期末）命题“”的否定是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】由含有一个量词的命题的否定求解. 【详解】命题“”的否定为“或”. 故选：B. 9-3．（2024高二下·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以命题的否定为. 故选：C. 题型10：由含有量词命题的真假求参数 10-1．（2024高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 10-2．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解. （2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 10-3．（2024高一上·浙江宁波·期中）（1）若，，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数x的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可； （2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可. 【详解】（1）因为，， ①当时，不等式对成立，符合题意. ②当时，若不等式对恒成立， 则，解得， 综上，实数a的取值范围. （2），， 即，， 所以，而在上单调递增， 所以，解得， 故实数x的取值范围. 10-4．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 一、单选题 1．（2024·全国）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2．（2024·全国）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3．（2024·北京）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 4．（2024高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题意. 故选：D 5．（2024高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 6．（2024·全国）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 7．（2024·天津）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 8．（2024·河南·模拟预测）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据对数函数单调性以及一元二次不等式解法求得集合，再由并集结果可得实数的最小值. 【详解】解不等式可得，即， 解不等式可得或； 当时可得，解得. 因此实数的最小值为3. 故选：B 9．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】，， ，故. 故选：A. 10．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得. 【详解】因为且，所以，解得. 故选：A． 11．（2024·广东江苏）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 12．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式求出B，根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】集合，, 故， 故选；C 14．（2024·山东威海·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，，再用补集和交集的概念求解即可. 【详解】由，得，所以， 或， 由，得，所以， 所以. 故选：D. 15．（2024·福建·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出，由函数特征求定义域，得到，利用补集和交集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 得，故， 故. 故选：B 16．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C．，或 D． 【答案】D 【分析】求出集合，集合，再利用并集定义求出． 【详解】因为集合，集合， 所以． 故选：D． 17．（2024·山东威海·一模）已知命题，命题，则成立是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简命题p: ，：，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得，解得； 由，得， 当时，成立； 当时，，解得 ，综上， 所以成立是成立的充分不必要条件， 故选：A 18．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合及a的满足的条件，再根据列出不等式组求解即可. 【详解】由得， 由知，所以， 又，则， 所以，解得，故. 故选：D. 19．（2024高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 【答案】D 【分析】根据，可得，分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，此时，，符合题意； 当时，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意， 综上：或， 故选：D. 20．（2024·全国）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 21．（2024·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意逐一分析四个选项即可得到答案. 【详解】A的意思是不存在偶数不满足哥德巴赫猜想，与原命题等价， B的意思是两个质数的和作为集合，包含了所有大于2的偶数的集合，与原命题等价， C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数， 因为是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾，C错. D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数． 故选：C． 22．（2024·全国·模拟预测）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式，再根据集合间的关系求参． 【详解】，； 由可以推出，所以，. 故a的取值范围是． 故选：A. 23．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C 24．（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可. 【详解】对于A，，故是的充要条件； 对于B，由得，能推出，反之不成立， 所以是的充分不必要条件； 对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是， 所以是的既不充分也不必要条件； 对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件． 故选：B． 25．（2024·陕西榆林·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】解不等式，即可确定选项. 【详解】解法1：当时，由得，解得， 当时，由得，解得， 故由可得：或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选B. 解法2：设，可得：， 对于，都有，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 26．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 27．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】D 【分析】利用子集的意义分类讨论可求得集合对的个数. 【详解】因为，， 当时，又，故， 当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有两个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有， 所以集合对共有. 故选：D. 二、多选题 28．（2024·河南·模拟预测）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【答案】AC 【分析】分别计算出、、时的的值，判断此时是否满足，再计算即可得解. 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或256. 故选：AC. 29．（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABCD 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 30．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 31．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，为全体奇数构成的集合， 当为奇数时，也为奇数，故B正确； 对于C，，则， 但，故C错误； 对于D，，当时，，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 32．（2024高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一个元素，则实数的值是 . 【答案】 【分析】根据已知条件可得出，即可解得实数的值. 【详解】因为集合中只有一个元素， 则，解得. 故答案为：. 33．（2024高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解. 【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 34．（2024高一上·江西抚州·阶段练习）已知集合若，则 . 【答案】 【分析】先通过集合相等以及集合中元素的互异性求出，然后计算即可. 【详解】， ， ， 且， 得. . 故答案为：. 35．（2024高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴. ∴ 故答案为： 36．（2024高一上·浙江绍兴·期中）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ． 【答案】0或1 【分析】讨论二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可． 【详解】解：当时，满足题意； 当时，要集合P仅含一个元素， 则，解得， 故a的值为0，1 故答案为：0或1 37．（2024·湖北黄冈·一模）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据“”是“”的充分不必要条件，明确集合，的关系，列不等式求解实数的取值范围. 【详解】由.所以； 由.所以. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以且. 所以. 故答案为： 38．（2024·安徽·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，可得，然后分集合和进行分类讨论. 【详解】由题意知，， 由，可得， 若，则，符合题意． 当时，，要使， 则，解得，因此, 综上，的取值范围为． 故答案为：. 39．（2024·广东韶关·一模）已知集合，写出满足条件的整数的一个值 . 【答案】中的任何一个值. 【分析】根据集合的包含关系，结合绝对值不等式的求解，即可求得. 【详解】因为，所以，又因为， 故整数所有可能取值为. 故答案为：中的任何一个值. 40．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合中有元素， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，， 满足， ∴，则. 故答案为：. 41．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ． 【答案】 22 【分析】根据定义，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，表示有2个元素的集合，， 因为，且有2个元素， 所以或或，所以； 由题中定义可知：， 于是由 ， 而， 即，又因为， 所以m的最大值为， 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义，运用等差数列的前项和公式. 42．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据包含关系确定范围即可. 【详解】由，得， 所以，则或， 由，得， 又，所以， 解得. 故答案为：. 43．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 由，得，得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 44．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 45．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件，逐一讨论集合，求出符合条件的即可. 【详解】由题可得， 当时，，则，不满足条件； 当时，，要使，则， 当时，，要使，则， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 46．（2024·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】, 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 47．（2024高三上·安徽铜陵·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解. 【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题， 不妨设，其开口向上，对称轴方程为， 则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论： 情形一：当即时，在上单调递增， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时有，只需， 解不等式组得， 故此时满足题意的实数的范围为； 情形三：当即时，在上单调递减， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 48．（2024·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 四、解答题 49．（2024高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得是真命题，分和两种情况讨论； （2）依题意参变分离可得存在使得成立，则只需，，利用基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 50．（2024高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得. 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 51．（2024高一上·江苏常州·期中）已知全集，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别解出集合与集合，然后求得，进而求得的值； （2）由题意得是的真子集，由此列不等式组，解不等式组可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 当时, ， 则或， 所以. （2）因为， 又，所以 ， 由得 ， 所以 ， 因为是的必要不充分条件，所以, 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 52．（2024高三·全国·专题练习）设全集，集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简，由可得，根据集合包含关系列不等式可求的取值范围； （2）由可得，根据集合包含关系列不等式可求的取值范围； 【详解】（1）不等式，可化为， 所以不等式的解集为，故． 由，得． 当时，；当时，． 由，得，则，且， 所以的取值范围是． （2）由于，因此，于是． 当时，显然成立； 当时，，得到，因此． 综上所述，的取值范围是． 53．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是. （2）由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是. 54．（2024·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）化简集合，根据补集与交集的运算性质即可得答案； （2）根据题意可得 ，结合一元二次不等式的解集讨论集合的取值情况即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由题知：当时， ， 又 ， 或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则 ， ， ①当时，集合，满足题意； ②当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得； ③当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得. 综上，实数的取值范围为. 55．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合. (1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参. 【详解】（1）由题意知， 解不等式，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 所以且等号不同时成立，     解得，即的取值范围是； （2）因为，所以在上有解， 所以， 令，则， 所以，即的取值范围是. 56．（2024高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 57．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在（1）条件下，若，求； (3)在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的性质，得到，求得集合或，结合补集的运算，即可求解； （2）当时，求得，利用并集的运算，即可求解； （3）根据题意，转化为A是的真子集，分类讨论，即可求解； 【详解】（1）由函数，可得， 即，解得或，所以集合或， 则. （2）当时，可得集合， 由（1）知集合，所以. （3）若“”是“”的充分不必要条件，所以A是的真子集， 当时，即时，此时，满足A是的真子集； 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 58．（24-25高一·全国·假期作业）已知集合，.若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】 【分析】化简集合集合，，由条件可得是的真子集，再根据集合间关系列不等式组计算即可； 【详解】由题意知， 解不等式， 解得， 所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，且等号不同时成立， 解得，即的取值范围是. 59．（2024·全国·模拟预测）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． (1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． (2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合“变换”，逐次计算，得出规律，即可求解； （2）由变换得到或，分类讨论，求得的值，即可求解； （3）有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到有序数对也是形如的有序数对，得出有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12，进而得出变换的规律，即可求解. 【详解】（1）解：对于有序数对， 不断进行“变换”：，，， 得到的有序数对分别为，，，，， 以下重复出现，所以不能得到有序数对． （2）解：由变换知：，，， 因为有序数对的三项之和为2024，且，所以，， 所以，故最大，即或， 当时，可得， 由，得，即， 所以，故； 当时，可得， 由，得，即， 所以，故． 综上可得，． （3）解：有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到的有序数对分别为，， 由此可见，经过6次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对， 与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为， 所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为， 经过“变换”后得到的有序数对分别为， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4． 所以的最小值为505． 【点睛】方法点睛：对于的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 60．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)不一定是数域，证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知中至少有一个元素，分和两种情况，结合题意分析证明； （2）根据题中数环和数域的定义分析证明； （3）举特例，取，举例数列即可. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环； 综上所述：元素个数最小的数环为. （2）设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： 1.若，显然均为数域，且是数域； 2.设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 例如：，例如， 但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 61．（2024·江苏南通·一模）已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 【答案】(1)是“完全集”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）设，得到，分类讨论求解即可. （3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； 【详解】（1）集合，由完全集的定义： ，， 所以集合为“完全集”. （2）不妨设，由于， 所以，当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有，而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”， 综上：“完全集”为. （3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集， 设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾， 所以中至少有一个大于2. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 62．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. (1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； (2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； (3)若且，集合，，求：的最小值． 【答案】(1)是完美自相加集合，不是完美自相加集合； (2)2051 (3)675 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可； （2）连续的正整数，自相加后，形成的新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数； （3）由第二问的结论，我们很容易得到然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【详解】（1）是完美自相加集合,不是完美自相加集合理由如下： 集合,由此可知集合自相加后， 新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合； 所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数， 故后面集合不管进行多少次相加都是与相同； 故不是完美自相加集合； （2）由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行一次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为； （3）因为且，集合 所以 要使 则，又因为 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题为新概念题，只需理解概念，解决问题即可，不是特别理解的，可以多列举一些例子，可找到规律. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$